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1、第二章连续系统的时域分析第1页，本讲稿共50页1 微分算子及其特性微分算子及其特性u定义定义则：则：则：则：对于算子方程：对于算子方程：其含义是：其含义是：第2页，本讲稿共50页微分算子的主要特性微分算子的主要特性微微微微分分分分算算算算子子子子不不不不是是是是代代代代数数数数方方方方程程程程，而而而而是是是是算算算算子子子子记记记记法法法法的的的的微微微微积积积积分分分分方方方方程程程程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。多多多多项项项项式式式式的的的的算算算算子子子子可可可
2、可以以以以像像像像代代代代数数数数量量量量那那那那样样样样进进进进行行行行乘乘乘乘法法法法运运运运算算算算，也也也也可可可可以像代数式那样进行因式分解的运算。以像代数式那样进行因式分解的运算。以像代数式那样进行因式分解的运算。以像代数式那样进行因式分解的运算。算子方程两边的公共因子一般不允许消去。算子方程两边的公共因子一般不允许消去。算子方程两边的公共因子一般不允许消去。算子方程两边的公共因子一般不允许消去。如：如：如：如：但：但：但：但：但在某种情况下公共因子可以消去，如：但在某种情况下公共因子可以消去，如：但在某种情况下公共因子可以消去，如：但在某种情况下公共因子可以消去，如：但但简单的如
3、：简单的如：简单的如：简单的如：但但第3页，本讲稿共50页微分算子的主要特性微分算子的主要特性u转移算子：转移算子：HH(p p)把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：若：若：若：若：，则，则，则，则u系统的自然频率系统的自然频率(特征根特征根)：的根为系统的自然频率或特征根。的根为系统的自然频率或特征根。u算子阻抗：算子阻抗：对电感：对电感：Lp Lp 算子阻抗算子阻抗算子阻抗算子阻抗对电容：对电容：算子阻抗算子阻抗算子阻抗算子阻抗
4、引入了算子阻抗后，网络的微分方程引入了算子阻抗后，网络的微分方程引入了算子阻抗后，网络的微分方程引入了算子阻抗后，网络的微分方程可以通过电路分析课程的分析方法列可以通过电路分析课程的分析方法列可以通过电路分析课程的分析方法列可以通过电路分析课程的分析方法列出。如网孔法、节点法、叠加定理、出。如网孔法、节点法、叠加定理、出。如网孔法、节点法、叠加定理、出。如网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理等。戴维南定理等。戴维南定理等。戴维南定理等。第4页，本讲稿共50页例例 1列出电路的微分方程，变量为列出电路的微分方程，变量为列出电路的微分方程，变量为列出电路的微分方程，变量为 i i2 2。解：网孔方
5、程为：解：网孔方程为：解：网孔方程为：解：网孔方程为：故，微分方程为：故，微分方程为：故，微分方程为：故，微分方程为：第5页，本讲稿共50页例例 2求如图所示电路的转移算子：求如图所示电路的转移算子：求如图所示电路的转移算子：求如图所示电路的转移算子：解：解：解：解：用用用用节点方程节点方程节点方程节点方程可可可可求得：求得：求得：求得：第6页，本讲稿共50页2 微分方程的经典解法微分方程的经典解法u全响应齐次解全响应齐次解(自由响应自由响应)特解特解(强迫响应强迫响应)u齐次解：齐次解：齐次解：齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率写出特征方程，求出特征根（自然频率写出特征方程，求出特征
6、根（自然频率写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：同的形式。一般形式（无重根）：同的形式。一般形式（无重根）：同的形式。一般形式（无重根）：u特解：特解：特解：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，根据输入信号的形式有对应特解的形式，根据输入信号的形式有对应特解的形式，根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信用待定系数法
