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1、弹性力学第十二章复变函数法第一页，讲稿共一百零六页哦第一节 复变函数的基本概念第二节 应力函数,应力的表示 第三节 位移的表示第四节 应力边界条件第五节 园域问题的解第六节 多连通域内应力与位移的单值条件 第七节 保角映射与与曲线坐标第八节 含圆孔口的无限大板问题第九节 椭圆孔口问题第二页，讲稿共一百零六页哦第一节 复变函数的基本概念复变函数的表示分别为f(z)的实部和虚部。复数的表示共轭复数复变函数的共轭函数的表示一般，而应将所有i,换为-i.第三页，讲稿共一百零六页哦复变函数的概念和性质 复数对应平面上的点，用复数和复变函数来描述和解平面问题是十分自然的。复变函数w=f(z)将平面z上的点
2、变换为平面w上的点，将平面z上的图形变换为平面w上的图形，将平面z上的一个区域变换为平面w上的的一个区域。第一节 复变函数的基本概念第四页，讲稿共一百零六页哦 复变函数w=f(z)是单值函数时，当z平面上的一点绕行一周，回到原来的位置时，对应于w平面上的点也绕行一周，回到原来的位置。当z平面上一点再绕行一周，回到原来的位置时，对应于w平面上的点也再绕行一周，回到原来的位置。第五页，讲稿共一百零六页哦 复变函数z=f(s)是多值函数时，当s平面上的一点绕行一周，回到原来的位置时，对应于z平面上的点并不绕行一周，回到原来的位置，而是到达新的一点。当z平面上的一点再绕行一周，回到原来的位置时，对应于
3、z平面上的点从新的一点出发，画出新的曲线，到达另一个新的点的位置。第六页，讲稿共一百零六页哦 我们通常用到的多值函数是对数函数lnz.当应力和位移由复变函数组成时,为了保证他们的单值性,应考虑这一点。当z为单位圆周上的点时，绕行一周后，z的值重复，而对数函数lnz值不重复，也就是多值函数。第七页，讲稿共一百零六页哦解析函数的概念和性质 在一个区域D的每一个点处都可微的函数，叫在这个区域内的解析函数。性质1 如果函数在一区域内是解析的，那么对于所有的在这个区域内而且具有两个公共端点的那些曲线C来说，积分的值相同。性质2 如果函数在一个单连通区域内是解析的，并且在一个区域D内是连续的，那么沿区域D
4、的边界C所取的积分等于零。第八页，讲稿共一百零六页哦 对于多连通区域来说如果函数在一个区域内是解析的，并且在一个区域D内是连续的，那么沿区域D的边界C所取的积分等于零，但在通过这个区域的边界时，其通过的方向要使区域D始终保持在同一个侧。DC第九页，讲稿共一百零六页哦 性质3 如果函数f(z)在一区域内是解析的，并且在一个区域D内是连续的，那么柯西公式成立其中C是区域D的边界，其通过的方向是使区域D始终保持在其左面的。并z点应包含在区域D内,也就是说柯西积分被积函数,以z为奇点.具体例子请看mathcad中柯西积分的例子.另外有第十页，讲稿共一百零六页哦 性质4 函数为解析函数的必要条件是柯西黎
5、曼条件当这些偏导数连续时，也是充分条件。根据柯西黎曼条件，可知解析函数的实部和虚部都是调和函数:解析函数的实部和虚部是共轭的，其等值线相互垂直。第十一页，讲稿共一百零六页哦性质5 设f(z)在以z=a为圆心的圆内和圆周上是解析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：设f(z)在a点不是解析的，则称为该点为一个奇点，如除该点外解析，则称为孤立奇点。如果奇点的形式如下，则成为极点（(z)解析）：设f(z)在z=a处有一m阶极点，但在以z=a为圆心的圆内和圆周上其他点上是解析的，那么对圆内所有的点有罗朗级数表示：第十二页，讲稿共一百零六页哦 设f(z)在z=a处有一阶极点，但在以z=a为圆心的圆内和圆
