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1、动能和势能力学1第1页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能4.14.1能量能量另一个守恒量另一个守恒量 能量概念的能量概念的能量概念的能量概念的认识认识认识认识和和和和由来由来由来由来:从从从从“使物体运动起来需要付出代价使物体运动起来需要付出代价使物体运动起来需要付出代价使物体运动起来需要付出代价”（人们最早对生活中实际的问题的认识）；（人们最早对生活中实际的问题的认识）；（人们最早对生活中实际的问题的认识）；（人们最早对生活中实际的问题的认识）；“运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）运动的物体具有某种功效（
2、例如：运动的子弹可以嵌入泥土）运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）”；16861686年莱布尼茨提出：物体年莱布尼茨提出：物体年莱布尼茨提出：物体年莱布尼茨提出：物体“运动的量运动的量运动的量运动的量”与物体速度平方成反比；与物体速度平方成反比；与物体速度平方成反比；与物体速度平方成反比；16951695年年年年,“,“运动的量运动的量运动的量运动的量”发展为发展为发展为发展为“”,并称作并称作并称作并称作“活力活力活力活力”；科里奥利称之为；科里奥利称之为；科里奥利称之为；科里奥利称之为“功功功功”；18011801年，托马斯年，托马斯年，托马斯年，托马斯 杨提出将杨提出将
3、杨提出将杨提出将“”称作称作称作称作“能能能能”，“功能原理功能原理功能原理功能原理”和和和和“机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒”思想，思想，思想，思想，自然界一切过程都必须满足能量守恒定律；自然界一切过程都必须满足能量守恒定律；自然界一切过程都必须满足能量守恒定律；自然界一切过程都必须满足能量守恒定律；18071807年正式出现年正式出现年正式出现年正式出现“能能能能”这一术语。这一术语。这一术语。这一术语。18531853年出现了年出现了年出现了年出现了“势能势能势能势能”，18561856年出年出年出年出现了现了现了现了“动能动能动能动能”。从经典物理学到现代物理学，对能量的认识
4、发生了巨大的变化：从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化：从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化：从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化：能量可连续取值能量可连续取值能量可连续取值能量可连续取值普朗克指出：物体只能以普朗克指出：物体只能以普朗克指出：物体只能以普朗克指出：物体只能以 hh 为单位发射和吸收电磁波为单位发射和吸收电磁波为单位发射和吸收电磁波为单位发射和吸收电磁波 微观世界的原子光谱是线状谱微观世界的原子光谱是线状谱微观世界的原子光谱是线状谱微观世界的原子光谱是线状谱 能级是分立的。能级是分立的。能级是分立的。能级是分立的。能量概念最
5、早源于生产能量概念最早源于生产能量概念最早源于生产能量概念最早源于生产经过概念的比较和辨别经过概念的比较和辨别经过概念的比较和辨别经过概念的比较和辨别升华为科学的概念。升华为科学的概念。升华为科学的概念。升华为科学的概念。2第2页，本讲稿共55页4.24.2力的元功力的元功 用线积分表示功用线积分表示功 我们知道：我们知道：我们知道：我们知道：自然界中能量是守恒的，但能量还是可以转移和改变形式的，而改变能量自然界中能量是守恒的，但能量还是可以转移和改变形式的，而改变能量自然界中能量是守恒的，但能量还是可以转移和改变形式的，而改变能量自然界中能量是守恒的，但能量还是可以转移和改变形式的，而改变能
6、量的手段就是做功的手段就是做功的手段就是做功的手段就是做功。一、力的元功和功率一、力的元功和功率一、力的元功和功率一、力的元功和功率 在以前学过：在以前学过：在以前学过：在以前学过：功是力在受力质点的位移上的投影与位移的乘积功是力在受力质点的位移上的投影与位移的乘积功是力在受力质点的位移上的投影与位移的乘积功是力在受力质点的位移上的投影与位移的乘积。其其其其成立的条件成立的条件成立的条件成立的条件：力是恒力且质点沿直线运动。：力是恒力且质点沿直线运动。：力是恒力且质点沿直线运动。：力是恒力且质点沿直线运动。对于力是一对于力是一对于力是一对于力是一变力变力变力变力，且质点沿曲线运动的一般情况：，