7、确定。在输入信号为直流和正弦信用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。号时，特解就是稳态解。号时，特解就是稳态解。号时，特解就是稳态解。u用初始值确定积分常数。用初始值确定积分常数。用初始值确定积分常数。用初始值确定积分常数。一般情况下，一般情况下，一般情况下，一般情况下，n n 阶方程阶方程阶方程阶方程有有有有n n 个常数，可用个个常数，可用个个常数，可用个个常数，可用个 n n 初始值确定。初始值确定。初始值确定。初始值确定。为特征根为特征根为特征根为特征根第7页，本讲稿共50页例例 1描述某线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的
8、方程为描述某线性非时变系统的方程为试求：当试求：当试求：当试求：当 时的全解。时的全解。时的全解。时的全解。解：解：解：解：(1)求齐次解，特征根为：求齐次解，特征根为：(2)(2)求特解：设特解为：求特解：设特解为：求特解：设特解为：求特解：设特解为：将将将将上式上式上式上式代入原微分方程，得：代入原微分方程，得：代入原微分方程，得：代入原微分方程，得：即：即：即：即：比较系数可得：比较系数可得：比较系数可得：比较系数可得：解解解解之：之：之：之：全全全全解的通解为：解的通解为：解的通解为：解的通解为：将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式
9、，得：自由响应自由响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应强迫响应强迫响应故，全解为：故，全解为：故，全解为：故，全解为：第8页，本讲稿共50页全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应u零输入响应的求法与齐次解一样零输入响应的求法与齐次解一样为特征根为特征根为特征根为特征根由初始值确定由初始值确定由初始值确定由初始值确定u零状态响应的求法与求非齐次方程一样零状态响应的求法与求非齐次方程一样为特征根为特征根为特征根为特征根由零状态初始值确定由零状态初始值确定由零状态初始值确定由零状态初始值确定第9页，本讲稿共50页例例 2描述某线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的方程为描述某
10、线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的方程为试求：当试求：当试求：当试求：当 时的零输入响应和零状态响应。时的零输入响应和零状态响应。时的零输入响应和零状态响应。时的零输入响应和零状态响应。解：解：解：解：(1)零输入响应，特征根为：零输入响应，特征根为：(2)(2)零状态响应：特零状态响应：特零状态响应：特零状态响应：特解求法同例解求法同例解求法同例解求法同例1 1，将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式，得：代入初始值，得代入初始值，得代入初始值，得代入初始值，得解得解得解得解得第10页，本讲稿共50页齐次微分方程：D(p)r(t)
11、=0，特征方程：D(p)=0零输入响应的一般形式u设系统为零输入零输入 e e(t)=0(t)=0 时，即时，即 D(p)r(t)=0若无重根：若有K阶重根，即：第11页，本讲稿共50页例例 3已知系统的转移算子已知系统的转移算子已知系统的转移算子已知系统的转移算子 ，初始条件为，初始条件为，初始条件为，初始条件为 ,试求系统的零输入响应试求系统的零输入响应试求系统的零输入响应试求系统的零输入响应 r rzi zi(t)(t)。并画出草图。并画出草图。并画出草图。并画出草图。解：令解：令解：令解：令 得：得：得：得：代入初值得：代入初值得：代入初值得：代入初值得：解得：解得：解得：解得：故：故
12、：故：故：第12页，本讲稿共50页例例 4已知系统的转移算子已知系统的转移算子已知系统的转移算子已知系统的转移算子 ，初始条件为，初始条件为，初始条件为，初始条件为 ,试求系统的零输入响应试求系统的零输入响应试求系统的零输入响应试求系统的零输入响应 r rzi zi(t)(t)。并画出草图。并画出草图。并画出草图。并画出草图。解：令解：令解：令解：令 得：得：得：得：代入初值得：代入初值得：代入初值得：代入初值得：解得：解得：解得：解得：第13页，本讲稿共50页关于初始状态的讨论关于初始状态的讨论u0 状态和状态和 0 状态状态u0 0 状态状态状态状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由称为
