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1、第三节高阶方程的降阶和幂级数解法本讲稿第一页，共二十三页一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型方程不显含自变量方程不显含自变量 的方程，可引进变换把原方程降一阶为的方程，可引进变换把原方程降一阶为 阶方程。阶方程。齐线性方程：通过齐线性方程：通过非零特解非零特解作变换进行降阶。作变换进行降阶。方程不显含未知函数方程不显含未知函数 ，或更一般地，设方程不含，或更一般地，设方程不含 ,即方程可降阶为即方程可降阶为 阶方程。阶方程。主要内容主要内容二、二阶线性方程的幂级数解法二、二阶线性方程的幂级数解法二、二阶线性方程的幂级数解法二、二阶线性方程的幂级数解法本讲稿第二页，共二十三页(目的目
2、的：变换之后的方程能够求解。：变换之后的方程能够求解。)一般形式的一般形式的n阶微分方程：阶微分方程：特殊形式的特殊形式的n阶微分方程：阶微分方程：引入变换：引入变换：降阶后的微分方程：降阶后的微分方程：1、方程不显含未知函数、方程不显含未知函数 ，或更一般地，设方程不含，或更一般地，设方程不含 ,即方程可降阶为即方程可降阶为 阶方程。阶方程。一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型本讲稿第三页，共二十三页【例【例1】求方程的解求方程的解 .分析分析：引进变换，改写原方程，多次积分：引进变换，改写原方程，多次积分.本讲稿第四页，共二十三页
3、2、方程不显含自变量、方程不显含自变量 t 的方程，可引进变换把原方程降一阶为的方程，可引进变换把原方程降一阶为 n-1 阶方程。阶方程。实质：实质：若令若令 ，并以它为新的未知函数，而视，并以它为新的未知函数，而视x为新的为新的自变量，此时方程可降一阶。事实上，有自变量，此时方程可降一阶。事实上，有于是，有于是，有一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型本讲稿第五页，共二十三页【例【例2】求方程求方程 的解。的解。讨论：讨论：的情况的情况分析分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论：引进变换，改写原方程，求解，讨论.讨论：讨论：的情况的情
4、况求解得求解得 ,作变换作变换有有变量还原得到原方程的解变量还原得到原方程的解 。当当 ，即，即 时，有解：时，有解：.本讲稿第六页，共二十三页【例【例3】求数学摆的运动方程求数学摆的运动方程满足初始条件：满足初始条件：t=0时，时，的解。的解。分析分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论：引进变换，改写原方程，求解，讨论.有有利用初始条件，有利用初始条件，有本讲稿第七页，共二十三页结论：结论：非线性的情形比线性的情形要复杂得多。非线性的情形比线性的情形要复杂得多。是一个是一个椭圆积分椭圆积分，不能用初等函数表示出来。，不能用初等函数表示出来。是摆从最大正偏离角是摆从最大正偏离角 第一次到达第一
5、次到达 所需时间。所需时间。令令有有通过分析，只需讨论摆在通过分析，只需讨论摆在 时间内的情况即可。时间内的情况即可。本讲稿第八页，共二十三页3、齐线性方程、齐线性方程分析：分析：求求 n 阶齐线性方程（阶齐线性方程（4.2）无普遍方法，这与常系数方程的求解有着）无普遍方法，这与常系数方程的求解有着很大的区别，但是通过分析知道，很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解如果有一个非零特解，则利用变换，可则利用变换，可将方程降低一阶将方程降低一阶;如果知道如果知道 k 个线性无关的特解，则通过一系列同类项个线性无关的特解，则通过一系列同类项的变换，使方程降低的变换，使方程降低 k 阶，并得
6、到阶，并得到 n-k 阶方程阶方程，也是齐线性的。，也是齐线性的。一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型本讲稿第九页，共二十三页引进变换引进变换 ，并引入新的未知函数，并引入新的未知函数 便得到新的便得到新的n-1阶方程。阶方程。设设 是方程（是方程（4.2）的）的k个线性无关的解。个线性无关的解。求解（求解（4.67）,就知道它的就知道它的k-1个线性无关的解个线性无关的解 。这种方法对于二阶齐次线性微分方程尤其有效。如果知道它的一个非零解，则这种方法对于二阶齐次线性微分方程尤其有效。如果知道它的一个非零解，则方程的求解问题解决了。（方程的求解问题解决了。（让同学们先推导！让同学们
7、先推导！）通过以上类似的变换，对方程（通过以上类似的变换，对方程（4.67）实施同样的变换，可将（）实施同样的变换，可将（4.67）降为）降为n-2阶阶的方程，如此进行下去，可以将原方程（的方程，如此进行下去，可以将原方程（4.2）变为）变为n-k阶方程。阶方程。本讲稿第十页，共二十三页设设 是二阶齐线性方程是二阶齐线性方程的解的解。于是有通解为：于是有通解为：本讲稿第十一页，共二十三页例例3 已知已知 是方程是方程 的解，的解，试求方程的通解。试求方程的通解。解：解：1、公式法：、公式法：已知特解求通解已知特解求通解；2、直接推导法：、直接推导法：熟悉根据特解求通解的过程熟悉根据特解求通解的