7、且质点沿曲线运动的一般情况：，且质点沿曲线运动的一般情况：，且质点沿曲线运动的一般情况：方法：方法：方法：方法：将物体的位移将物体的位移将物体的位移将物体的位移“细分细分细分细分”成许多小段，每段可视成许多小段，每段可视成许多小段，每段可视成许多小段，每段可视为方向不变的小位移，小位移上的力可认为是不变的。为方向不变的小位移，小位移上的力可认为是不变的。为方向不变的小位移，小位移上的力可认为是不变的。为方向不变的小位移，小位移上的力可认为是不变的。元位移元位移元位移元位移：无穷小的位移，可以认为合轨迹重合。：无穷小的位移，可以认为合轨迹重合。：无穷小的位移，可以认为合轨迹重合。：无穷小的位移，
8、可以认为合轨迹重合。第四章动能和势能第四章动能和势能3第3页，本讲稿共55页1.1.元功：元功：元功：元功：力在元位移上的功称为元功力在元位移上的功称为元功力在元位移上的功称为元功力在元位移上的功称为元功标量。标量。标量。标量。力的元功等于力力的元功等于力力的元功等于力力的元功等于力 与受力质点无穷小位移与受力质点无穷小位移与受力质点无穷小位移与受力质点无穷小位移 的标积：的标积：的标积：的标积：（1 1）表示力与位移的夹角：表示力与位移的夹角：表示力与位移的夹角：表示力与位移的夹角：注意：注意：注意：注意：（1 1）功的位移指受力点的位移，若为质点，就是质点的位移）功的位移指受力点的位移，若
9、为质点，就是质点的位移）功的位移指受力点的位移，若为质点，就是质点的位移）功的位移指受力点的位移，若为质点，就是质点的位移 例如：手握住一端固定于墙壁的绳并在绳上滑动，绳上的受例如：手握住一端固定于墙壁的绳并在绳上滑动，绳上的受例如：手握住一端固定于墙壁的绳并在绳上滑动，绳上的受例如：手握住一端固定于墙壁的绳并在绳上滑动，绳上的受力点不断变化，但受力并未发生位移，故作用于绳上的摩擦力不力点不断变化，但受力并未发生位移，故作用于绳上的摩擦力不力点不断变化，但受力并未发生位移，故作用于绳上的摩擦力不力点不断变化，但受力并未发生位移，故作用于绳上的摩擦力不做功。但绳子对手的摩擦力做功。做功。但绳子对
10、手的摩擦力做功。做功。但绳子对手的摩擦力做功。做功。但绳子对手的摩擦力做功。第四章动能和势能第四章动能和势能4第4页，本讲稿共55页例如：人在路面上行走时，例如：人在路面上行走时，例如：人在路面上行走时，例如：人在路面上行走时，不做功，因为有力时，没有位移；有位移时没有力。不做功，因为有力时，没有位移；有位移时没有力。不做功，因为有力时，没有位移；有位移时没有力。不做功，因为有力时，没有位移；有位移时没有力。常用判别式常用判别式常用判别式常用判别式：，受力点不断转移时，应用此事来判断，受力点不断转移时，应用此事来判断，受力点不断转移时，应用此事来判断，受力点不断转移时，应用此事来判断，为受力物
11、为受力物为受力物为受力物体受力点相对于计算功参照系的速度。体受力点相对于计算功参照系的速度。体受力点相对于计算功参照系的速度。体受力点相对于计算功参照系的速度。例：齿轮的转动：主动轮对从动轮做正功，从动轮对例：齿轮的转动：主动轮对从动轮做正功，从动轮对例：齿轮的转动：主动轮对从动轮做正功，从动轮对例：齿轮的转动：主动轮对从动轮做正功，从动轮对主动轮做负功主动轮做负功主动轮做负功主动轮做负功。（2 2）功和参考系有关。）功和参考系有关。）功和参考系有关。）功和参考系有关。（因为：位移和参考系有关系）（因为：位移和参考系有关系）（因为：位移和参考系有关系）（因为：位移和参考系有关系）例：一辆汽车以
12、例：一辆汽车以例：一辆汽车以例：一辆汽车以 运动，突然急刹车，最后静止，求摩擦力所作的功。运动，突然急刹车，最后静止，求摩擦力所作的功。运动，突然急刹车，最后静止，求摩擦力所作的功。运动，突然急刹车，最后静止，求摩擦力所作的功。摩擦力相对于地面的功为：摩擦力相对于地面的功为：摩擦力相对于地面的功为：摩擦力相对于地面的功为：（2 2）第四章动能和势能第四章动能和势能5第5页，本讲稿共55页上述同样的车和另一辆并排的甲车以上述同样的车和另一辆并排的甲车以上述同样的车和另一辆并排的甲车以上述同样的车和另一辆并排的甲车以 作匀速直线运动，作匀速直线运动，作匀速直线运动，作匀速直线运动，为乙车相对甲车的
13、位移。为乙车相对甲车的位移。为乙车相对甲车的位移。为乙车相对甲车的位移。(2)(2)式表明：以甲车为参考系，式表明：以甲车为参考系，式表明：以甲车为参考系，式表明：以甲车为参考系，f f 做正功。做正功。做正功。做正功。因此，由于位移因此，由于位移因此，由于位移因此，由于位移 和参考系有关，故和参考系有关，故和参考系有关，故和参考系有关，故摩擦力做负功的说法为错摩擦力做负功的说法为错摩擦力做负功的说法为错摩擦力做负功的说法为错。与此相联系：与此相联系：与此相联系：与此相联系：机械能守恒定律与参考系也有关，在一个惯性系中守恒，但在另一惯机械能守恒定律与参考系也有关，在一个惯性系中守恒，但在另一惯
