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1、线性代数第二章维向量第1页，共67页，编辑于2022年，星期一二二.n维向量维向量(vector)的概念的概念 n 维向量 本 质 表现形式 几何背景 n个数个数a1,a2,an 构成的有序数组构成的有序数组 向量向量/点的坐标点的坐标 列矩阵列矩阵 行矩阵行矩阵 行向量行向量 列向量列向量 分量分量 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 第2页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量
2、及其运算维向量及其运算维向量及其运算 与矩阵的线性运算相同与矩阵的线性运算相同 三三.n维向量的线性运算维向量的线性运算 与矩阵的线性运算性质相同与矩阵的线性运算性质相同 四四.n维向量的线性运算性质维向量的线性运算性质 n维向量维向量:1,2,s 五五.线性组合线性组合(linear combination)数数(scalars):k1,k2,ks 线性组合线性组合:k1 1+k2 2+ks s 第3页，共67页，编辑于2022年，星期一2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 =k1 1+k2 2+ks s n维向量维向量:,1,2,s 若存在常数若存
3、在常数:k1,k2,ks使得使得 则称则称 能由向量组能由向量组 1,2,s线性表示线性表示(can be linearly represented by 1,)第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 六六.线性表示线性表示(linear representation)第4页，共67页，编辑于2022年，星期一2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 例例1.n维基本单位向量组维基本单位向量组 1=100,2=010,n=001.,第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 standard/natural
4、basis of Rn 第5页，共67页，编辑于2022年，星期一2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 任何一个任何一个n维向量维向量 =a1a2an 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.=a1 100+a2 010+an 001.事实上事实上,第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第6页，共67页，编辑于2022年，星期一2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 例例2.A=a11 a12 a1sa21 a22 a2s an1 an2 ans=(1,2,s),=b1b2bn,x=
5、x1x2xs,能由能由 1,2,s线性表示线性表示 方程组方程组Ax=有解有解.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第7页，共67页，编辑于2022年，星期一2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 一一.基本概念基本概念 列向量组列向量组:1,2,s 矩阵矩阵A=(1,2,s)矩阵矩阵A的秩的秩 向量组向量组 1,2,s的的秩秩 r(1,2,s)第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第8页，共67页，编辑于2022年，
6、星期一行向量组行向量组:1,2,s 矩阵矩阵A的秩的秩 向量组向量组 1,2,s的的秩秩 矩阵矩阵A=12s r(1,2,s)2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第9页，共67页，编辑于2022年，星期一 r(1,2,s)s r(1,2,s)n时时,任意任意s个个n维向量都线性相关维向量都线性相关.例例3.设设 1,2,3线性无关线性无关,1=1+2 2,2=2+2 3,3=3+2 1.证明证明:1,2,3线性无关线性无关.(3)含有零向量含有零向量的向量组一
7、定的向量组一定线性相关线性相关.2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第12页，共67页，编辑于2022年，星期一二二.向量组之间的关系向量组之间的关系 A:1,2,r B:1,2,s 若若B组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由A组中的向组中的向 量线性表示量线性表示,则称向量组则称向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示.1.给定两个向量组给定两个向量组 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线
