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1、控制 系统的稳定性第1页，此课件共58页哦由上例可知：由上例可知：(1)线性系统不稳定现象发生与否线性系统不稳定现象发生与否,取取决于系统内部条件，而与输入决于系统内部条件，而与输入无关。无关。(2)系统发生不稳定现象必有适当的反系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。馈作用。(3)控制理论中所讨论的稳定性其实控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性都是指自由振荡下的稳定性,也就也就是说是说,是讨论输入为零是讨论输入为零,系统仅存系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性。在有初始状态不为零时的稳定性。第2页，此课件共58页哦(二二二二)稳定的定义和条件稳定的定义和条件稳定的定义和条件稳定
2、的定义和条件1.稳定的定义稳定的定义:设一一线性定常系性定常系统原原处于某一平衡状于某一平衡状态，若它在瞬，若它在瞬间受到某一受到某一扰动而偏离了原有的平衡状而偏离了原有的平衡状态。当此。当此扰动撤消后，系撤消后，系统借助于自身借助于自身的的调节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回到原来的平衡状作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回到原来的平衡状态，则称此系称此系统是是稳定的，反之，定的，反之，则称称为不不稳定。如定。如图5.1.25.1.2所示。所示。图5.1.2 稳定与不定与不稳定系定系统的响的响应曲曲线l稳定性是系定性是系统的一种固有特性，它与的一种固有特性，它与输入信号无关只取决其本
3、身的入信号无关只取决其本身的结构和参数。构和参数。第3页，此课件共58页哦2、稳定的、稳定的充要充要条件条件:系统的系统的全部特征全部特征根根都具有负实部都具有负实部。即系统传递函。即系统传递函数的数的全部极点全部极点均位于均位于s平面的平面的左半平面左半平面，系统则稳定。，系统则稳定。若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部,则系统必不稳定。则系统必不稳定。第4页，此课件共58页哦第二节第二节 Routh(Routh(劳斯劳斯)稳定判据稳定判据(一一)系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统特征方程为设系统特征方程为:系统稳定的系统稳定的必要必要条件
4、条件:ai 0 且且 ai 0 (i=0,1,n)第5页，此课件共58页哦例例1：(1)(2)(3)一项为负，一项为负，不稳定。不稳定。满足必要条件，可能稳定。满足必要条件，可能稳定。ai 0 且且 ai 0 (i=0,1,n)缺项，缺项，不稳定。不稳定。第6页，此课件共58页哦(二二)系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件1.Routh表表第7页，此课件共58页哦2、Routh稳定判据稳定判据 （1 1）若）若劳斯表中第一列的系数均斯表中第一列的系数均为正正值,则系系统稳定。定。（2 2）如果表中第一列的系数有正、）如果表中第一列的系数有正、负符号符号变化，其化，其变化的次数等于化的次数等于该
5、特征方程式的根在特征方程式的根在S S右半平面上的个数，相右半平面上的个数，相应的系的系统为不不稳定。定。第8页，此课件共58页哦例例2、系统的特征方程为系统的特征方程为:D(s)=s4+s3 19s2+11s+30=0 s4 1 19 30 s3 1 11 0 s2 1(-19)111/1=30 30 0 s1 (30)11130/(30)=12 0 0 s0 30 0 0由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右的右半平面，因而系统是不稳定的。半平面，因而系统是不稳定的。第9页，此课件共58页哦例例3：Rout