14、机械能守恒定律与参考系也有关，在一个惯性系中守恒，但在另一惯机械能守恒定律与参考系也有关，在一个惯性系中守恒，但在另一惯性系中就不守恒。性系中就不守恒。性系中就不守恒。性系中就不守恒。第四章动能和势能第四章动能和势能6第6页，本讲稿共55页例如：斜面上的物体例如：斜面上的物体例如：斜面上的物体例如：斜面上的物体 mm 沿光滑的斜面下滑，沿光滑的斜面下滑，沿光滑的斜面下滑，沿光滑的斜面下滑，M M 对于地面以对于地面以对于地面以对于地面以向左方运动，向左方运动，向左方运动，向左方运动，不计摩擦力。不计摩擦力。不计摩擦力。不计摩擦力。斜面参考系，物块斜面参考系，物块斜面参考系，物块斜面参考系，物块
15、 mm 机械能守恒，机械能守恒，机械能守恒，机械能守恒，；地面参考系，物块地面参考系，物块地面参考系，物块地面参考系，物块 mm 机械能不守恒，机械能不守恒，机械能不守恒，机械能不守恒，。另外：关于位移另外：关于位移另外：关于位移另外：关于位移的解释还可举例如下：的解释还可举例如下：的解释还可举例如下：的解释还可举例如下：同样，绳子对人的拉力做功，但人对绳子的拉同样，绳子对人的拉力做功，但人对绳子的拉同样，绳子对人的拉力做功，但人对绳子的拉同样，绳子对人的拉力做功，但人对绳子的拉力不做功，因为人对绳子施力，但作用点的绳子没力不做功，因为人对绳子施力，但作用点的绳子没力不做功，因为人对绳子施力，
16、但作用点的绳子没力不做功，因为人对绳子施力，但作用点的绳子没有位移。有位移。有位移。有位移。2.2.若多个力若多个力若多个力若多个力 作用于质点，位移作用于质点，位移作用于质点，位移作用于质点，位移，则合力的功为：，则合力的功为：，则合力的功为：，则合力的功为：即即即即：合力所做的功等于分力所做功的合力所做的功等于分力所做功的合力所做的功等于分力所做功的合力所做的功等于分力所做功的代数和代数和代数和代数和。第四章动能和势能第四章动能和势能7第7页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能3.3.平均功率平均功率平均功率平均功率 即：即：即：即：功与时间的比值叫做该段时间的平均功率（平均做
17、功的快慢）。功与时间的比值叫做该段时间的平均功率（平均做功的快慢）。功与时间的比值叫做该段时间的平均功率（平均做功的快慢）。功与时间的比值叫做该段时间的平均功率（平均做功的快慢）。4.4.瞬时功率瞬时功率瞬时功率瞬时功率 当时间当时间当时间当时间 时，力的平均功率的极限叫力的瞬时功率。时，力的平均功率的极限叫力的瞬时功率。时，力的平均功率的极限叫力的瞬时功率。时，力的平均功率的极限叫力的瞬时功率。（4 4）即：即：即：即：力的功率等于力与受力点速度的力的功率等于力与受力点速度的力的功率等于力与受力点速度的力的功率等于力与受力点速度的标积标积标积标积。8第8页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四
18、章动能和势能二、不同坐标系元功的表示二、不同坐标系元功的表示二、不同坐标系元功的表示二、不同坐标系元功的表示 1.1.平面直角坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系 力：力：力：力：元位移：元位移：元位移：元位移：元功：元功：元功：元功：（5 5）例：例：例：例：若质点做直线运动，令若质点做直线运动，令若质点做直线运动，令若质点做直线运动，令 x x 轴和位移重合，则：轴和位移重合，则：轴和位移重合，则：轴和位移重合，则：9第9页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能2.2.平面自然坐标系平面自然坐标系平面自然坐标系平面自然坐标系 力：力：力：力：元位移：元位移：元位移：元
19、位移：元功：元功：元功：元功：（6 6）即：即：即：即：功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。3.3.极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系 力：力：力：力：元位移：元位移：元位移：元位移：元功：元功：元功：元功：（7 7）一般说来，常用的形式是：一般说来，常用的形式是：一般说来，常用的形式是：一般说来，常用的形式是：直角坐标系形式直角坐标系形式直角坐标系形式直角坐标系形式和和和和自然坐标系形式自然坐标系形式自然坐标系形式自然坐标系形式。1
20、0第10页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能三、力在有限路径上的功三、力在有限路径上的功三、力在有限路径上的功三、力在有限路径上的功 方法：方法：方法：方法：用积分描述受力质点在有限路径上的功。用积分描述受力质点在有限路径上的功。用积分描述受力质点在有限路径上的功。用积分描述受力质点在有限路径上的功。讨论：讨论：讨论：讨论：力自力自力自力自 沿曲线至沿曲线至沿曲线至沿曲线至 做的功：做的功：做的功：做的功：“细分细分细分细分”：位移看作由许多元位移：位移看作由许多元位移：位移看作由许多元位移：位移看作由许多元位移 组成，组成，组成，组成，力的元功：力的元功：力的元功：力的元功：“
