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1、建筑力学第五章静定结构位移计算1第1页，此课件共30页哦虚功和虚功原理虚功和虚功原理功、广义力、广义位移功、广义力、广义位移物理上定义：物理上定义：W=FS F集中力；集中力；S线位移线位移现在将此式的定义扩大：现在将此式的定义扩大：W=P 式中：式中：W广义功广义功；P广义力广义力；与与P相应的相应的广义位移广义位移功的正负号规定：当力功的正负号规定：当力P P与相应位移与相应位移 方向一致时，功为正；两者方向方向一致时，功为正；两者方向相反时，功为负。相反时，功为负。虚功虚功1 1、定义：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。定义：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。其它
2、因素一般指温度变化、支座的移动或另外的荷载等。其它因素一般指温度变化、支座的移动或另外的荷载等。二、位移计算的一般公式二、位移计算的一般公式2第2页，此课件共30页哦虚功的表达式：虚功的表达式：W=P注意注意：（1 1）力）力P与与位移必须是相应的。位移必须是相应的。（2 2）力）力P与位移与位移是互相独立，彼此无关的，即无因果是互相独立，彼此无关的，即无因果 关系。关系。（3 3）虚功的正负号规定与前面相同。）虚功的正负号规定与前面相同。P1ABP2123虚功：虚功：W=P12“虚虚”字是强调位移和做功的力无关的特点！字是强调位移和做功的力无关的特点！3第3页，此课件共30页哦变形体体系的虚
3、功原理变形体体系的虚功原理 变形体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有外力变形体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有外力在体系几何可能位移和变形上所作的虚功恒等于体系上所在体系几何可能位移和变形上所作的虚功恒等于体系上所有内力所作的虚功。有内力所作的虚功。W外外=W内内即：即：4第4页，此课件共30页哦 单位荷载法单位荷载法虚拟单位荷载的建立虚拟单位荷载的建立(1)(1)欲求欲求A A点的水平线位移时，在点的水平线位移时，在A A点沿水平方向加一单位集中力如点沿水平方向加一单位集中力如图图(b)(b)所示；所示；(2)(2)欲求欲求A A点的角位移，在点的角位移，在A A点加一单位力偶如图点加
4、一单位力偶如图(c)(c)所示；所示；(3)(3)欲求欲求A A、B B两点的相对线位移，在两点的相对线位移，在A A、B B两点沿两点沿ABAB连线方向加连线方向加一对反向的单位集中力，如图一对反向的单位集中力，如图(d)(d)所示；所示；(4)(4)欲求欲求A A、B B两截面的相对角位移，在两截面的相对角位移，在A A、B B两截面处加一对反向的两截面处加一对反向的单位力偶，如图单位力偶，如图(e)(e)所示。所示。5第5页，此课件共30页哦位移状态（实际）位移状态（实际）CCP力状态（虚设）力状态（虚设）如果在需求位移处沿位移方向虚设一个相应的单位力如果在需求位移处沿位移方向虚设一个相
5、应的单位力P=1，由虚功原理可得：，由虚功原理可得：=1 正负号规定：当力和位移方向一致时，乘积为正，反之为负。正负号规定：当力和位移方向一致时，乘积为正，反之为负。所以，由上式求得所以，由上式求得 的如果是正值，说明位移的如果是正值，说明位移 的方向与所设单位的方向与所设单位荷载方向一致；反之，则相反。荷载方向一致；反之，则相反。结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式6第6页，此课件共30页哦如果结构只有荷载作用，因支座位移为零，则可得如果结构只有荷载作用，因支座位移为零，则可得 由材料力学公式，实际荷载下杆件内力由材料力学公式，实际荷载下杆件内力MMP P、F FQPQP、F FNP
6、NP作作用下所引起的相应变形用下所引起的相应变形dd、dd、dd分别为：分别为：7第7页，此课件共30页哦1、荷载作用下位移的计算公式、荷载作用下位移的计算公式M,FQ,FN 虚设单位荷载引起的内力虚设单位荷载引起的内力MP,FQP,FNP 实际荷载引起的内力实际荷载引起的内力k 剪力不均匀系数剪力不均匀系数正负号规定：正负号规定：轴力轴力 以拉力为正以拉力为正剪力剪力 以顺转以顺转 为正为正弯矩弯矩 只规定乘积的正负号，同侧受拉时乘积只规定乘积的正负号，同侧受拉时乘积MPM取正，反之取正，反之为负。为负。8第8页，此课件共30页哦2 2、各类结构的位移计算公式、各类结构的位移计算公式1 1、