6、h表表S4 2 8 2 S3 2 3 0S2 0 S1 0 0S0 2 0 0 注意注意:在展开的在展开的Routh表中，可用一个正整数去除或乘某一整个行而不改变表中，可用一个正整数去除或乘某一整个行而不改变 稳稳 定性结论。定性结论。第10页，此课件共58页哦例例4S4 1 8 20S3 5 16 0S2 20 0S1 0 0 S0 20 0 0第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系统不稳定。统不稳定。第11页，此课件共58页哦例例5 5 已知系已知系统的特征方程的特征方程为求系求系统稳定的定的K K值范范围欲使系欲使系统稳定定则应满足足
7、解不等式解不等式组得：得：第12页，此课件共58页哦二阶、三阶系统的二阶、三阶系统的Routh稳定判据稳定判据:(1)二阶系统二阶系统(n=2)稳定的充要条件为稳定的充要条件为:ai 0 且且 ai 0(3)三阶系统三阶系统(n=3)稳定的充要条件为稳定的充要条件为:a i 0,a1a2 a0a3 且且 ai 0 s2 a2 a0 s3 a3 a1 0 s1 a1 0 s2 a2 a0 0 s0 a0 0 s1 A1=a1a2-a0a3/a2 0 0 s0 a0 0 0 D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0=0D(s)=a2s2+a1s+a0=0第13页，此课件共58页哦(三三三三)Ro
8、uth)Routh判据的特殊情况判据的特殊情况判据的特殊情况判据的特殊情况 排排劳斯表斯表时，有两种可能出，有两种可能出现的特殊情况：的特殊情况：1 1）劳斯表中某一行的第一斯表中某一行的第一项等于零，而等于零，而该行的其余各行的其余各项不全不全为零。解零。解决的决的办法是以一个很小的正数法是以一个很小的正数来代替来代替为零的零的这项。然后完成。然后完成劳斯斯表的排列。表的排列。如果第一列如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一表示方程中有一对共共轭虚根存在；虚根存在；如果第一列系数中有符号如果第一列系数中有符号变化，其化，其变化的次数等于化的
9、次数等于该方程在方程在S S平面平面右半面上根的数目。右半面上根的数目。结论：第14页，此课件共58页哦特殊情况特殊情况 （1）Routh表第一列出现零元素表第一列出现零元素例例6S5 1 2 1S4 2 4 1S3 0 1/2 0S2 1 0S1 1/2 0 0S0 1 0 0系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。第15页，此课件共58页哦例例7 7 已知系已知系统的特征方程的特征方程为试判判别相相应系系统的的稳定性定性解：解：列列劳斯表斯表方程中有方程中有对虚根，系虚根，系统不不稳定。定。，第16页，此课件共58页哦2）
10、、如果当）、如果当Routh表的任意一行中的所有元均为零时，表的任意一行中的所有元均为零时，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程导数的系数组成个多项式方程导数的系数组成Routh表的下一行。表的下一行。这种情况，则这种情况，则表示相应方程中含有一些大小相等符号相表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这些根可以通过求解这个辅助方反的实根或共轭虚根。这些根可以通过求解这个辅助方程式得到。程式得到。第17页，此课件共58页哦特殊情况特殊情况（2）Routh表中某一行全为零表中某一行全为零例例8S6 1 6 9