21、做和做和做和做和”：总功：总功：总功：总功：“求极限求极限求极限求极限”：元位移的数目：元位移的数目：元位移的数目：元位移的数目n n 无限增多，而无限增多，而无限增多，而无限增多，而，则上式和的极，则上式和的极，则上式和的极，则上式和的极限给出功的精确值。限给出功的精确值。限给出功的精确值。限给出功的精确值。11第11页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能该和式的极限称作力该和式的极限称作力该和式的极限称作力该和式的极限称作力沿曲线自沿曲线自沿曲线自沿曲线自至至至至的线积分，记作：的线积分，记作：的线积分，记作：的线积分，记作：（8 8）上式表明：上式表明：上式表明：上式表明：变
22、力的功等于元功之和。变力的功等于元功之和。变力的功等于元功之和。变力的功等于元功之和。注：注：注：注：(8)(8)式的线积分除与力有关外，还与积分路径有关。式的线积分除与力有关外，还与积分路径有关。式的线积分除与力有关外，还与积分路径有关。式的线积分除与力有关外，还与积分路径有关。例：例：例：例：12第12页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能在直角坐标系中：在直角坐标系中：在直角坐标系中：在直角坐标系中：在自然坐标系中：在自然坐标系中：在自然坐标系中：在自然坐标系中：在平面极坐标系中：在平面极坐标系中：在平面极坐标系中：在平面极坐标系中：13第13页，本讲稿共55页第四章动能和势
23、能第四章动能和势能如图，一轻细线系一小如图，一轻细线系一小如图，一轻细线系一小如图，一轻细线系一小球，小球在光滑水平桌面上球，小球在光滑水平桌面上球，小球在光滑水平桌面上球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，绳穿过桌中沿螺旋线运动，绳穿过桌中沿螺旋线运动，绳穿过桌中沿螺旋线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力心光滑圆孔，用力心光滑圆孔，用力心光滑圆孔，用力F F向下拉绳。向下拉绳。向下拉绳。向下拉绳。证明力证明力证明力证明力F F对线作的功等于线作对线作的功等于线作对线作的功等于线作对线作的功等于线作用于小球的拉力所作的功，线用于小球的拉力所作的功，线用于小球的拉力所作的功，线用于小球的拉力所作的
24、功，线不可伸长。不可伸长。不可伸长。不可伸长。例题例题例题例题14第14页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能15第15页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能4.34.3质点和质点系动能定理质点和质点系动能定理 一、质点的动能定理一、质点的动能定理一、质点的动能定理一、质点的动能定理令：令：令：令：动能动能动能动能（1 1）则有：则有：则有：则有：(1)(1)式表明：式表明：式表明：式表明：合外力所做的元功等于动能的微分合外力所做的元功等于动能的微分合外力所做的元功等于动能的微分合外力所做的元功等于动能的微分。16第16页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能
25、例：在自然坐标系中，例：在自然坐标系中，例：在自然坐标系中，例：在自然坐标系中，即：即：即：即：质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的元功。质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的元功。质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的元功。质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的元功。质点的动能定理的积分形式：质点的动能定理的积分形式：质点的动能定理的积分形式：质点的动能定理的积分形式：(2)(2)式表明：式表明：式表明：式表明：质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功,对
