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1、序列的平稳性及其检验1第一页，讲稿共二十七页哦 其中其中 a 是常数，是常数，t 是线性趋势函数，是线性趋势函数，ut i.i.d.N(0,2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)1.DF1.DF检验检验检验检验 为说明为说明DF检验的使用，先考虑检验的使用，先考虑3种形式的回归模型种形式的回归模型 2第二页，讲稿共二十七页哦 (1)如果如果-1 1，则，则 yt 平稳（或趋势平稳）。平稳（或趋势平稳）。(2)如果如果 =1，yt 序列是非平稳序列。序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：式可写成：显然显然 yt 的差分序列是平稳的。的差分序列是平稳的。(3)如如果果 的的绝绝对对值
2、值大大于于1，序序列列发发散散，且且其其差差分分序序列列是是非非平平稳的。稳的。3第三页，讲稿共二十七页哦 因因此此，判判断断一一个个序序列列是是否否平平稳稳，可可以以通通过过检检验验 是是否否严严格小于格小于1 1来实现。也就是说：来实现。也就是说：原假设原假设原假设原假设HH0 0：=1=1，备选假设，备选假设，备选假设，备选假设HH1 1：1 1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)从方程两边同时减去从方程两边同时减去 yt-1 得得，其中其中：=-1。4第四页，讲稿共二十七页哦 其中：其中：=-1-1，所以原假设和备选假设可以改写为，所以原假设和备选假设可以改写为 可可以以通通过
3、过最最小小二二乘乘法法得得到到 的的估估计计值值，并并对对其其进进行行显显著著性性检检验的方法，构造检验显著性水平的验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。统计量。但但是是，Dickey-Fuller研研究究了了这这个个t 统统计计量量在在原原假假设设下下已已经经不不再再服服从从 t 分分布布，它它依依赖赖于于回回回回归归归归的的的的形形形形式式式式(是是是是否否否否引引引引进进进进了了了了常常常常数数数数项项项项和和和和趋趋趋趋势项势项势项势项)和样本长度和样本长度和样本长度和样本长度T T。5第五页，讲稿共二十七页哦 Mackinnon进进行行了了大大规规模模的的模模拟拟，给给出出了了
4、不不同同回回归归模模型型、不不同同样样本本数数以以及及不不同同显显著著性性水水平平下下的的临临界界值值。这这样样，就就可可以以根根据据需需要要，选选择择适适当当的的显显著著性性水水平平，通通过过 t 统统计计量量来来决决定定是是否否接接受受或或拒拒绝绝原原假假设设。这这一一检检验验被被称称为为Dickey-Fuller检检验验(DF检验检验)。上上面面描描述述的的单单位位根根检检验验只只有有当当序序列列为为AR(1)时时才才有有效效。如如果果序序列列存存在在高高阶阶滞滞后后相相关关，这这就就违违背背了了扰扰动动项项是是独独立立同同分分布布的的假假设设。在在这这种种情情况况下下，可可以以使使用用
5、增增广广的的DF检检验验方方法法（augmented Dickey-Fuller test）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。6第六页，讲稿共二十七页哦 2.ADF2.ADF检验检验检验检验 考虑考虑 yt 存在存在p阶序列相关，用阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，阶自回归过程来修正，在上式两端减去在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得通过添项和减项的方法，可得其中其中 7第七页，讲稿共二十七页哦 ADF检检验验方方法法通通过过在在回回归归方方程程右右边边加加入入因因变变量量 yt 的的滞滞后后差差分分项项来控制高阶序列相关来控制高阶
6、序列相关 (5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)8第八页，讲稿共二十七页哦 扩展定义将检验扩展定义将检验(5.3.14)原原原原假假假假设设设设为为为为：至至至至少少少少存存存存在在在在一一一一个个个个单单单单位位位位根根根根；备备备备选选选选假假假假设设设设为为为为：序序序序列列列列不不不不存存存存在在在在单单单单位位位位根根根根。序序列列 yt可可能能还还包包含含常常数数项项和和时时间间趋趋势势项项。判判断断 的的估估计计值值 是是接接受受原原假假设设或或者者接接受受备备选选假假设设，进进而而判判断断一一个个高高阶阶自自相相关序列关序列AR(p)过程是否存在单位根。过程是否存在单