13、零输入时的初始状态。即初始值是由称为零输入时的初始状态。即初始值是由称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的；系统的储能产生的；系统的储能产生的；系统的储能产生的；u0 0 状态状态状态状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不称为加入输入后的初始状态。即初始值不称为加入输入后的初始状态。即初始值不称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。仅有系统的储能，还受激励的影响。仅有系统的储能，还受激励的影响。仅有系统的储能，还受激励的影响。u各种响应用初始值确定积分常数的区别各种响应用初始值确定积分常数的区别u在经典法求全响应的积分常数时，用的是在经典法求全响应的
14、积分常数时，用的是在经典法求全响应的积分常数时，用的是在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 0 状态状态状态状态初始值。初始值。初始值。初始值。u在求系统零输入响应时，用的是在求系统零输入响应时，用的是在求系统零输入响应时，用的是在求系统零输入响应时，用的是 0 0 状态初始值。状态初始值。状态初始值。状态初始值。u在求系统零状态响应时，用的是在求系统零状态响应时，用的是在求系统零状态响应时，用的是在求系统零状态响应时，用的是 0 0 状态初始值，状态初始值，状态初始值，状态初始值，这时的零状态是指这时的零状态是指这时的零状态是指这时的零状态是指 0 0 状态为零。状态为零。状态为零。状态
15、为零。第14页，本讲稿共50页关于初始状态的讨论u从 0 状态到 0 状态的跃变u当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 0 状态到状态到 0 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含自由项是否包含(t)(t)及其各阶导数。及其各阶导数。u如果包含有如果包含有(t)(t)及其各阶导数，说明相应的及其各阶导数，说明相应的0 0状态状态到到0 0状态发生了跳变。状态发生了跳变。u0 状态的确定u已知已知 0 0 状态求状态求 0 0 状态的值，可用冲激函数匹配状态的值，可用冲激函数匹配法。见有关参考资料。法。
16、见有关参考资料。u求求 0 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出，见第定理求出，见第5 5章内容。章内容。第15页，本讲稿共50页课堂练习题课堂练习题2-1 已已知知系系统统的的微微分分方方程程为为 ，且且初初始始条条件件为为y(0)=3和和y(0)=4。求求系系统统的的自自由由响响应应、强强迫迫响响应应、零零输输入入响响应应、零零状状态态响应及全响应。并弄清楚几种响应之间的关系。响应及全响应。并弄清楚几种响应之间的关系。第16页，本讲稿共50页3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 冲激响应的求法u 直接求解法 u 间接求解法u 转移算子法
17、阶跃响应的求法 是冲激响应的积分 第17页，本讲稿共50页冲激响应冲激响应 直接求解法直接求解法 输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，称为输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，称为输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，称为输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，称为冲激响应。用冲激响应。用冲激响应。用冲激响应。用 h h(t)(t)表示。表示。表示。表示。uu若一阶系统为若一阶系统为若一阶系统为若一阶系统为冲激响应为：冲激响应为：冲激响应为：冲激响应为：t t 00+后冲激响应后冲激响应后冲激响应后冲激响应与零输入响应的与零输入响应的与零输入响应的与零输入响应的形式相同形式相同