8、性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 能由能由 线性表示线性表示,例如例如:2030,1001,但但2030不能由不能由 线性表示线性表示.,1001,第13页，共67页，编辑于2022年，星期一简记为简记为简记为简记为A :1 1,2,s s,C C :1 1,2 2,n.若若若若 j j=b b1 1j j 1 1 +b b2j j 2+b bsj s s,j j=1,2 2,n,即即即即 =1 1 2 n n 1 2 2 s s2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章
9、第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第14页，共67页，编辑于2022年，星期一简记为简记为简记为简记为B:1,2,s s,C C :1 1,2,mm.若若若若 i=a ai i1 1 1 +ai i2 2 2 2 +ais is s s,i i=1 1,2,mm,即即即即 B B:C C:=1 1 2 2 s s 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 1 1 2 mm 第15页，共67页，编辑于2022年，星期一矩阵的乘积矩阵的乘积Cm n=Am
10、s Bs n,=行向量行向量行向量行向量 i i=a ai i1 1 1 1 +ai2 2 2 +a ais is s s,i=1,2,mm.列向量列向量 j j=b1 1j j 1 1+b b2 2j j 2 2 +b bsj sj s s,j=1,2 2,n n,向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的线性表示:2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.向量组的线性表示与矩阵乘积向量组的线性表示与矩阵乘积 第16页，共67页，编辑于2022年
11、，星期一2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 3.传递性传递性 A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+2 2,3=1+2,1=2 1+2 2=1 2+3=2(1+2)+(1+2 2)=3 1+4 2,=(1+2)(1+2 2)+(1+2)=1,第17页，共67页，编辑于2022年，星期一2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向
12、量维列向量维列向量维列向量 B能由能由A线性表示线性表示 A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),B=(1,2,3)=(1,2)=AD,1 1 1 1 2 1=A(DF).C=(1,2)=(1,2,3)2 1 1 1 0 1=BF,=(1,2)2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1=(1,2)3 1 4 0C能由能由B线性表示线性表示 一般地一般地,C能由能由A线性表示线性表示.第18页，共67页，编辑于2022年，星期一若向量组若向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示;同时同时 向量组向量组A能由向量组能由向量组B线性表示线性表示,则称这则称这两个向量组两个向量组
13、等价等价.2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 A:1,2,r B:1,2,s 4.给定两个向量组给定两个向量组 显然显然,(1)向量组向量组A与其自身等价与其自身等价(反身性反身性);(2)若若A与与B等价等价,则则B与与A等价等价(对称性对称性);(3)若若A与与B等价且等价且B与与C等价等价,则则B与与A等价等价 (传递性传递性).第19页，共67页，编辑于2022年，星期一例例4.设有两个向量组设有两个向量组 I:1=1,1,2=1,1,3=2,1,II
14、:1=1,0,2=1,2.即即I可以由可以由II线性表示线性表示.则则 1=1+2,2 1 2 1 2=1 2,2 3 2 1 3=1+2,2 3 2 1 即即II可以由可以由I线性表示线性表示.1=1+2+0 3,2 1 2 1 2=1 2+0 3,2 3 2 1 故向量组故向量组I与与II等价等价.2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第20页，共67页，编辑于2022年，星期一5.矩阵等价与向量组等价矩阵等价与向量组等价 初等初等行行变换变换 初等初等行行
15、变换变换 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 A的行向量组能由 B的行向量组 线性表示 B的行向量组能由 A的行向量组 线性表示 矩阵A与B的行向量组等价(row equivalent)第21页，共67页，编辑于2022年，星期一初等初等列列变换变换 初等初等列列变换变换 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 A的列向量组能由