7、梁和刚架、梁和刚架2 2、桁架、桁架3 3、组合结构、组合结构（梁式杆）（梁式杆）（链杆）（链杆）9第9页，此课件共30页哦荷载作用下位移计算的步骤荷载作用下位移计算的步骤1 1、沿需求位移的位置和方向虚设、沿需求位移的位置和方向虚设相应相应的单位荷载；的单位荷载；2 2、根据静力平衡条件，列出在单位荷载作用下各杆段内力、根据静力平衡条件，列出在单位荷载作用下各杆段内力 方程；方程；3 3、列出实际荷载作用下各杆段内力方程；、列出实际荷载作用下各杆段内力方程；4 4、将各内力方程分别代入公式，分段积分后再求和即可计算出所求、将各内力方程分别代入公式，分段积分后再求和即可计算出所求位移。位移。1
8、0第10页，此课件共30页哦 四、图乘法求静定结构的位移四、图乘法求静定结构的位移1 1）图乘法的应用条件）图乘法的应用条件 1 1、杆件为直杆；、杆件为直杆；2 2、各杆段的、各杆段的EI分别等于常数；分别等于常数；3 3、M、MP图中至少有一个是直线图形。图中至少有一个是直线图形。2 2）图乘法的计算公式）图乘法的计算公式=i yiEI 为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积 y为面积为为面积为 的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐标，即的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐标，即y必必须在直线图上量取。须在直线图上量取。公式正负号规定：公式正负号规
9、定：若若 与与y 在杆件的同一侧时，乘积取正值，反之，在杆件的同一侧时，乘积取正值，反之，则取负值。则取负值。ABABy形心1 1、图乘法公式、图乘法公式11第11页，此课件共30页哦3 3）几种常见图形的面积和形心位置）几种常见图形的面积和形心位置 注意：在应用抛物线图形公式时，必须为标准抛物线，注意：在应用抛物线图形公式时，必须为标准抛物线，即即顶点在中点或端点的抛物线。顶点在中点或端点的抛物线。顶点指其切线平行于底边的点，即在顶点处顶点指其切线平行于底边的点，即在顶点处Q=0。顶点顶点顶点12第12页，此课件共30页哦2 2、图乘分段和叠加、图乘分段和叠加1 1、分段、分段 （1 1）一
10、个图形是曲线，另一个图形是由直线组成的折线，则应分）一个图形是曲线，另一个图形是由直线组成的折线，则应分段计算。如：段计算。如：123y3y1y2 （2 2）杆件各段有不同的）杆件各段有不同的EI，则应在，则应在EI变化处分段，分段进行图变化处分段，分段进行图乘。如：乘。如：EI1EI2EI1EI211y1y213第13页，此课件共30页哦2 2、叠加、叠加 在图形的面积的计算或形心位置的确定比较复杂时，可在图形的面积的计算或形心位置的确定比较复杂时，可将复杂图形分解为计算简单的图形，叠加计算。将复杂图形分解为计算简单的图形，叠加计算。（1 1）两个图形都是梯形）两个图形都是梯形abcd12y
11、1y214第14页，此课件共30页哦 （2 2）当弯矩图为非标准抛物线时，要将图形分解成两个简）当弯矩图为非标准抛物线时，要将图形分解成两个简单图形分别计算，再叠加。例如：单图形分别计算，再叠加。例如：qL2/8A AB BMMBABAMMABABA AB BMMBABAMMABABA AB BqL2/8AB15第15页，此课件共30页哦 例例1 1：试用图乘法计算如图所示简：试用图乘法计算如图所示简支梁跨中截面支梁跨中截面C的竖向位移的竖向位移C和和B端的角位移端的角位移 B。EI为常数。为常数。ABCqL/2L/2解：解：1 1、计算、计算C CABCqL2/8MMP P图图CABMM图图
12、P=1L/41EI1=2=2(23L218qL258L4)=5qL4384EI2 2、计算、计算B BABMM图图m=11EI1B B=(2318qL212)L=qL324EIy1y216第16页，此课件共30页哦 例例2 2：计算图示悬臂刚架在：计算图示悬臂刚架在CC点作用荷载时，梁中点点作用荷载时，梁中点D D的挠度。的挠度。EI为常数为常数PLABCLDP=1ABCD解：1、在D点设单位竖向力2、作Mp图和M图PLPLPLPABCM MP P图图M M图图3、图乘法计算21y2y117第17页，此课件共30页哦例例3 3：求图示刚架：求图示刚架C C截面的竖向位移截面的竖向位移C C 。