7、位根。类类似似于于DF检检验验，Mackinnon通通过过模模拟拟也也得得出出在在不不同同回回归归模模型型及及不不同同样样本本容容量量下下检检验验 不不同同显显著著性性水水平平的的 t 统统计计量量的的临临界界值值。这这使使我我们们能能够够很很方方便便的的在在设设定定的的显显著著性性水水平平下下判判断断高高阶自相关序列是否存在单位根。阶自相关序列是否存在单位根。9第九页，讲稿共二十七页哦 但是，在进行但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际问题：检验时，必须注意以下两个实际问题：（1 1）必必必必须须须须为为为为回回回回归归归归定定定定义义义义合合合合理理理理的的的的滞滞滞滞后后后后阶阶
8、阶阶数数数数，通通常常采采用用AIC准准则则来来确确定定给给定定时时间间序序列列模模型型的的滞滞后后阶阶数数。在在实实际际应应用用中中，还还需需要要兼兼顾顾其其他他的的因因素素，如如系系统统的的稳稳定定性性、模模型型的的拟拟合合优优度度等。等。（2 2）可可可可以以以以选选选选择择择择常常常常数数数数和和和和线线线线性性性性时时时时间间间间趋趋趋趋势势势势，选选择择哪哪种种形形式式很很重重要要，因因为为检检验验显显著著性性水水平平的的 t 统统计计量量在在原原假假设设下下的的渐渐近近分分布布依依赖于关于这些项的定义。赖于关于这些项的定义。10第十页，讲稿共二十七页哦 若若原原序序列列中中不不存
9、存在在单单位位根根，则则检检验验回回归归形形式式选选择择含含有有常常数数，意意味味着着所所检检验验的的序序列列的的均均值值不不为为0；若若原原序序列列中中存存在在单单位位根根，则则检检验验回回归归形形式式选选择择含含有有常常数数，意意味味着着所所检检验验的的序序列列具具有有线线性性趋趋势势，一一个个简简单单易易行行的的办办法法是是画画出出检检验验序序列列的的曲曲线线图图，通通过过图图形形观观察察原原序序列列是是否否在在一一个个偏偏离离 0 的的位位置置随随机机变变动动或或具具有有一一个个线线性性趋趋势势，进进而而决决定定是否在检验时添加常数项。是否在检验时添加常数项。若若原原序序列列中中不不存
10、存在在单单位位根根，则则检检验验回回归归形形式式选选择择含含有有常常数数和和趋趋势势，意意味味着着所所检检验验的的序序列列具具有有线线性性趋趋势势；若若原原序序列列中中存存在在单单位位根根，则则检检验验回回归归形形式式选选择择含含有有常常数数和和趋趋势势，意意味味着着所所检检验验的的序序列列具具有有二二次次趋趋势势。同同样样，决决定定是是否否在在检检验验中中添添加加时时间间趋趋势势项项，也也可可以以通通过过画画出出原原序序列列的的曲曲线线图图来来观观察察。如如果果图图形形中中大大致致显显示示了了被被检检验验序序列列的的波波动动趋趋势势呈呈非非线线性性变变化化，那么便可以添加时间趋势项。那么便可
11、以添加时间趋势项。11第十一页，讲稿共二十七页哦 3.DFGLS检验检验 在经验研究中，尽管在经验研究中，尽管DF检验的检验的DF 统计量是应用最广泛的单统计量是应用最广泛的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本条件下，数位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非常不理想。另外，据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非常不理想。另外，DF检验和检验和ADF检验对于含有时间趋势的退势平稳序列的检验是失效的。检验对于含有时间趋势的退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进因此，为了改进DF和和ADF检验的效能，检验的效能，Elliot
12、t，Rothenberg和和Stock(1996)基于基于GLS方法的退势方法的退势DF检验，简称为检验，简称为DFGLS检验，检验，其基本原理如下：其基本原理如下：12第十二页，讲稿共二十七页哦 首先定义序列首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：的拟差分序列如下：t=1,2,T 并且构造如下回归方程：并且构造如下回归方程：t=1,2,T (5.3.14)其中其中xt=(1)表示表示 yt 中只含有截距项，或中只含有截距项，或 xt=(1,t)表示表示 yt 中含有截距中含有截距项和趋势项。令表示方程项和趋势项。令表示方程(5.3.14)参数的最小二乘估计量，在实际参数的最小二乘估计量，在实际