11、4S5 1 5 4 0S4 1 5 4 0S3S2 2.5 4 0 0S1 3.6 0 0 0S0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 10 0 0辅助方程辅助方程某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。令令F(s)=s4+5s2+4=0，求得两对大小相，求得两对大小相等、符号相反的根：等、符号相反的根：j2、j1；显然这个系统处于临界稳定状态；显然这个系统处于临界稳定状态。第18页，此课件共58页哦例例9S6 1 8 20 16S5 2 12 16 0S4 2 12 16 0S3S2 3 8 0 0S1 1/3 0 0 0S0 8 0 0 0 0 0 0 0
12、4 12 0 0辅助方程辅助方程某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。令令F(s)=s4+6s2+8=0，求得两，求得两对对大小大小相等、符号相反的根：相等、符号相反的根：，显显然然这这个系个系统处统处于于临临界界稳稳定状定状态态。第19页，此课件共58页哦例例10特征方程特征方程G(s)+Xi(s)Xo(s)S3 1 2S2 3 kS1 0S0 k 0为稳定条件确定确定K的稳定范围。的稳定范围。解：解：第20页，此课件共58页哦第三节第三节 NyquistNyquist稳定判据稳定判据 (一一)幅角原理幅角原理设有一复变函数设有一复变函数 若在若在s平面上任
13、意选定一封闭曲线平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不经过只要此曲线不经过F(s)的奇点，则在的奇点，则在F(s)平面上必有一对应的映射曲线平面上必有一对应的映射曲线LF也是一封闭曲线。也是一封闭曲线。当当s按顺时针方向沿按顺时针方向沿Ls变化一周时，变化一周时，F(s)将以原点为中心顺时针旋转将以原点为中心顺时针旋转N周周。若令。若令Z为包围于为包围于Ls内的内的F(s)的零点数，的零点数，P为包围于为包围于Ls内的内的F(s)的极点数，则的极点数，则 N=Z-P第21页，此课件共58页哦(二二)Nyquist)Nyquist稳定判据稳定判据 1、F(s)与与 GK(s),GB(s)零点
14、和极点的关系零点和极点的关系 设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数特征方程特征方程为为：令令第22页，此课件共58页哦 GB(s)F(s)GK(s)零点零点 极点极点 零点零点 极点极点 零点零点 极点极点 相同相同 相同相同 原来系统稳定的充要条件是原来系统稳定的充要条件是GB(s)的全部极点均须具有负实部的全部极点均须具有负实部,现在却变现在却变为为F(s)的全部零点须具有负实部，即的全部零点须具有负实部，即F(s)在在s右半平面无零点右半平面无零点。第23页，此课件共58页哦函数函数F(s)具有下列特点具有下列特点:(1)它的零点即它的零点
15、即系统闭环传递函数系统闭环传递函数G GB B(s)(s)的极点的极点,它的极点即它的极点即系统开环传递函数系统开环传递函数G GK K(s)(s)的极点的极点;(2)GH平面上的平面上的(-1,j0)点就是点就是F平面上的原点平面上的原点。所以在所以在GH平面上包围点平面上包围点(-1,j0)的圈数的圈数N，就等，就等于在于在F平面上平面上LF包围原点的圈数包围原点的圈数N。第24页，此课件共58页哦1、幅角原理、幅角原理:F(s)将以将以原点原点为中心为中心顺时针顺时针旋转旋转N周。周。N=Z-P2、系统稳定的充要条件、系统稳定的充要条件:F(s)在在s右半平面无零点。右半平面无零点。即即