13、EI为常数为常数10kN/mABC6m6m20kN30045300ABCM MP P图（图（kNm)kNm)ABCM M图（图（m)m)P=166解：作解：作MMP P图和图和MM图图EI1=(3006)6123006)4(4323456)3(EI1EI13860 kNm3=618第18页，此课件共30页哦五、梁的位移及刚度校核五、梁的位移及刚度校核 1 1、梁的位移梁的位移 挠度：挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移横截面形心在垂直于轴线方向的线位移用用w w 表示，规定表示，规定w w 向下为正。向下为正。转角：转角：横截面的角位移横截面的角位移 ，规定顺时针转为正，规定顺时针转为正1
14、9第19页，此课件共30页哦 在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表所示），可供计算时查用。（如表所示），可供计算时查用。表表 梁的挠度与转角公式梁的挠度与转角公式 2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端1.悬臂梁 集中荷载作用在自由端最大挠度转角荷载类型20第20页，此课件共30页哦续表续表时4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上时21第21页，此课件共30页哦6简支梁弯曲力偶作用在梁的一端5简支梁 均匀分布荷载作用在梁上-（在处）续表续表-22第22页，此课件共30页哦2 2梁的刚度校核梁的刚度校核梁的位移过大，则
15、不能正常工作梁的位移过大，则不能正常工作 对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比为标准 在工程上，吊车梁的在工程上，吊车梁的 1/600 1/600 铁路钢桁梁的铁路钢桁梁的 1/900 1/900梁的刚度条件为梁的刚度条件为:23第23页，此课件共30页哦 例：图示简支梁由工字钢制成，例：图示简支梁由工字钢制成，跨度中点处承受集跨度中点处承受集中载荷中载荷 Fp。已知。已知Fp=40KN，跨度，跨度l=3m ，许用应力，许用应力 =160MPa，许用挠度，许用挠度w=l/500，弹性模量，弹性模量E=2105MPa ，试选择工字钢的型号。
16、，试选择工字钢的型号。24第24页，此课件共30页哦解解 （1 1）按强度条件选择工字钢型号）按强度条件选择工字钢型号梁的最大弯矩为：梁的最大弯矩为：按弯曲正应力强度条件选截面按弯曲正应力强度条件选截面25第25页，此课件共30页哦查型钢表选用查型钢表选用20a20a工字钢工字钢,其弯曲截面系数为其弯曲截面系数为237cm3237cm3，惯性矩，惯性矩I=2370cm4I=2370cm4（2 2）校核梁的刚度）校核梁的刚度=4.75mm=4.75mm=梁的刚度足够梁的刚度足够 所以，选用所以，选用20a20a工字钢工字钢 26第26页，此课件共30页哦3 3、提高梁抗弯刚度的措施、提高梁抗弯刚
17、度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度、梁的跨度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：度可以采取以下措施：(1)(1)增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，值，一般不采用增大一般不采用增大E 值的方法。值的方法。在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩可提高惯性矩I 。27第27页，此课件共30页哦（2 2）减小梁的跨度）减小梁的跨度L L
18、梁的变形与其跨度的梁的变形与其跨度的n n次幂成正比。设法减小梁的次幂成正比。设法减小梁的跨度跨度L L，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L L 值：值：增加中间支座增加中间支座 而28第28页，此课件共30页哦两端支座内移两端支座内移 如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部
19、分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图c c），从而使梁中段在荷），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。值。29第29页，此课件共30页哦(3)(3)改善荷载的作用情况改善荷载的作用情况在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。刚度提高。30第30页，此课件共30页哦