26、应于非无限小的过程。对应于非无限小的过程。对应于非无限小的过程。对应于非无限小的过程。（2 2）注：注：注：注：功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速度有关，是一状态量。功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速度有关，是一状态量。功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速度有关，是一状态量。功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速度有关，是一状态量。17第17页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能二、质点系内力的功二、质点系内力的功二、质点系内力的功二、质点系内力的功 如如如如图图图图示
27、示示示：两两两两质质质质点点点点沿沿沿沿虚虚虚虚线线线线轨轨轨轨迹迹迹迹运运运运动动动动，相相相相对对对对于于于于参参参参考考考考点点点点OO的的的的位位位位置置置置矢矢矢矢量量量量各各各各为为为为和和和和，表表表表示示示示质质质质点点点点1 1对对对对2 2的的的的作作作作用用用用力力力力，表表表表示示示示质质质质点点点点2 2对对对对1 1的的的的作作作作用用用用力力力力，这这这这对对对对作用力元功之和为：作用力元功之和为：作用力元功之和为：作用力元功之和为：令：令：令：令：，是质点，是质点，是质点，是质点2 2相对于质点相对于质点相对于质点相对于质点1 1的位矢，则：的位矢，则：的位矢，
28、则：的位矢，则：设：设：设：设：的单位矢量是，则：的单位矢量是，则：的单位矢量是，则：的单位矢量是，则：即：即：即：即：二质点间相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于另一质二质点间相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于另一质二质点间相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于另一质二质点间相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于另一质点元位移的标积点元位移的标积点元位移的标积点元位移的标积。也即：也即：也即：也即：二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变二质点间作
29、用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变。（3 3）18第18页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能三、三、三、三、质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理 设：设：设：设：质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于 各质点的初始动能和末动能分别是：各质点的初始动能和末动能分别是：各
30、质点的初始动能和末动能分别是：各质点的初始动能和末动能分别是：和和和和由质点的动能定理得：由质点的动能定理得：由质点的动能定理得：由质点的动能定理得：对于一切质点取和：对于一切质点取和：对于一切质点取和：对于一切质点取和：（4 4）19第19页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能定义：定义：定义：定义：质点系的动能质点系的动能质点系的动能质点系的动能-质点系内各质点动能之和。质点系内各质点动能之和。质点系内各质点动能之和。质点系内各质点动能之和。将将将将(4)(4)中的功分为两部分：中的功分为两部分：中的功分为两部分：中的功分为两部分：和和和和则：则：则：则：即：即：即：即：质点系
31、动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和，称作质，称作质，称作质，称作质点系的动能定理。点系的动能定理。点系的动能定理。点系的动能定理。注：内力功的推论：注：内力功的推论：注：内力功的推论：注：内力功的推论：若二质点间的距离不变若二质点间的距离不变若二质点间的距离不变若二质点间的距离不变(dr dr=0)=0)，则它们之间的内力功为零，则它们之间的内力功为零，则它们之间的内力功为零，则它们之间的内力功为零。刚体
32、的内力功为零刚体的内力功为零刚体的内力功为零刚体的内力功为零。20第20页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能轻轻轻轻且且且且不不不不可可可可伸伸伸伸长长长长的的的的线线线线悬悬悬悬挂挂挂挂质质质质量量量量为为为为500g500g的的的的圆圆圆圆柱柱柱柱体体体体。圆圆圆圆柱柱柱柱体体体体又又又又套套套套在在在在可可可可沿沿沿沿水水水水平平平平方方方方向向向向移移移移动动动动的的的的框框框框架架架架内内内内，框框框框架架架架槽槽槽槽沿沿沿沿铅铅铅铅直直直直方方方方向向向向。框框框框架架架架质质质质量量量量为为为为200g200g。自自自自悬悬悬悬线线线线静静静静止止止止于于于于铅铅铅