6、周上其他点上是解析的，那么对圆内所有的点有罗朗级数表示：于是有另由包含a在内的柯西积分可得残数定理第十三页，讲稿共一百零六页哦如果柯西积分包含a,b两个单极点在内，则有第十四页，讲稿共一百零六页哦 复变函数w=f(z)为解析函数时，在它所实现的条件下，若在两曲线交点处的导数不为零，则变换前后曲线在该交点处的夹角的大小和旋转方向保持不变，这种变换称为保角映射。第十五页，讲稿共一百零六页哦应力函数的复变函数表示 在第二章中已经证明，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数f，它是位置坐标的重调和函数，即第二节 应力函数,应力的表示 现在，引用复变数z=xiy和zxiy以代替实变数x 和
7、y。注意第十六页，讲稿共一百零六页哦可以得到变换式第十七页，讲稿共一百零六页哦又可以进而得到变换式于是可将方程式变换成为令第十八页，讲稿共一百零六页哦由可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到，设f(z)为解析函数，可令由令第十九页，讲稿共一百零六页哦将上式对z积分，得到令即将上式对z积分，得到第二十页，讲稿共一百零六页哦注意上式左边的重调和函数f是实函数，可见该式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭的，后两项也应是共轭的：令即得有名的古萨公式它也可以再改写为第二十一页，讲稿共一百零六页哦于是可见，在常量体力的平面问题中，应力函数f总可以用复变数z的两个解析函1(z)和(z)来表示，称为
8、K-M函数。在这里我们研究了重调和函数的结构，具体的函数应由问题的边界条件得到。第二十二页，讲稿共一百零六页哦根据应力分量和应力函数的关系可得到应力分量的复变函数表示由可得第二十三页，讲稿共一百零六页哦另又有可得第二十四页，讲稿共一百零六页哦和显然,1(z)及1(z)具有同样的因次力长度-1。只要已知1(z)及1(z)，就可以把上述公式右边的虚部和实部分开，由虚部得出xy，由实部得出y-x。就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立公式，把x、y、xy三者分开用1(z)和1(z)来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。第二十五页，讲稿共一百零六页哦 现在把位移分量用复变函数1(z)和1(
9、z)来表示。假定这里讲的是平面应力问题。由几何方程及物理方程有第三节 位移的表示可得第二十六页，讲稿共一百零六页哦其中根据注意到同理第二十七页，讲稿共一百零六页哦将上两式分别对x及y积分，得其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式第二十八页，讲稿共一百零六页哦其中根据第二十九页，讲稿共一百零六页哦将得到于是可以得到刚体位移 f1(y)u0y，f2(x)v 0 x第三十页，讲稿共一百零六页哦不计刚体位移，即得到得到由式(*)第三十一页，讲稿共一百零六页哦将结果代入式(*),两边除以1+而得这就是位移分量的复变函数表示。如果已知1(z)及1(z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得出u和v。
10、上述公式是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，须将式中的E改换为E/(12)，改换为/(1)。应力和位移公式是柯洛索夫首先导出的。第三十二页，讲稿共一百零六页哦 四、应力边界条件 为了求得边界上各结点处的值，须要应用应力边界条件，即：代入上式，即得：第三十三页，讲稿共一百零六页哦l1=cos(N,x)=dy/ds,l2=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改写为：由图可见，由此得：第三十四页，讲稿共一百零六页哦设A是边界上的固定点，B为任意一点，则从到边界上的合力，可用上式从A点到B点对s积分得到：第三十五页，讲稿共一百零六页哦将式把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。因此，可