8、过程。本讲稿第十二页，共二十三页二、幂级数解法二、幂级数解法二、幂级数解法二、幂级数解法 二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解，找非零解二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解，找非零解是一件很困难的事？而方程的系数是自变量的函数，不能再用代数方法去求解是一件很困难的事？而方程的系数是自变量的函数，不能再用代数方法去求解了。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用了。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数幂级数来表示一个来表示一个函数函数。因此，自然想到，因此，自然想到，用幂级数来表示微分方程的解用幂级数来表示微分方程的解。本讲稿第十三页
9、，共二十三页例例5 求方程求方程 的满足初始条件的满足初始条件y(0)=0的解。的解。解：分析：设解：分析：设 y 可以表示成级数形式：可以表示成级数形式：为方程的解，这里为方程的解，这里 是待定系数，由此有是待定系数，由此有将将 的表达式代入方程，并比较的表达式代入方程，并比较 x 的同次幂的系数，得到的同次幂的系数，得到本讲稿第十四页，共二十三页及及y(0)=0，就有，就有,利用数学归纳法可以利用数学归纳法可以推得，一般地推得，一般地代入（代入（4.71）得）得这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解而由条件而由条
10、件y(0)=0,确定常数确定常数c=-1，即得方程的解为。，即得方程的解为。本讲稿第十五页，共二十三页例例6 求方程求方程 的满足初始条件的满足初始条件y(0)=0的解。的解。解：解：以以 代入原方程并比代入原方程并比较较 的同次幂的系数。的同次幂的系数。并利用初始条件并利用初始条件 ，有，有于是有于是有此级数对任何此级数对任何 都是发散的，都是发散的，故，所给问题没有形如假设故，所给问题没有形如假设形式的级数解。形式的级数解。本讲稿第十六页，共二十三页注意注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的幂级数形式，它们或者的幂级数形式，它们或者因为级数的系数无
11、法确定，或者因为所得级数不收敛。究竟方程应该满足什因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？级数的形式如何？其收敛区间如么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。何？等等这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦翻译的高等数学教程第三卷第三分册第五章。这里只提一可参阅叶彦谦翻译的高等数学教程第三卷第三分册第五章。这里只提一下下Bessel方程和方程和Bessel函数。函数。本讲稿第十七页，共二十三页考虑二阶齐线性方程
12、考虑二阶齐线性方程及初始条件及初始条件注：总可以假定注：总可以假定 ，否则作变换，否则作变换定理定理10 若方程若方程(4.72)中系数中系数 和和 都能展成都能展成 的幂级数，的幂级数，且收敛区间为且收敛区间为 ，则方程（，则方程（4.72）有形如）有形如的特解，收敛半径也为的特解，收敛半径也为 。本讲稿第十八页，共二十三页定理定理11 若方程（若方程（4.72）中系数）中系数 和和 都具有这样的性质，都具有这样的性质，即即 和和 能展成能展成 的幂级数，且收敛区间为的幂级数，且收敛区间为 ，则方程（则方程（4.72）有形如）有形如的特解，收敛半径也为的特解，收敛半径也为 。是一个待定常数。
13、是一个待定常数。本讲稿第十九页，共二十三页4.3.3 第二宇宙速度的计算第二宇宙速度的计算问题问题 计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度二宇宙速度。在这个速。在这个速度下，物体将摆脱地球的引力，像地球一样绕着太阳运行。度下，物体将摆脱地球的引力，像地球一样绕着太阳运行。本讲稿第二十页，共二十三页注意分析说明方程的来源和求解方法。注意分析说明方程的来源和求解方法。通解为：通解为：实际上就是解一个二阶微分方程（牛顿第二定律）。实际上就是解一个二阶微分方程（牛顿第二定律）。利用初始条件，当利用初始条件，当 时，时，有，有本讲稿第二十一页，共二十三页因而有
14、因而有物体运动速度必须是正的，于是有物体运动速度必须是正的，于是有对于任意对于任意r成立，只有成立，只有所以，最小发射速度为所以，最小发射速度为而地球表面的重力加速度为而地球表面的重力加速度为g,于是有于是有这就是第二宇宙速度。这就是第二宇宙速度。本讲稿第二十二页，共二十三页作业：作业：P182-183 1，2，5，6，7 小小 结结高阶微分方程可降阶的类型；高阶微分方程可降阶的类型；幂级数求解微分方程的基本步骤；幂级数求解微分方程的基本步骤；第二宇宙速度的计算。第二宇宙速度的计算。微分方程的求解是一个难题，能否不求解而研究微分方程解的微分方程的求解是一个难题，能否不求解而研究微分方程解的性质？性质？问题：问题：本讲稿第二十三页，共二十三页