18、形式相同形式相同将将将将h h(t)(t)代代代代入原方程：入原方程：入原方程：入原方程：即：即：即：即：故：故：故：故：u若一阶系统为冲激响应为：冲激响应为：冲激响应为：冲激响应为：比较系数比较系数：故：故：故：故：第18页，本讲稿共50页冲激响应冲激响应 直接求解法直接求解法u对于对于 n 阶系统为阶系统为当当当当 n n m m 时：时：时：时：当当当当 n=m n=m 时：时：时：时：当当当当 nm n m m 时：时：时：时：当当当当 n n m m 时：时：时：时：再按部分分式展开。再按部分分式展开。再按部分分式展开。再按部分分式展开。第21页，本讲稿共50页阶跃响应阶跃响应 输入
19、信号为单位阶跃函数时系统的零状态响输入信号为单位阶跃函数时系统的零状态响应，称为阶跃响应。用应，称为阶跃响应。用 r (t)表示。表示。u阶跃响应的形式阶跃响应的形式u阶跃响应与冲激响应的关系阶跃响应与冲激响应的关系：对于对于对于对于 n n 阶系统：阶系统：阶系统：阶系统：特解为特解为 ，齐次解的确定与冲激响应类似。，齐次解的确定与冲激响应类似。当当当当 n n m m 时：时：时：时：r (t)中含有中含有中含有中含有t t ，确定方法与冲激响应类似。，确定方法与冲激响应类似。，确定方法与冲激响应类似。，确定方法与冲激响应类似。当当当当 n n m m 时：时：时：时：第22页，本讲稿共5
20、0页例例 1 方法一：用直接求解法方法一：用直接求解法 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为试求其冲激响应试求其冲激响应试求其冲激响应试求其冲激响应h h(t)(t)。解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根：冲激响应的形式为：冲激响应的形式为：冲激响应的形式为：冲激响应的形式为：对上式求导，得：对上式求导，得：对上式求导，得：对上式求导，得：将上述三个等式及将上述三个等式及将上述三个等式及将上述三个等式及 代入原微分方程，经整理代入原微分方程，经整理代入原微分方程，经整理代入原微分方程，经整理比
21、较方程两边系数，解得：比较方程两边系数，解得：比较方程两边系数，解得：比较方程两边系数，解得：故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：此例说明了用直接法的步骤：此例说明了用直接法的步骤：此例说明了用直接法的步骤：此例说明了用直接法的步骤：确定冲激响应的形式；确定冲激响应的形式；确定冲激响应的形式；确定冲激响应的形式；将冲激响应代入原方程，将冲激响应代入原方程，将冲激响应代入原方程，将冲激响应代入原方程，用待定系数法确定其系数。用待定系数法确定其系数。用待定系数法确定其系数。用待定系数法确定其系数。第23页，本讲稿共50页例例 1 方法二：用间接求
22、解法方法二：用间接求解法 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为试求其冲激响应试求其冲激响应试求其冲激响应试求其冲激响应h h(t)(t)。解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根：设设设设t t 单独作用时的单独作用时的单独作用时的单独作用时的冲激响应：冲激响应：冲激响应：冲激响应：故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：其初始值为：其初始值为：其初始值为：其初始值为：代入上式有：代入上式有：代入上式有：代入上式有：解得：解得：解得：解得：此例说明了
23、用间接法的步骤：此例说明了用间接法的步骤：此例说明了用间接法的步骤：此例说明了用间接法的步骤：确定单输入确定单输入确定单输入确定单输入t t 的的的的冲激响应冲激响应冲激响应冲激响应h ho o(t)(t)；利用线性时不变特性求利用线性时不变特性求利用线性时不变特性求利用线性时不变特性求h h(t)(t)。第24页，本讲稿共50页例例 1 方法三：用转移算子法方法三：用转移算子法 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为试求其冲激响应试求其冲激响应试求其冲激响应试求其冲激响应h h(t)(t)。解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根：解：先求出方