33、铅直直直直位位位位置置置置开开开开始始始始，框框框框架架架架在在在在水水水水平平平平力力力力F=20.0NF=20.0N作作作作用用用用下下下下移移移移至至至至图图图图中中中中位位位位置置置置，求求求求圆圆圆圆柱柱柱柱体体体体的的的的速速速速度度度度。线线线线长长长长20cm20cm。不计摩擦。不计摩擦。不计摩擦。不计摩擦。例题：例题：例题：例题：21第21页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能22第22页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能4.44.4保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能 一、力场一、力场一、力场一、力场 场力场力场力场力定义：质点所受的力仅与质
34、点的位置有关。定义：质点所受的力仅与质点的位置有关。定义：质点所受的力仅与质点的位置有关。定义：质点所受的力仅与质点的位置有关。例如，重力例如，重力例如，重力例如，重力 场：场：场：场：弹簧的弹性力场弹簧的弹性力场弹簧的弹性力场弹簧的弹性力场：电磁力场和引力场电磁力场和引力场电磁力场和引力场电磁力场和引力场：洛伦兹力洛伦兹力洛伦兹力洛伦兹力 和摩擦力和摩擦力和摩擦力和摩擦力 均不是力场。均不是力场。均不是力场。均不是力场。有心力有心力有心力有心力：质点所受力的作用线总通过一点，则该力称有心力。质点所受力的作用线总通过一点，则该力称有心力。质点所受力的作用线总通过一点，则该力称有心力。质点所受力
35、的作用线总通过一点，则该力称有心力。例如：正电荷的电场是有心力场。例如：正电荷的电场是有心力场。例如：正电荷的电场是有心力场。例如：正电荷的电场是有心力场。弹簧的弹性力场是有心力场。弹簧的弹性力场是有心力场。弹簧的弹性力场是有心力场。弹簧的弹性力场是有心力场。23第23页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力 1.1.保守力保守力保守力保守力 定义定义定义定义：力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。：力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。：力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。：力
36、所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。如图示：如图示：如图示：如图示：即：即：即：即：保守力沿闭和路径所做的功为零。保守力沿闭和路径所做的功为零。保守力沿闭和路径所做的功为零。保守力沿闭和路径所做的功为零。24第24页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能2.2.非保守力（耗散力）非保守力（耗散力）非保守力（耗散力）非保守力（耗散力）定定定定义义义义：力力力力所所所所做做做做的的的的功功功功不不不不仅仅仅仅决决决决定定定定于于于于受受受受力力力力质质质质点点点点的的的的始始始始末末末末位位位位置置置置，而而而而且且且且和和和和质质质质点点点点经经经经过过过过的的的的路路路路径径
37、径径有有有有关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。例如：摩擦力。例如：摩擦力。例如：摩擦力。例如：摩擦力。力学中常见的保守力力学中常见的保守力力学中常见的保守力力学中常见的保守力 a.a.重力：重力：重力：重力：25第25页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能b.b.弹性力：弹性力：弹性力：弹性力：用用用用 x x 表示形变量，有：表示形变量，有：表示形变量，有：表示形变量，有：设：弹簧原长是设：弹簧原长是设：弹簧原长是设：弹簧原长是 ,在图中任一位置处（在图中任一位置
38、处（在图中任一位置处（在图中任一位置处（是是是是 方向的单位矢量）：方向的单位矢量）：方向的单位矢量）：方向的单位矢量）：26第26页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能c.c.万有引力：万有引力：万有引力：万有引力：由此可知：静电库仑力也是保守力。由此可知：静电库仑力也是保守力。由此可知：静电库仑力也是保守力。由此可知：静电库仑力也是保守力。27第27页，本讲稿共55页三、势能三、势能三、势能三、势能 设质点由设质点由设质点由设质点由 位置位置位置位置（A A）到达到达到达到达 位置（位置（位置（位置（B B）。重力的功：重力的功：重力的功：重力的功：弹性力的功：弹性力的功：弹性