16、B的列向量组 线性表示 B的列向量组能由 A的列向量组 线性表示 矩阵A与B的列向量组等价(column equivalent)第22页，共67页，编辑于2022年，星期一注注:初等初等行行变换变换 (1 1)无法通过初等无法通过初等无法通过初等无法通过初等列列列列变换实现变换实现变换实现变换实现矩阵A与B的行向量组等价,但列向量组不等价.初等初等列列变换变换 (1 1)无法通过初等无法通过初等无法通过初等无法通过初等行行行行变换实现变换实现变换实现变换实现矩阵C与B的列向量组等价,但行向量组不等价.2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和
17、线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第23页，共67页，编辑于2022年，星期一定理定理2.1.若向量组若向量组 1,2,t可由向量组可由向量组 1,2,s线性表示线性表示,则则r(1,2,t)r(1,2,s).推论推论2.1.若向量组若向量组 1,2,t可由向量组可由向量组 1,2,s线性表示线性表示,并且并且t s,则则向量组向量组 1,2,t是是线性相关的线性相关的.2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 三三.向量
18、组秩的性质向量组秩的性质 证明证明:记记A=(1,2,s),B=(1,2,t),则存在则存在C使得使得B=AC,故故r(B)r(A).第24页，共67页，编辑于2022年，星期一推论推论2.3.若向量组若向量组 1,2,s 和和 1,2,t 都线性无关都线性无关,并且这两个向量组等价并且这两个向量组等价,则则s=t.例例5.设设 1=1+2 2,2=2+2 3,3=3+2 1.证明证明:1,2,3线性无关线性无关 1,2,3线性线性 无关无关.2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向
19、量维列向量维列向量 推论推论2.2.若向量组若向量组 1,2,t与向量组与向量组 1,2,s等价等价,r(1,2,t)=r(1,2,s).第25页，共67页，编辑于2022年，星期一2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 定理定理2.2.向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关 存在一组不全为零的数存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得使得k1 1+k2 2+ks s=0.证明证明:()1,2,s线性相关线性相关 r(A)s,其中其中A=(1,2,
20、s)存在存在s阶可逆矩阵阶可逆矩阵P使得使得APes=0 令令(k1,k2,ks)=(Pes)T.则则(k1,k2,ks)0且且 k1 1+k2 2+ks s=0.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第26页，共67页，编辑于2022年，星期一2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 ()设设k1,k2,ks不全为零且不全为零且不妨设不妨设k1 0,则则 k1 1+k2 2+ks s=0.根据根据推论推论2.1可知可知 1,2,s线性相关线性相关.1=k1 k2 2 k1 k3 3 k
21、1 ks s 因而因而 1,2,s能由能由 2,s线性表示线性表示.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第27页，共67页，编辑于2022年，星期一2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 推论推论2.4.若若 1,2,s线性相关线性相关,反之反之,若若 1,2,s,s+1,t线性线性 无关无关,则则 1,2,s也也线性无关线性无关.则则 1,2,s,s+1,t也也线性相线性相 关关.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第28页，共67页，编辑于2022年
22、，星期一2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 若向量组若向量组,线性相关线性相关,其中其中 1,2,s是维数相同的列向量是维数相同的列向量,1,2,s也是维数相同的列向量也是维数相同的列向量,则则 1,2,s也是也是线性相关的线性相关的.反之反之,若若 1,2,s线性无关线性无关,则则也是也是线性无关的线性无关的.,1 1 2 2 s s 1 1 2 2 s s 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第29页，共67页，编辑于2022年，星期一2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻
23、画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 推论推论2.5.1,2,s线性无关线性无关 由由k1 1+k2 2+ks s=0可推出可推出 k1=k2=ks=0.例例6.设设n维列向量维列向量 和和n n矩阵矩阵A满足满足 Ak 1 0,但但Ak =0,证明证明:向量组向量组,A,A2,Ak 1 线性无关线性无关.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第30页，共67页，编辑于2022年，星期一2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 定理定理2.3.