24、程的特征根：解：先求出方程的特征根：转移算子为转移算子为转移算子为转移算子为故，系统的冲激响应为故，系统的冲激响应为故，系统的冲激响应为故，系统的冲激响应为 此例说明了用转移算子法的步骤：此例说明了用转移算子法的步骤：此例说明了用转移算子法的步骤：此例说明了用转移算子法的步骤：确定系统的转移算子确定系统的转移算子确定系统的转移算子确定系统的转移算子H(p)H(p)；用部分分式法展开用部分分式法展开用部分分式法展开用部分分式法展开(有理化后有理化后有理化后有理化后)写写写写出冲激响应出冲激响应出冲激响应出冲激响应 h h(t)(t)。第25页，本讲稿共50页例例 2如图所示电路如图所示电路如图所
25、示电路如图所示电路,以以以以 u uS S为输入为输入为输入为输入,u u2 2为输出，为输出，为输出，为输出，试列出其微分方程，用时域分析法试列出其微分方程，用时域分析法试列出其微分方程，用时域分析法试列出其微分方程，用时域分析法求出电路的冲激响应和阶跃响应。求出电路的冲激响应和阶跃响应。求出电路的冲激响应和阶跃响应。求出电路的冲激响应和阶跃响应。解：系统转移算子为：解：系统转移算子为：解：系统转移算子为：解：系统转移算子为：电路的微分方程为：电路的微分方程为：电路的微分方程为：电路的微分方程为：冲激响应为：冲激响应为：冲激响应为：冲激响应为：阶跃响应为：阶跃响应为：阶跃响应为：阶跃响应为：
26、第26页，本讲稿共50页例例 3电路如图所示，电容电路如图所示，电容电路如图所示，电容电路如图所示，电容C C原已充电到原已充电到原已充电到原已充电到3V3V，现通过强度为，现通过强度为，现通过强度为，现通过强度为 8 8 (t)(t)的的的的冲激电流冲激电流冲激电流冲激电流,则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量为则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量为则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量为则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量为_。(A)7V (B)4V (A)7V (B)4V (C)3V (D)-4V (C)3V (D)-4V8 8 (t)(t)2F2F跃变量为：跃变量为：跃变量为：跃
27、变量为：B B第27页，本讲稿共50页例例 4电路如图所示，电路如图所示，电路如图所示，电路如图所示，C=0.1F,L=1H,C=0.1F,L=1H,R=2R=2 ,在在在在t=0t=0时，电路处于零状态，时，电路处于零状态，时，电路处于零状态，时，电路处于零状态，则：则：则：则：i iC C(0(0+)=)=_A,_A,i iL L(0(0+)=)=_A,_A,i iR R(0(0+)=)=_A_A。故，有：故，有：故，有：故，有：-5-5从上式分析：从上式分析：从上式分析：从上式分析：u uC C 有跃变，有跃变，有跃变，有跃变，i iL L 不不不不可能跃变。对上式两边从可能跃变。对上式
28、两边从可能跃变。对上式两边从可能跃变。对上式两边从0 0-到到到到0 0+积分有：积分有：积分有：积分有：0 05 5 (t)(t)C CL LR R第28页，本讲稿共50页课堂练习题课堂练习题下一节下一节下一节下一节 求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。第29页，本讲稿共50页4 卷 积 积 分 (convolution integral)卷积积分的意义 卷积积分的图解计算 卷积积分的性质 第30页，本讲稿共50页卷积积分的意义 u用(t)表示任意信号u对于任意信号为输入信号的零状态响应：即任意信号即任意信号 f