11、把应力函数A处的值设为零，于是对于边界上的有代入，整理得：这就是应力边界条件。或第三十六页，讲稿共一百零六页哦 只要我们要求出满足边界条件的两个解析函数，问题就得以解决，但要求出满足边界条件的两个解析函数，这仍旧是困难的，克罗索夫和穆斯赫利什维利(Kolosoff-Mushelishvili)根据边界条件和柯西积分解决了不少复杂的问题，在这下面我们将作一简要的介绍，通过一些例子，说明方法的应用。第三十七页，讲稿共一百零六页哦五、园域问题的解设圆的半径为R，在圆周L上给定外力，于是为已知函数，其中现在的问题是求两个解析函数，使在L上满足以2i(-z)来除上式，这里z在圆内，并在L上积分得R第三十
12、八页，讲稿共一百零六页哦现在逐个计算上式各积分，根据柯西积分公式有由于 ，在圆内解析，故可令 第三十九页，讲稿共一百零六页哦由于代入上式得这里使用了第四十页，讲稿共一百零六页哦现在来求常数a1，由a1(0)，在对上式求导后，令z=0代入后得取a1的虚部为零，并不会影响应力值，可得最后得到第四十一页，讲稿共一百零六页哦以2i(-z)来除上式，这里z在圆内，并在L上积分得现在逐个计算上式各积分，利用现在来求，将下式取共轭得第四十二页，讲稿共一百零六页哦第四十三页，讲稿共一百零六页哦求得的解析函数中，去掉与应力无关的常数得其中第四十四页，讲稿共一百零六页哦例 边界上两点受水平拉力F的作用，于是FFx
13、y12R可得第四十五页，讲稿共一百零六页哦根据计算可得第四十六页，讲稿共一百零六页哦Fx12r112r2z代入应力计算公式，并令最后可得第四十七页，讲稿共一百零六页哦六、多连通域内应力与位移的单值条件 应力确定后，应力函数仍可差一个任意的线性函数，这时K-M函数并未完全确定，对于单连通区域，可以通过选取适当坐标系等办法，使得K-M函数完全确定。但对于多连通区域仍不能完成确定，本节讨论K-M函数在多连通区域内满足单值的条件。设有多连通区域，有一内边界C，设在边界上C的外力矢量已给定。通常的多值函数是对数函数，我们设DC第四十八页，讲稿共一百零六页哦前面的函数的导数是单值的，但他们本身是多值的，当
14、z绕周边一周时，函数值ln(zk)产生一个增量2i,于是1(z)和1(z)的增量分别是2i Ak和2iBk,这时应力主矢量按照公式左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：这里zk为内部边界内的任意一点，f1和f1为单值的解析函数（全纯函数），而Ak，Bk为常数：第四十九页，讲稿共一百零六页哦结合可得到也将得到增量，根据单值性这个增量应为零：这时位移按照公式第五十页，讲稿共一百零六页哦当有m个内边界时，取于是第五十一页，讲稿共一百零六页哦无限大多连体 当多连体的外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大的多连体，除上述条件外，还需考虑无限远的极限情况。以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR
15、，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到在sR之外的解析函数第五十二页，讲稿共一百零六页哦于是可写为其中Px,Py为m个边界上沿x,y方向的面力之和。第五十三页，讲稿共一百零六页哦将多连通区域内的全纯函数*f1和*f1展开为罗郎级数：于是由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，级数中n2的系数应为零。第五十四页，讲稿共一百零六页哦同样从中，由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，应有其中略去了和应力无关的常数项。第五十五页，讲稿共一百零六页哦其中与应力计算无关，可取为零，而于是第五十六页，讲稿共一百零六页哦这时当z时，可得同样当z时，从中，可得可以从中求得相应的系数，
16、并可以看到在无限远处，应力的分布是均匀的。第五十七页，讲稿共一百零六页哦系数为第五十八页，讲稿共一百零六页哦 设有平面，复变函数z=w()将z平面上的区域变换为平面上的一个区域，通常我们选择平面为一个单位圆，下面我们首先推导在平面上的应力函数及应力分量的表达式。七、保角映射与与曲线坐标为方便起见，我们仍然用1(),1(),来表示1*(),1*()。于是有第五十九页，讲稿共一百零六页哦由此得到位移的表示式应力边界条件成为记在映射下边界条件成为其中第六十页，讲稿共一百零六页哦 除直角坐标系外，我们也可以使用其它曲线坐标，特别是正交曲线坐标，在正交曲线坐标、中，位移分量可以表示为u、u，u为增加方向
17、上的位移，u为增加方向上的位移，设在某一点，正交曲线坐标、的方向由x,y的方向转动，位移分量可以根据直角坐标系下的位移分量根据坐标变换公式得到，有下列的结果坐标变换xyo第六十一页，讲稿共一百零六页哦上式可以写为复数的形式 设有平面，复变函数z=w()将z平面上的区域变换为平面上的一个区域，同时将z平面上的一对垂直的方向，变换为平面上的一对垂直的方向，但是转过了一个角度，如果在平面选用极坐标，转过的角度为由下式给出第六十二页，讲稿共一百零六页哦证明如下。设沿轴方向给z点以位移dz，而对应点沿径线方向得到位移d，于是有可得两边取共轭，得到zxyo第六十三页，讲稿共一百零六页哦于是可以得到保角变换
18、后极坐标下的位移分量 在正交曲线坐标、中，应力分量可以表示为、和，为常数的曲线上的正应力，为 常数的曲线上的正应力，为这两曲线上的切应力，这些分量可以根据直角坐标系下的应力分量根据坐标变换公式得到，有下列的结果：第六十四页，讲稿共一百零六页哦可以写成特别在极坐标时第六十五页，讲稿共一百零六页哦于是可以得到保角变换后曲线坐标下的应力分量注意到注意上面式子中的导数应按复合函数求导进行。第六十六页，讲稿共一百零六页哦如果不作保角变换，仅仅改用极坐标，这时极坐标下的应力分量为第六十七页，讲稿共一百零六页哦 在极坐标中，如物体的周界为圆，圆心与极坐标的原点重合，这时边界上的外力与应力有关系由前面两式相减
19、可得在圆孔问题中将采用该边界条件。第六十八页，讲稿共一百零六页哦八、含圆孔口的无限大板问题 以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到第六十九页，讲稿共一百零六页哦改写为第七十页，讲稿共一百零六页哦其中对于孔边上的点第七十一页，讲稿共一百零六页哦将上列各式代入就得到极坐标下圆周边界上的级数形式的应力边界条件。第七十二页，讲稿共一百零六页哦设周边上的外力为已知，并将其展开为傅氏级数第七十三页，讲稿共一百零六页哦比较两边eik和e-ik的系数，可得第七十四页，讲稿共一百零六页哦由无限远处的应力条件，可得由位移的单值条件有及可求得第七十
20、五页，讲稿共一百零六页哦再由可求得至此，全部系数均已求出。第七十六页，讲稿共一百零六页哦例 设孔周边为均匀压力p，无限远处的应力为零，于是有于是可求得第七十七页，讲稿共一百零六页哦最后得到根据上述方法，圆孔口无限大板的一般问题都可以得到解决。第七十八页，讲稿共一百零六页哦 现考察一无限大板，板中有一椭圆孔，其长半轴和短半轴分别为a和b。九 椭圆孔在均匀受拉板中的问题这里Oab作变换该映射将椭圆外区域映射到单位圆外，这时有第七十九页，讲稿共一百零六页哦在映射下边界条件成为以2i(-)来除上式，这里在圆外，并在圆周L上积分得在这里先设孔边无外力作用，即作用于圆周线上外力的合力为零。设无限远处的应力