16、 Z=0 选择一条包围整个选择一条包围整个s右半右半 平面的封闭曲线平面的封闭曲线Ls。3、GH平面上的平面上的(-1,j0)点，就是点，就是F平面上的平面上的原点原点。N=ZP=P 即在即在GH平面上的开环频率特性逆时针平面上的开环频率特性逆时针包围（包围（-1，j0）点）点P圈，则闭环系统稳定。圈，则闭环系统稳定。第25页，此课件共58页哦2、Nyquist稳定判据稳定判据：l当当由由-到到+时，若时，若GH平面上的开环频率特性平面上的开环频率特性逆时针方向包围（逆时针方向包围（-1，j0）点）点P圈，则闭环系统稳定。圈，则闭环系统稳定。P为为G(s)H(s)在在s平面的右半平面的极点数。
17、平面的右半平面的极点数。l对于开环稳定的系统，有对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳定的，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性不包含（充要条件是，系统的开环频率特性不包含（-1，j0）点。）点。第26页，此课件共58页哦用用Nyquist判据判别闭环系统稳定性的步骤判据判别闭环系统稳定性的步骤:1、确定、确定P为多少？为多少？2、作出开环、作出开环Nyquist曲线，以回答曲线，以回答N等于多少？等于多少？3、确定、确定Z是否为零？是否为零？Z=N+P 若若Z=0，表示闭环系统稳定；，表示闭环系统稳定；若若Z0，表示闭环系统不稳定。，表示闭环系统不稳定。其中其中,P-开环系
18、统在右半平面的极点数。开环系统在右半平面的极点数。N-当当由由-到到+时，开环时，开环Nyquist曲线曲线顺时针顺时针包围（包围（-1，j0）点的圈数。）点的圈数。Z-包围于包围于Ls内的内的F(s)的零点数，即闭环系统在右半平面的极点数。的零点数，即闭环系统在右半平面的极点数。第27页，此课件共58页哦例例1(a)P=0、N=0、Z=N+P=0 系统稳定系统稳定(b)P=0、N=2、Z=N+P=2 系统不稳定系统不稳定 第28页，此课件共58页哦例例2P=1(由由GK(s)表达式表达式)开环频率特性逆时针包开环频率特性逆时针包围围(-1，j0)点点1圈圈,闭环闭环稳稳定。定。P=1、N=1
19、、Z=N+P=0 系统稳定。系统稳定。第29页，此课件共58页哦习题习题第30页，此课件共58页哦(三三)开环含有积分环节时的开环含有积分环节时的NyquistNyquist轨迹轨迹开环系统含有积分环节时，开环系统含有积分环节时，Z=N+P=0不变，只须将不变，只须将Nyquist曲线曲线顺时针补充半顺时针补充半径为径为，角度为，角度为 的大圆弧。的大圆弧。第31页，此课件共58页哦P=1 、N=-1Z=N+P=0 、系统系统稳定稳定例例 3第32页，此课件共58页哦P=0 、N=2Z=N+P=2、不稳定不稳定例例 4第33页，此课件共58页哦(五五)Nyquist)Nyquist 判据应用举
20、例判据应用举例 P=0 (由由GK(s)表达式表达式)例例5开环频率特性不包含（开环频率特性不包含（-1，j0）点）点,故系统稳定故系统稳定。第34页，此课件共58页哦例例6 P=0 若若包含包含(-1，j0)点点,则系统则系统不稳定不稳定;若若不包含不包含(-1，j0)点点,系统系统稳定稳定。第35页，此课件共58页哦例例7积分环节积分环节=1不包含不包含(-1，j0)点点,系统稳定系统稳定。P=0第36页，此课件共58页哦例例8P=0 若若包含包含(-1，j0)点点,则系统不稳定则系统不稳定;若若不包含不包含(-1，j0)点点,则系统稳定则系统稳定。第37页，此课件共58页哦例例9P=0第
21、38页，此课件共58页哦习题习题第39页，此课件共58页哦例例10、设系统开环设系统开环Nyquist曲线如图所示。已知曲线如图所示。已知 P=0，v=3 ，判断闭环系统的稳定性。，判断闭环系统的稳定性。N=0Z=N+P=0所以系统稳定所以系统稳定第40页，此课件共58页哦(六六)具有延时环节的系统稳定性分析具有延时环节的系统稳定性分析具有延具有延时环节时环节的系的系统统开开环传递环传递函数函数 延时环节不改变原系统的幅频特性，仅仅使相频发生延时环节不改变原系统的幅频特性，仅仅使相频发生变化。变化。第41页，此课件共58页哦例如例如 当系统处于临界稳定状态时，有当系统处于临界稳定状态时，有解出