29、f(t)(t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和。可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和。也就是任意信号可以用函数也就是任意信号可以用函数 (t)(t)来表示。来表示。根据线性时不变系统的性质：根据线性时不变系统的性质：H(p)H(p)u卷积积分的定义：第31页，本讲稿共50页卷积积分的图解计算卷积积分的图解计算 步骤步骤 计算计算计算计算扫描扫描扫描扫描卷积积分的图解法步骤：卷积积分的图解法步骤：卷积积分的图解法步骤：卷积积分的图解法步骤：换元：换元：换元：换元：t t 换成换成换成换成 反折：将波形反折反折：将波形反折反折：将波形反折反折：将波形反折 扫描：从左向右移动扫描：从左向
30、右移动扫描：从左向右移动扫描：从左向右移动 分时段：确定积分段分时段：确定积分段分时段：确定积分段分时段：确定积分段 定积分函数和积分限定积分函数和积分限定积分函数和积分限定积分函数和积分限 计算积分值；计算积分值；计算积分值；计算积分值；第32页，本讲稿共50页 例例 1 计算计算计算计算 和和 没有公共的重叠部分，没有公共的重叠部分，故卷积故卷积当当当当 即即即即 时：时：时：时：当当当当 即即即即 时：时：时：时：即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。当当当当 且且且且 即即即即 时：时：时：时：即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。即为重叠部
31、分的面积。即为重叠部分的面积。第33页，本讲稿共50页 例例 2 计算计算计算计算当当当当 即即即即 时：时：时：时：和和 没有公共的重叠部分，没有公共的重叠部分，故卷积故卷积当当当当 即即即即 时：时：时：时：即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。第34页，本讲稿共50页 例例 3 计算计算计算计算当当当当 且且且且 即即即即 时：时：时：时：当当当当 时：时：时：时：当当当当 即即即即 时：时：时：时：第35页，本讲稿共50页 例例 3 已知线性非时变系统的冲激响应已知线性非时变系统的冲激响应已知线性非时变系统的冲激响应已知线性非时变系统的冲激响应
32、 ，激励信号为。，激励信号为。，激励信号为。，激励信号为。试求系统的零状态响应。试求系统的零状态响应。试求系统的零状态响应。试求系统的零状态响应。解：系统零状态响应为：解：系统零状态响应为：将将将将e(t)e(t)反折，再扫描可反折，再扫描可反折，再扫描可反折，再扫描可确定积分上下限。确定积分上下限。确定积分上下限。确定积分上下限。第36页，本讲稿共50页卷积积分的性质卷积积分的性质u卷积的代数性质卷积的代数性质u交换律：交换律：交换律：交换律：1 1(t)(t)2 2(t)=(t)=2 2(t)(t)1 1(t)(t)u分配：分配：分配：分配：1 1(t)(t)2 2(t)+(t)+3 3(
33、t)=(t)=1 1(t)(t)2 2(t)+(t)+1 1(t)(t)3 3(t)(t)u结合律：结合律：结合律：结合律：1 1(t)(t)2 2(t)(t)3 3(t)=(t)=1 1(t)(t)2 2(t)(t)3 3(t)(t)u卷积的微分与积分性质卷积的微分与积分性质u微分性质：微分性质：u积分性质：积分性质：u微积分性质：微积分性质：应用应用应用应用(1),(3)(1),(3)两个性质的条件是两个性质的条件是两个性质的条件是两个性质的条件是必须成立必须成立必须成立必须成立即必须有；即必须有；即必须有；即必须有；否则不能应用。否则不能应用。否则不能应用。否则不能应用。第37页，本讲稿
34、共50页卷积积分的性质卷积积分的性质u时移性质时移性质u若若若若 1 1(t)(t)2 2(t)=(t)=(t)(t)，则则则则有有有有 1 1(t-t(t-t1 1)2 2(t-t(t-t2 2)=)=(t-t(t-t1 1-t-t2 2)，u含有冲激函数的卷积含有冲激函数的卷积u(t)=(t)=(t)(t)(t)(t)，(t-t(t-t0 0)=)=(t)(t)(t-t(t-t0 0)，u(t)(t)(t)=(t)=(t),(t),(t)(t)(t)=(t)=(t),(t),u与阶跃函数的卷积与阶跃函数的卷积u即：即：利用卷积积分的性质来计算卷积积分，利用卷积积分的性质来计算卷积积分，利用