39、力的功：弹性力的功：万有引力的功：万有引力的功：万有引力的功：万有引力的功：（以前谈到（以前谈到（以前谈到（以前谈到“增加增加增加增加”，指：末减初；若是初减末，则为，指：末减初；若是初减末，则为，指：末减初；若是初减末，则为，指：末减初；若是初减末，则为“减少量减少量减少量减少量”）第四章动能和势能第四章动能和势能由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质点的位置的
40、某个函数点的位置的某个函数点的位置的某个函数点的位置的某个函数 的减少量。这个函数就叫的减少量。这个函数就叫的减少量。这个函数就叫的减少量。这个函数就叫势能函数势能函数势能函数势能函数，用，用，用，用 表示。表示。表示。表示。28第28页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能由此可见：由此可见：由此可见：由此可见：保守力做正功，势能减少保守力做正功，势能减少保守力做正功，势能减少保守力做正功，势能减少，即：，即：，即：，即：或者：或者：或者：或者：保守力所做的功的负值，对应于势能的增加保守力所做的功的负值，对应于势能的增加保守力所做的功的负值，对应于势能的增加保守力所做的功的负值，对
41、应于势能的增加。即：。即：。即：。即：由上述讨论可知：由上述讨论可知：由上述讨论可知：由上述讨论可知：1.1.重力势能函数：重力势能函数：重力势能函数：重力势能函数：2.2.弹性势能函数：弹性势能函数：弹性势能函数：弹性势能函数：3.3.万有引力势能函数：万有引力势能函数：万有引力势能函数：万有引力势能函数：c c是由势能零点来决定的。是由势能零点来决定的。是由势能零点来决定的。是由势能零点来决定的。29第29页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能对于重力势能：对于重力势能：对于重力势能：对于重力势能：对于弹性势能：对于弹性势能：对于弹性势能：对于弹性势能：对于万有引力势能：对于万
42、有引力势能：对于万有引力势能：对于万有引力势能：势能和保守力是相对应的。势能值不是绝对的，而是相对的，依据于势能势能和保守力是相对应的。势能值不是绝对的，而是相对的，依据于势能势能和保守力是相对应的。势能值不是绝对的，而是相对的，依据于势能势能和保守力是相对应的。势能值不是绝对的，而是相对的，依据于势能零点的选取。零点的选取。零点的选取。零点的选取。若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：即：即：即：即：一定位置的势能在
43、数值等于从势能零点到此位置保守力所做功的负值。一定位置的势能在数值等于从势能零点到此位置保守力所做功的负值。一定位置的势能在数值等于从势能零点到此位置保守力所做功的负值。一定位置的势能在数值等于从势能零点到此位置保守力所做功的负值。或：或：或：或：一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：30第30页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能例如：例如：例如：例如：由此可见：由此可见：由此可见：由此可见：不能
44、说，万有引力势能总是负的，而不能说，万有引力势能总是负的，而不能说，万有引力势能总是负的，而不能说，万有引力势能总是负的，而与势能零点的选取有关与势能零点的选取有关与势能零点的选取有关与势能零点的选取有关。势能属于质点系所共有。势能属于质点系所共有。势能属于质点系所共有。势能属于质点系所共有。31第31页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能小结小结小结小结（保守力和势能的关系）（保守力和势能的关系）（保守力和势能的关系）（保守力和势能的关系）保守力和势能相对应；反之亦然。保守力和势能相对应；反之亦然。保守力和势能相对应；反之亦然。保守力和势能相对应；反之亦然。保守力所做的功等于势能