13、计算中通常如下定义参数计算中通常如下定义参数 a：13第十三页，讲稿共二十七页哦 利用方程利用方程(5.3.14)的估计参数定义退势后的序列的估计参数定义退势后的序列ytd为为 t=1,2,T 然后，对退势后的序列然后，对退势后的序列ytd，应用，应用ADF检验，即为检验，即为DFGLS检检验。检验过程如下：验。检验过程如下：t=1,2,T 原假设和备选假设同原假设和备选假设同ADF检验一致，为检验一致，为 Elliott，Rothenberg和和Stock(1996)给出了不同置信水平下的临界给出了不同置信水平下的临界值，值，DFGLS检验同一般的检验同一般的ADF检验一样是左侧单边检验。检
14、验一样是左侧单边检验。14第十四页，讲稿共二十七页哦 EViewsEViews软件中软件中软件中软件中单位根检验单位根检验单位根检验单位根检验操作说明：操作说明：操作说明：操作说明：双双击击序序列列名名，打打开开序序列列窗窗口口，选选择择View/unit Root Test，得得到到下下图图：单位根检验窗口单位根检验窗口单位根检验窗口单位根检验窗口15第十五页，讲稿共二十七页哦 进行单位根检验必须定义进行单位根检验必须定义4项：项：1 1选择检验类型选择检验类型选择检验类型选择检验类型 在在Test type的的下下拉拉列列表表中中，选选择择检检验验方方法法。EViews5提提供供了了6种种
15、单单位位根检验的方法：根检验的方法：Augmented Dickey-Fuller(ADF)Test Dickey-Fuller GLS Test Phillips-Perron(PP)Test Kwiatkowski,Phillips,Schmidt and Shin(KPSS)Test Elliot,Rothenberg,and Stock Point Optimal(ERS)Test Ng and Perron(NP)Test16第十六页，讲稿共二十七页哦 2 2选择差分形式选择差分形式选择差分形式选择差分形式 在在Test for unit root in中中确确定定序序列列在在水水水
16、水平平平平值值值值、一一一一阶阶阶阶差差差差分分分分、二二二二阶阶阶阶差差差差分分分分下下进进行行单单位位根根检检验验。可可以以使使用用这这个个选选项项决决定定序序列列中中单单位位根根的的个个数数。如如果果检检验验水水平平值值未未拒拒绝绝，而而在在一一阶阶差差分分拒拒绝绝原原假假设设，序序列列中中含含有有一一个个单单位位根根，是是一一阶阶单单整整I(1)；如如果果一一阶阶差差分分后后的的序序列列仍仍然然未未拒拒绝绝原原假假设设，则则需需要要选选择择2阶阶差差分分。一一般般而而言言，一一个个序序列列经经过过两两次次差差分分以以后后都都可可以以变变为为一一个个平平稳稳序列，也就是二阶单整序列，也就
17、是二阶单整I(2)。17第十七页，讲稿共二十七页哦 3 3定义检验方程中需要包含的选项定义检验方程中需要包含的选项定义检验方程中需要包含的选项定义检验方程中需要包含的选项 在在Include in test equation中中定定义义在在检检验验回回归归中中是是否否含含含含有有有有常常常常数数数数项项项项、常常常常数数数数和和和和趋趋趋趋势势势势项项项项、或或或或二二二二者者者者都都都都不不不不包包包包含含含含。这这一一选选择择很很重重要要，因因为为检检验验统统计计量量在在原原假假设设下下的的分分布布随随这这3种种情情况况不不同同而而变变化化。在在什么情况下包含常数项或者趋势项，刚才已经作了
18、介绍。什么情况下包含常数项或者趋势项，刚才已经作了介绍。18第十八页，讲稿共二十七页哦 4 4 4 4定义序列相关阶数定义序列相关阶数定义序列相关阶数定义序列相关阶数 在在Lag lenth这这个个选选项项中中可可以以选选择择一一些些确确定定消消除除序序列列相相关关所所需的需的滞后阶数滞后阶数滞后阶数滞后阶数的准则。一般而言，的准则。一般而言，EViews默认默认SIC准则。准则。定定义义上上述述选选项项后后，单单击击OK进进行行检检验验。EViews显显示示检检验验统统计量和估计检验回归。计量和估计检验回归。单单位位根根检检验验后后，应应检检查查EViews显显示示的的估估计计检检验验回回归