35、卷积积分的性质来计算卷积积分，利用卷积积分的性质来计算卷积积分，可使卷积积分的计算大大简化，可使卷积积分的计算大大简化，可使卷积积分的计算大大简化，可使卷积积分的计算大大简化，下面举例说明。下面举例说明。下面举例说明。下面举例说明。第38页，本讲稿共50页例例 4与冲激函数的卷积与冲激函数的卷积与冲激函数的卷积与冲激函数的卷积*=*=*=*=第39页，本讲稿共50页例例 5利用卷积的微积分性质利用卷积的微积分性质利用卷积的微积分性质利用卷积的微积分性质 计算例。计算例。计算例。计算例。第40页，本讲稿共50页5 线性系统的时域求解线性系统的时域求解 线性系统为线性系统为线性系统为线性系统为 r
36、 r(t)=(t)=HH(p p)e e(t)(t)其中其中其中其中零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应全响应全响应全响应全响应第41页，本讲稿共50页 例例 1冲激响应为冲激响应为冲激响应为冲激响应为解：将转移算子按部分分式展开有：解：将转移算子按部分分式展开有：解：将转移算子按部分分式展开有：解：将转移算子按部分分式展开有：系统的转移算子为系统的转移算子为系统的转移算子为系统的转移算子为 ,已知已知已知已知 ，试求全响应。试求全响应。试求全响应。试求全响应。零输入响应：零输入响应：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：零状态响应：零状态
37、响应：第42页，本讲稿共50页 例例 2已知某线性系统单位阶跃响应为已知某线性系统单位阶跃响应为 ,试利用卷试利用卷积的性质求如图信号激励下的零状态响应。积的性质求如图信号激励下的零状态响应。解一：利用非时变特性：解一：利用非时变特性：解一：利用非时变特性：解一：利用非时变特性：解二：利用卷积性质：解二：利用卷积性质：解二：利用卷积性质：解二：利用卷积性质：第43页，本讲稿共50页 例例 3解：列网孔方程解：列网孔方程如图所示电路，其输入电压为单个倒锯齿波，求零状态响应电压如图所示电路，其输入电压为单个倒锯齿波，求零状态响应电压 uL。冲激响应为冲激响应为冲激响应为冲激响应为第44页，本讲稿共
38、50页 例例 3阶跃响应为阶跃响应为阶跃响应为阶跃响应为零状态响应为：零状态响应为：零状态响应为：零状态响应为：第45页，本讲稿共50页系统的方框图表示系统的方框图表示 H(p)H(p)h h(t t)h h1 1(t t)h h2 2(t t)子系统串联：子系统串联：子系统串联：子系统串联：h h1 1(t t)h h2 2(t t)等效于：等效于：等效于：等效于：子系统并联：子系统并联：子系统并联：子系统并联：h h1 1(t t)h h2 2(t t)等效于：等效于：等效于：等效于：h h1 1(t t)+)+h h2 2(t t)第46页，本讲稿共50页 例例 4如图所示系统，它由几个
39、子系统组成。各子系统的冲激响应分如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应分如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应分如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应分别为：别为：别为：别为：，解：冲激响应为解：冲激响应为解：冲激响应为解：冲激响应为试求系统的冲激响应。试求系统的冲激响应。试求系统的冲激响应。试求系统的冲激响应。第47页，本讲稿共50页系统的模拟图表示系统的模拟图表示 基本模拟单元：基本模拟单元：基本模拟单元：基本模拟单元：k k积分器：积分器：积分器：积分器：加法器：加法器：加法器：加法器：数乘器：数乘器：数乘器：数乘器：第48页，本讲稿共50页 例例 5如图所示系统，求出系统的微分方程。如图所示系统，求出系统的微分方程。如图所示系统，求出系统的微分方程。如图所示系统，求出系统的微分方程。解：解：解：解：微分方程为：微分方程为：微分方程为：微分方程为：第49页，本讲稿共50页 例例 6解：用算子表示解：用算子表示解：用算子表示解：用算子表示系统模拟图为：系统模拟图为：系统模拟图为：系统模拟图为：系统的微分方程为系统的微分方程为系统的微分方程为系统的微分方程为 ，试画，试画，试画，试画出系统的模拟图。出系统的模拟图。出系统的模拟图。出系统的模拟图。第50页，本讲稿共50页