24、向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关 1,2,s至少有一个可以由其余至少有一个可以由其余 s 1个个向量线性表示向量线性表示.定理定理2.4.若向量组若向量组 1,2,s线性无关线性无关,而而 1,2,s,线性相关线性相关,则则 一定一定 能由能由 1,2,s线性表示线性表示,并且表并且表示的方式是唯一的示的方式是唯一的.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第31页，共67页，编辑于2022年，星期一2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 例例7.证明证明:n个个n维列向量维列向
25、量 1,2,n线性无线性无 关的充分必要条件是关的充分必要条件是:任何一个任何一个n维列向维列向 量量 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.证明证明:(充分性充分性)任何一个任何一个n维列向量维列向量 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示 1=100,2=010,n=001 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示 n=r(1,n)r(1,n)n 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 第32页，共67页，编辑于2022年，星期一2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 证明证明
26、:(必要性必要性)由于由于n+1个个n维列向量总是线维列向量总是线 性相关的性相关的,所以所以 1,2,n,线性相线性相 关关.又因为又因为 1,2,n线性无关线性无关,根据定理根据定理 2.4可知可知 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 例例7.证明证明:n个个n维列向量维列向量 1,2,n线性无线性无 关的充分必要条件是关的充分必要条件是:任何一个任何一个n维列向维列向 量量 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.第33页，共67页，编辑于2022年，星期一2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关
27、组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 一一.定义定义 如果向量组如果向量组 1,2,s的部分组的部分组 满足以下列条件满足以下列条件:,i i1 1 ,i i2 2 i ir r 线性无关线性无关;,i i1 1 (1),i i2 2 i ir r (2)1,2,s中任一向量都可由中任一向量都可由线性表示线性表示,i i1 1 ,i i2 2 i ir r 极大线性无关组极大线性无关组(maximal linearly independent subsetmaxim
28、al linearly independent subset).为为 1,2,s的一个的一个,i i1 1 则称则称 ,i i2 2 i ir r 第34页，共67页，编辑于2022年，星期一2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 二二.有关结论有关结论 定理定理2.5.秩为秩为r的向量组的向量组 1,2,s一定有由一定有由 r个向量构成的极大无关组个向量构成的极大无关组.命题命题2.1.秩为秩为r的向量组中的向量组中任何任何r个线性个线性无无关的关的 向量都构成
29、它的一个极大无关组向量都构成它的一个极大无关组.第35页，共67页，编辑于2022年，星期一2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 定理定理2.6.一个向量组一个向量组的任何两个的任何两个极大无关组极大无关组 都是等价的都是等价的,因而因而任意两个任意两个极大无关极大无关组所含向量的个数都相同组所含向量的个数都相同,且等于这且等于这 个向量组的秩个向量组的秩.命题命题2.2.一个向量组与它一个向量组与它的任何一个的任何一个极大无极大无 关组都是等价的关组都是等价的
30、.第36页，共67页，编辑于2022年，星期一2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 三三.计算计算 理论依据理论依据:(1)命题命题2.1(2)定理定理1.11(初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩).例例8.已知向量组已知向量组 1,2,3线性无关线性无关,求求 1 2,2 3,3 1,的一个极大无关组的一个极大无关组.第37页，共67页，编辑于2022年，星期一2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的
31、极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 例例9.设设A=3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4,求求A的列向量组的列向量组 的一个极大无关组的一个极大无关组.1 6 4 1 40 4 3 1 10 0 0 4 10 0 0 0 0解解:A=3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4初等初等行行变换变换可见可见A的第的第1,2,4列构成列构成A的列向量组的一的列向量组的一个极大无关组个极大无关组.第38页，共67页，编辑于2022年，星期一2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 第