19、归，尤尤其其是是如如果果对对滞滞后后算算子子结结构构或或序序列列自自相相关关阶阶数数不不确确定定，可可以以选选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。19第十九页，讲稿共二十七页哦 例例例例5.7 5.7 检验居民消费价格指数序列的平稳性检验居民消费价格指数序列的平稳性检验居民消费价格指数序列的平稳性检验居民消费价格指数序列的平稳性 图图图图5.9 5.9 中国中国中国中国19831983年年年年1 1月月月月20072007年年年年8 8月的月的月的月的CPICPI（上年（上年（上年（上年=100=100）序列）序列）序列）序列20第二十页，讲稿共二十七页
20、哦 例例5.7用用AR(1)模模型型模模拟拟1983年年1月月2007年年8月月居居民民消消费费价价格格指指数数一一阶阶差差分分 CPI的的变变化化规规律律。在在用用ADF进进行行单单位位根根检检验验前前，需需要要设设定定序序列列的的是是否否含含有有常常数数项项或或者者时时间间趋趋势势项项。我我们们可可以以通通过过画画出出原原序序列列的的图图形形来来判判断断是是否否要要加加入入常常数数项项或或者者时时间间趋趋势势项项。从从图图5.7的的CPI图图形形可可以以看看出出不不含含有有线线性性趋趋势势项项。CPI序序列列的的ADF检检验验结结果果(选选择择既既无无常数项也无趋势项常数项也无趋势项)如下
21、：如下：21第二十一页，讲稿共二十七页哦 1983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列单位根序列单位根ADF检验结果。可以看检验结果。可以看出不能拒绝原假设，存出不能拒绝原假设，存在单位根。在单位根。22第二十二页，讲稿共二十七页哦 1983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列单位序列单位根根DF-GLS检验结果。检验结果。采用含有常数和趋势项采用含有常数和趋势项的形式。不能拒绝原假的形式。不能拒绝原假设，设，CPI序列存在单序列存在单位根。位根。23第二十三页，讲稿共二十七页哦 检检验验结结果果显显示示，CPI序序列列接接受受原原假假设设，因因此此，CPI序序列列是是一一个个非非
22、平平稳稳的的序序列列。接接着着再再对对一一阶阶差差分分 CPI序序列列进进行行单单位位根根检检验验，ADF检验结果如下：检验结果如下：检检验验结结果果显显示示，一一阶阶差差分分 CPI序序列列拒拒绝绝原原假假设设，接接受受 CPI序序列列是是平平稳稳序序列列的的结结论论。因因此此，CPI序序列列是是1阶阶单单整整序序列列，即即CPII(1)。24第二十四页，讲稿共二十七页哦 例例例例5.9 5.9 检验中国检验中国检验中国检验中国GDPGDP序列的平稳性序列的平稳性序列的平稳性序列的平稳性 在图在图5.9中，我们可以观察到中，我们可以观察到1978年年2006年我国年我国GDP（现价，生（现价
23、，生产法）具有明显的上升趋势。在产法）具有明显的上升趋势。在ADF检验时选择含有常数项和时间检验时选择含有常数项和时间趋势项，由趋势项，由SIC准则确定滞后阶数（准则确定滞后阶数（p=4）。）。GDP序列的序列的ADF检验检验如下如下：检检验验结结果果显显示示，GDP序序列列以以较较大大的的P值值，即即100%的的概概率率接接受受原原假假设设，即存在单位根的结论。即存在单位根的结论。25第二十五页，讲稿共二十七页哦 将将GDP序列做序列做1阶差分，然后对阶差分，然后对GDP进行进行ADF检验（选择含有检验（选择含有常数项和时间趋势项，由常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶数（准则确定滞后
24、阶数（p=6）如下）如下：检验结果显示，检验结果显示，GDP序列仍接受存在单位根的结论。其他检序列仍接受存在单位根的结论。其他检验方法的结果也接受原假设，验方法的结果也接受原假设，GDP序列存在单位根，是非平稳序列存在单位根，是非平稳的。的。26第二十六页，讲稿共二十七页哦 再对再对GDP序列做差分，则序列做差分，则2GDP的的ADF检验（选择不含常数检验（选择不含常数项和趋势项项和趋势项,由由SIC准则确定滞后阶数（准则确定滞后阶数（p=6）如下：）如下：检验结果显示，二阶差分序列检验结果显示，二阶差分序列2GDP在在1%的显著性水平下拒的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定GDP序列是序列是2阶阶单整序列，即单整序列，即GDP I(2)。27第二十七页，讲稿共二十七页哦