22、解出 =1.15当当1.15时时,闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。第42页，此课件共58页哦习题：习题：试确定试确定K的稳定范围。的稳定范围。第43页，此课件共58页哦lNyquist稳定判据小结：稳定判据小结：1、利用系统的开环利用系统的开环Nyquist曲线来判断闭环系统的稳定性曲线来判断闭环系统的稳定性。2、闭环系统稳定的充要条件是、闭环系统稳定的充要条件是 Z=N+P=0 其中其中,Z-闭环系统在右半平面的极点数。闭环系统在右半平面的极点数。P-开环系统在右半平面的极点数。开环系统在右半平面的极点数。N-当当由由-到到+时，开环时，开环Nyquist曲线曲线顺时针顺时针包围（包围（-1
23、，j0）点的圈数。）点的圈数。讨论：讨论：1、开环系统稳定（、开环系统稳定（P=0），则闭环系统稳定的充要条件是），则闭环系统稳定的充要条件是N=0，即即开环开环Nyquist曲线不包围（曲线不包围（-1，j0）点）点；2、开环系统不稳定（、开环系统不稳定（P0），则闭环系统稳定的充要条件是），则闭环系统稳定的充要条件是N=P，即即开环开环Nyquist曲线逆时针方向包围（曲线逆时针方向包围（-1，j0）点）点P圈圈；3、开环系统含有积分环节时，、开环系统含有积分环节时，Z=N+P=0不变，只须将不变，只须将Nyquist曲线曲线 顺时针补充半径为顺时针补充半径为，角度为，角度为 的大圆弧的大
24、圆弧。第44页，此课件共58页哦 习题设系统开环习题设系统开环Nyquist曲线如图所示。已知在曲线如图所示。已知在s平面的右半平面开环极平面的右半平面开环极点数为点数为2，试判断闭环系统的稳定性。，试判断闭环系统的稳定性。解：解：(a)N=0 P=2 Z=N+P=2 系统不稳定系统不稳定 (b)N=2 P=2 Z=N+P=4 系统不稳定系统不稳定 (c)N=-2 P=2 Z=N+P=0 系统稳定系统稳定第45页，此课件共58页哦第四节第四节第四节第四节 BodeBode稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据(一一)Nyquist图和图和Bode图的对应关系图的对应关系:(1)Nyquist图上的单
25、位圆对应于图上的单位圆对应于Bode图上的图上的0分贝线分贝线,即对数幅频即对数幅频 特性的横轴特性的横轴，而单位圆之外对应于，而单位圆之外对应于0分贝线之上，单位圆之内分贝线之上，单位圆之内 对应于对应于0分贝线之下。分贝线之下。(2)Nyquist图上的负实轴相当于图上的负实轴相当于Bode图上的图上的-180线线,即对数相频特性的横即对数相频特性的横轴轴。第46页，此课件共58页哦c-Nyquist轨迹与轨迹与单位圆单位圆交点的频率交点的频率,即对数幅频特性曲线即对数幅频特性曲线 与与横轴横轴交点的频率交点的频率,称为剪切频率称为剪切频率(或幅值穿越频率、幅或幅值穿越频率、幅 值交界频率
26、值交界频率)。g-Nyquist轨迹与轨迹与负实轴负实轴交点的频率交点的频率,即对数相频特性曲线即对数相频特性曲线 与与横轴横轴交点的频率交点的频率,称为相位穿越频率称为相位穿越频率(或相位交界频率或相位交界频率)。第47页，此课件共58页哦(二二)穿越的概念穿越的概念在在Nyquist 图上图上:穿越穿越:开环开环Nyquist轨迹在轨迹在(-1,j0)点以左穿过负实轴。点以左穿过负实轴。正穿越正穿越:开环开环Nyquist轨迹沿轨迹沿增加方向增加方向,自上而下自上而下穿过穿过(-1,j0)点以左的负实轴。点以左的负实轴。负穿越负穿越:开环开环Nyquist轨迹沿轨迹沿增加方向增加方向,自下