45、的减少量：保守力所做的功等于势能的减少量：保守力所做的功等于势能的减少量：保守力所做的功等于势能的减少量：保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作的功。保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作的功。保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作的功。保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作的功。保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝对的，依据于势能零点的选择，势能函保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝对的，依据于势能零点的选择，势能函保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝对的，依据于势能零点的选择，势能函保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝
46、对的，依据于势能零点的选择，势能函数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是绝对的，不依据于势能零点的选择。数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是绝对的，不依据于势能零点的选择。数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是绝对的，不依据于势能零点的选择。数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是绝对的，不依据于势能零点的选择。32第32页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能保守力的方向与等势面垂直，指向势能减少的方向。保守力的方向与等势面垂直，指向势能减少的方向。保守力的方向与等势面垂直，指向势能减少的方向。保守力的方向与等势面垂直，指向势能减少的方向。因
47、为，沿等势面保守力不做功，则有因为，沿等势面保守力不做功，则有因为，沿等势面保守力不做功，则有因为，沿等势面保守力不做功，则有 而：而：而：而：对于三维情况：对于三维情况：对于三维情况：对于三维情况：可见：可见：可见：可见：33第33页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能四、势能是物体相对位置的函数四、势能是物体相对位置的函数四、势能是物体相对位置的函数四、势能是物体相对位置的函数 因势能与保守力相联系，故势能是属于以保守力相互作用的，是系统所因势能与保守力相联系，故势能是属于以保守力相互作用的，是系统所因势能与保守力相联系，故势能是属于以保守力相互作用的，是系统所因势能与保守力相
48、联系，故势能是属于以保守力相互作用的，是系统所共有的，不是一个物体所具有的。共有的，不是一个物体所具有的。共有的，不是一个物体所具有的。共有的，不是一个物体所具有的。例题例题例题例题二仅可压缩的弹簧组成一可变刚度系二仅可压缩的弹簧组成一可变刚度系二仅可压缩的弹簧组成一可变刚度系二仅可压缩的弹簧组成一可变刚度系数的弹簧组，弹簧数的弹簧组，弹簧数的弹簧组，弹簧数的弹簧组，弹簧1 1和和和和2 2的刚度系数各为的刚度系数各为的刚度系数各为的刚度系数各为k k1 1和和和和 k k2 2。它们自由伸展的长度相差。它们自由伸展的长度相差。它们自由伸展的长度相差。它们自由伸展的长度相差l l。坐标。坐标。
49、坐标。坐标原点置于弹簧原点置于弹簧原点置于弹簧原点置于弹簧2 2自由伸展处。求弹簧组在自由伸展处。求弹簧组在自由伸展处。求弹簧组在自由伸展处。求弹簧组在 和和和和 x x0mm1 1，即小球与光滑的无穷大的平面相碰，可知：，即小球与光滑的无穷大的平面相碰，可知：，即小球与光滑的无穷大的平面相碰，可知：，即小球与光滑的无穷大的平面相碰，可知：y y 方向，对心碰撞：方向，对心碰撞：方向，对心碰撞：方向，对心碰撞：50第50页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能例题：例题：例题：例题：1 1（ZYZY）、一一一一质质质质量量量量为为为为200g200g的的的的框框框框架架架架，用用用用
50、一一一一弹弹弹弹簧簧簧簧悬悬悬悬挂挂挂挂起起起起来来来来，使使使使弹弹弹弹簧簧簧簧伸伸伸伸长长长长10cm10cm，今今今今有有有有一一一一质质质质量量量量为为为为200g200g的的的的铅铅铅铅块块块块在在在在高高高高30cm30cm处处处处从从从从静静静静止止止止开开开开始始始始落落落落进进进进框框框框架架架架。求求求求此此此此框框框框架架架架向向向向下下下下移移移移动动动动的的的的最最最最大大大大距距距距离离离离。弹弹弹弹簧簧簧簧质质质质量量量量不不不不计计计计，空空空空气气气气阻阻阻阻力力力力不不不不计。计。计。计。51第51页，本讲稿共55页第四章动能和势能第四章动能和势能52第52