21、也为零。第八十页，讲稿共一百零六页哦这时成为将其代入边界条件中去，并逐项积分。第八十一页，讲稿共一百零六页哦现在逐个计算上式各积分，根据柯西积分公式有由于在单位圆上有 在圆内解析，根据柯西积分公式有第八十二页，讲稿共一百零六页哦相似可得到第八十三页，讲稿共一百零六页哦于是得到以2i(-)来除上式，这里在圆外，并在单位圆周L上积分得现在来求，将下式取共轭得第八十四页，讲稿共一百零六页哦由于有可得到第八十五页，讲稿共一百零六页哦于是在孔边无外力作用，无限远处的应力为零时我们取得到第八十六页，讲稿共一百零六页哦当孔边有外力作用，无限远处的应力不为零时，在变换下将其代入边界条件得到第八十七页，讲稿共一
22、百零六页哦其中这时的边界条件与先前的边界条件形式上类似，通过相同的步骤，可得到第八十八页，讲稿共一百零六页哦得到例 设孔的周边不受力作用，在无限远处受大小为P的拉应力，其方向与x轴成角，这时有把上述结果带回上面K-M函数的表达式，我们就得到了带椭圆孔无限大板最一般条件下的K-M函数的表达式。yOabxP第八十九页，讲稿共一百零六页哦在极坐标时在=无限远处时于是yOabxP第九十页，讲稿共一百零六页哦于是这时有其中各部分的柯西积分,根据残数定理和和柯西积分公式第九十一页，讲稿共一百零六页哦其中前两式计算如下第九十二页，讲稿共一百零六页哦代入得到最后得到第九十三页，讲稿共一百零六页哦利用他们来计算
23、应力分量转换为极坐标应力分量在边界上在时第九十四页，讲稿共一百零六页哦这时，最大值在处达到其中称为应力集中因数，可以看到b越小，即孔越窄，应力集中因数越大，当b趋于零时，椭圆孔蜕化为一个长为2a的裂缝，应力集中因数将成为无限大，对此的详细分析将在断裂力学中讨论。第九十五页，讲稿共一百零六页哦 采用椭圆曲线坐标 z=c cosh i坐标变换将平面上的 0变换为椭圆，椭圆的半径设为a,b，则有 a=c cosh 0 b=c sinh 0c和0可从中求得。附 椭圆孔在均匀受拉板中的问题 （曲线坐标解法）xy=常数=常数第九十六页，讲稿共一百零六页哦 当当 常数，从零到2时，椭圆上的一点绕椭圆一周，位
24、移和应力分量的单值性要求，这些分量在方向上是以2 为周期的。现考察一无限大板，均匀受拉力S,板中有一椭圆孔，其半径为a和b，孔边无外力作用。其边界条件为:在无限远处，x =y=S，=0在孔边0=0O第九十七页，讲稿共一百零六页哦由z=c cosh 可得取(z)=Ac sinh，(z)=Bc2 而时，ctanh=1,于是可得可得A=S/2第九十八页，讲稿共一百零六页哦而时，sinh=,于是可得并由第九十九页，讲稿共一百零六页哦于是在无限远处，=0，=0 =S，=0于是在无限远处的边界条件得到满足。xy=常数=常数第一百页，讲稿共一百零六页哦由可得第一百零一页，讲稿共一百零六页哦在孔边0令就可得到
25、满足了椭圆孔上的边界条件。第一百零二页，讲稿共一百零六页哦由位移分量可得位移分量 当 常数，从零到2时，椭圆上的一点绕椭圆一周时，由于双曲函数以2 为周期，位移和应力分量将恢复为起始值，保证了应力和位移的单值性要求。第一百零三页，讲稿共一百零六页哦由A=S/2在孔边0可得第一百零四页，讲稿共一百零六页哦 孔边最大值发生在长轴的端点，即0和处，其值为在孔边 0，椭圆的半径设为a,b，则有 a=c cosh 0 b=c sinh 0c和0可从中求得。得到 c2=a2b2 cosh 20=2ab/c2 sinh 20=(a2+b2)/c2第一百零五页，讲稿共一百零六页哦 孔边最大值为 2Sa/b 当a=b时，即对应于圆孔情况，2S 当椭圆逐渐变得扁平时，逐渐增大。xy=常数=常数ab第一百零六页，讲稿共一百零六页哦