27、而上自下而上穿过穿过(-1,j0)点以左的负实轴。点以左的负实轴。半次正穿越半次正穿越:开环开环Nyquist轨迹沿轨迹沿增加方向增加方向,自自(-1,j0)点以左的负实轴开始向下。点以左的负实轴开始向下。半次负穿越半次负穿越:开环开环Nyquist轨迹沿轨迹沿增加方向增加方向,自自(-1,j0)点以左的负实轴开始向上。点以左的负实轴开始向上。第48页，此课件共58页哦 正穿越一次，对应于Nyquist轨迹逆时针包围（-1，j0）点一圈；负穿越一次，对应于Nyquist轨迹顺时针包围（-1，j0）点一圈。因此，开环Nyquist轨迹逆时针包围（-1，j0）点的次数就等于正穿越和负穿越次数之差。
28、第49页，此课件共58页哦在在Bode图上图上:正穿越正穿越:在在开环对数幅频特性开环对数幅频特性为为正值正值的频率范围内的频率范围内,对数相频特性曲线对数相频特性曲线沿沿 增加方向增加方向,自下而上自下而上穿过穿过 180线。线。负穿越负穿越:在开环对数幅频特性为正值的频率范围内在开环对数幅频特性为正值的频率范围内,对数相频特性曲线沿对数相频特性曲线沿 增加方向增加方向,自上而下自上而下穿过穿过 180线。线。半次正穿越半次正穿越:对数相频特性曲线自对数相频特性曲线自180线开始向上。线开始向上。半次负穿越半次负穿越:对数相频特性曲线自对数相频特性曲线自180线开始向下。线开始向下。第50页
29、，此课件共58页哦(三三)Bode)Bode稳定判据稳定判据l闭环系统稳定的充要条件是闭环系统稳定的充要条件是,在在Bode图上图上,当当从从0时时,在开环对数幅频特性为正值的频率范围内在开环对数幅频特性为正值的频率范围内,正穿越和负穿越正穿越和负穿越-180轴线的次数之差为轴线的次数之差为P/2时时,闭环系统稳定闭环系统稳定;否则不稳定。否则不稳定。l在在P=0时时,若若cg时，则闭环系统不稳定时，则闭环系统不稳定;若若c=g时，则闭环系统临界稳定。时，则闭环系统临界稳定。l若开环对数幅频特性对横轴若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率时，则取其最有多个剪切频率时，则取其最大的来判别稳定性。
30、大的来判别稳定性。第51页，此课件共58页哦习题：已知习题：已知试用试用Bood判据确定使系统稳定时的判据确定使系统稳定时的K值范围。值范围。第52页，此课件共58页哦第五节第五节 系统的相对稳定性系统的相对稳定性(一一)相位裕度相位裕度 l在在为剪切频率为剪切频率c(c0)时时,相频特性距相频特性距-180线的相位差线的相位差值值 称为相位裕度。称为相位裕度。l对于稳定系统对于稳定系统,必在必在Bode图图横轴以上横轴以上,这时称为正相位裕度这时称为正相位裕度;对于不稳定系统对于不稳定系统,必在必在Bode图图横轴以下横轴以下,这时称为负相位裕度。这时称为负相位裕度。l在在Nyquist图上
31、，图上，为为Nyquist轨迹与单位圆的交点轨迹与单位圆的交点A对负实轴对负实轴的相位差值。的相位差值。系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定为满足动态性能的要求，相角裕量在为满足动态性能的要求，相角裕量在300600 第53页，此课件共58页哦习题：习题：试确定使相位裕度等于试确定使相位裕度等于45度的度的a值。值。第54页，此课件共58页哦(二二)幅值裕度幅值裕度Kgl当当为为相位交界相位交界频率频率g 时时,开环幅频特性的倒数，称为系开环幅频特性的倒数，称为系统的幅值裕度统的幅值裕度。为满足动态性能的要求，为满足动态性能的要求，幅值裕量在幅值裕量在515dB。在在Nyquist图上图上:1/Kg1时时,系统不稳定。系统不稳定。第55页，此课件共58页哦例例1 试分析当阻尼比试分析当阻尼比很小很小(0)时，该闭环系统的相对稳定性。时，该闭环系统的相对稳定性。第56页，此课件共58页哦例例2 已知控制系统的开环传递函数为：已知控制系统的开环传递函数为：G(s)H(s)=K/s(s+1)(s+5)试分别求取试分别求取K=10及及K=100时的相位裕度和幅值裕度。时的相位裕度和幅值裕度。cc第57页，此课件共58页哦l求求相位裕度相位裕度 的方法的方法l求求幅值裕度幅值裕度Kg的方法的方法第58页，此课件共58页哦