32、二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 向量空间向量空间 一一.向量空间向量空间(vector space)的概念的概念 1.n维实维实(列列)向量的全体向量的全体 Rn=(x1,x2,xn)T|x1,x2,xn R 关于向量关于向量(即列矩阵即列矩阵)的加法和数乘运算的加法和数乘运算 满足如下满足如下8条基本性质条基本性质:关于加法关于加法关于加法关于加法:(1):(1)交换律交换律交换律交换律;(2);(2)结合律结合律结合律结合律;(3)0;(4)0;(4)关于数乘关于数乘关于数乘关于数乘:(5)1 =;(6)k k(l l)=)=(kl);(7)(7)(
33、k k+l)=k k +l l;(8)(8)k k(+)=)=k k +k k .第39页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 2.设设V是是Rn的非空子集的非空子集,且对向量的加法及数且对向量的加法及数 乘封闭乘封闭(closed),即即 仅含有零向量仅含有零向量0的集合的集合0关于向量的线性运关于向量的线性运算也构成一个向量空间算也构成一个向量空间.Rn和和0称为称为Rn的的平凡平凡(trivial)子空间子空间.则称则称V是是Rn的一个的一个子空间子空间(subspace),
34、或直接或直接 称为一个称为一个(实实)向量空间向量空间(real vector space).,V,k R,有有+V,k V,closure conditions 第40页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 例例10.检验下列集合是否构成向量空间检验下列集合是否构成向量空间.(1)V=(x,y,0)|x,y R;(2)V=(x,y,z)|x,y,z R,x+y z=0;(3)A Rm n,b Rm,b 0,KA=Rn|A =0;SB=Rn|A =b.第41页，共67页，编辑于20
35、22年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 (4)1,2,s Rn,L(1,2,s)=|诸诸ki R.s s ki i i i=1=1 由由 1,2,s生成的向量空间生成的向量空间(generated/spanned by 1,)或或 1,2,s生成元生成元(generator).1,2,s的的线性包线性包(linear closure).第42页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 二二.向量空
36、间的基向量空间的基(basis)与维数与维数(dimension)1,2,r V的一组的一组基基:r称为称为V的的维数维数.记为维记为维(V)或或dim(V).n维基本单位向量组就是维基本单位向量组就是Rn的一组基的一组基,dimRn=n;例例11.求求例例10中的各向量空间的基与维数中的各向量空间的基与维数.零空间没有基零空间没有基,规定规定dim0=0.1,2,r线性无关线性无关,V都能由都能由 1,2,r线性表示线性表示.第43页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 定理定理
37、2.7.1,2,s的极大无关组的极大无关组 特别地特别地,A=(A1,A2,As),求求L(A1,A2,A3,A4)的一组基和维数的一组基和维数.例例12.设设A=A1,A2,A3,A4=1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1,L(1,2,s)的基的基 dimL(1,s)=r(1,s).L(A1,A2,As)A的的列空间列空间(column space)dimL(A1,A2,As)=秩秩(A).第44页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 1 0 1 2 1 0 1 1 1
38、 1 1 1 解解:初等初等 行行变换变换 可见可见dim L(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是是L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.注注:此外此外A1,A3也也是是L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.还有还有A1,A4.1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 事实上事实上,对于这个例子对于这个例子,除了除了A3,A4以外以外,A1,A2,A3,A4中任意两个向量都构成中任意两个向量都构成L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.第45页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5
39、 向量空间向量空间向量空间向量空间 三三.向量在基下的坐标向量在基下的坐标 1,2,rV 的一组基的一组基,由定义由定义,对对 V,唯一唯一的一组有序实数的一组有序实数 k1,k2,kr使得使得 =k1 1+k2 2+kr r.k1,k2,krT 在在 1,2,r 这组这组基下的基下的坐标坐标(coordinate).第46页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 四四.基变换与坐标变换基变换与坐标变换 设设 1,2,r和和 1,2,r是是V 的两组基的两组基,则存在则存在r r矩阵
40、矩阵P使使(1,2,r)=(1,2,r)P.称称P为为从基从基 1,2,r到到 1,2,r的过的过 渡矩阵渡矩阵(transition matrix).由由r=r(1,2,r)r(P)r可得可得r(P)=r.故故|P|0,即即P可逆可逆.第47页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 定理定理2.8.设设 1,2,r和和 1,2,r是是V 的的 两组基两组基,V 在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标 分别为分别为x,y,则则证明证明:=(1,2,r)x=(1,2,r)y =(1,2,
41、r)Py x=Py,y=P 1x.(1,2,r)(x Py)=0.又因为又因为 1,2,r线性无关线性无关,所以所以x Py=0,即即x=Py,进而进而y=P 1x.第48页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵 一一.Rn中向量的内积中向量的内积,长度和夹角长度和夹角 1.设 =(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T,记为记为,即即 则称实数则称实数 aibi 为向量为向量 与与 的的内积内积 n n i i=
42、1 =1 ,=aibi=T.n n i i=1 =1(inner/dot/scalar product).第49页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 2.内积的基本性质内积的基本性质(1)(1)对称性对称性对称性对称性:,=,;(2)(2)线性性线性性线性性线性性:k1 1 1 1+k k2 2 2 2,=k1 1,+k k2 2 2 2,;(3)(3),0;0;且且且且 ,=0 =0 =0.0.(4)(Cauchy-Schwartz Inequality
43、)(Cauchy-Schwartz Inequality)|,|,.考察考察y=,x2+2,x+,.n n=(xai+bi)2 0 i i=1=1 =(2,)2 4,0 ,2 ,.第50页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 3.对于对于n维实向量维实向量,称称 ,为为 的的长度长度(length)模模(modulus),记为记为|,即即 4.长度的基本性质长度的基本性质(3)三角不等式三角不等式(Triangle Inequality):,|=ai2 n
44、n i i=1 =1(1)正定性正定性:|0;且且|=0 =;(2)齐次性齐次性:|k|=|k|(k R);|+|+|.第51页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 5.长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量(unit vector).对于非零向量对于非零向量,|1 是一个单位向量是一个单位向量.单位化单位化/标准化标准化(normalize).6.设设,Rn,若若 0,0,则定义则定义,的的若若,=0,即即 =/2,则称则称 与与 正交正交(o
45、rthogonal).夹角夹角(the angle between and )为为 =arccos,|,0 第52页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 例例13.设设,Rn,且且 与与 线性无关线性无关,求常数求常数k 使使 +k 与与 正交正交.|=|cos=,|=|,|=|=,|,.=第53页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内
46、积与正交矩阵 二二.正交向量组和正交向量组和Schmidt正交化方法正交化方法 正交正交(mutually orthogonal)向量组向量组 标准正交标准正交(orthonormal)向量组向量组 正交基正交基(orthogonal basis)标准正交基标准正交基(orthonormal basis)1.概念概念 第54页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 命题命题2.3.设设 1,2,s是标准正交向量组是标准正交向量组,且且 =k1 1+k2 2+k
47、s s,则则ki=,i,i=1,2,s.2.结论结论 定理定理2.9.1,2,s正交正交线性无关线性无关.命题命题2.4.设设 1,2,s线性无关线性无关(s 2),则存则存 在一个正交向量组在一个正交向量组 1,2,s使得使得 1,2,t与与 1,2,t等价等价 (1 t s).第55页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 1=1,3.方法方法(Gram-SchmidtSchmidt orthogonalisation process)orthogonal
48、isation process)2=2 2,1 1,1 1,s=s s,1 1,1 1 s,s 1 s 1,s 1 s 1再将再将 1,2,s单位化得单位化得:1=1|1|,2=2|2|,s=s|s|.第56页，共67页，编辑于2022年，星期一第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 三三.正交矩阵正交矩阵(orthogonal matrix)1.满足足QTQ=E(即即Q 1=QT)的的实方方阵Q称称 为为正交矩阵正交矩阵,简称为简称为正交阵正交阵.定理定理2.10.设设Q为为n阶实方阵阶实方阵
49、,则下列条件等价则下列条件等价:推论推论.(1)Q为正交阵为正交阵|Q|=1,Q 1也是也是正交阵正交阵;(2)Q的的列向量组构成列向量组构成Rn的一组标准的一组标准 正交基正交基;(1)Q是正交矩阵是正交矩阵;(3)QT是正交矩阵是正交矩阵.(2)A,B为正交阵为正交阵 AB为正交阵为正交阵.第57页，共67页，编辑于2022年，星期一Born:384 BC in Stagirus,Macedonia,Greece Died:322 BC in Chalcis,Euboea,Greece Aristotle 第58页，共67页，编辑于2022年，星期一Born:16 Aug 1821 in
50、Richmond,EnglandDied:26 Jan 1895 in Cambridge,EnglandArthur Cayley 第59页，共67页，编辑于2022年，星期一Ren Descartes Born:31 March 1596 in La Haye (now Descartes),Touraine,FranceDied:11 Feb 1650 in Stockholm,Sweden第60页，共67页，编辑于2022年，星期一Pierre de Fermat Born:17 Aug 1601 in Beaumont-de-Lomagne,FranceDied:12 Jan 166