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1、第二章弹性力学平面问题的有限单元法第1页，本讲稿共56页现在所述的有限单元法(实为有限单元位移法)取全部结点的(广义)位移作为基本未知量。这样就把原来是无限多自由度的体系简化成有限多自由度的体系。以上过程称为连续体的有限单元离散化。为了求得全部结点上的位移，并最终求得各单元内的位移，应变和应力，有限单元法是从任一个典型单元开始分析。有限单元法又作了一次数学上的近似：构造适当的位移函数(称为位移模式)，把单元内任一点的位移用单元的结点位移来表示。有限单元法认为每个单元内部符合弹性力学的基本假设，严格运用弹性力学的基本方程的几何方程和物理方程，从而建立起单元内任一点的应变、应力分别与单元结点位移的
2、关系式，为最后当求出结点位移后，再顺利求得单元内的应变和应力作好了准备。单元的平衡条件是用虚功方程代替的，由此得到重要的单元刚度矩阵和单元刚度方程，即单元结点力和结点位移的关系式，为进一步的整体平衡分析作好准备。这个过程称为单元分析。第2页，本讲稿共56页最后考虑整个体系的平衡。由于所有的单元上都已没有外载荷(全部移置到结点上了)，全部结点的平衡就代表了整体的平衡。对所有的结点建立结点力与结点载荷平衡的关系，然后利用单元刚度方程把所有的结点力都换成结点位移的表达式，就建立了结点位移与结点载荷的关系式总刚度方程。这是一个代数方程组，未知量就是结点位移，引入已知的位移边界条件改造这个方程组后，就可
3、借助计算机求解而得到所有结点的位移。有了结点位移，再利用单元分析中的位移函数和已准备好的几何方程和物理方程的演变式，可以按需要容易地求得任一单元内任一点位移、应变或应力。这个过程称为整体分析。第3页，本讲稿共56页2.2连续体的有限单元离散和计算简图 对于平面问题，最简单而且也是最常用的单元是三角形单元和矩形单元。例如，图2-1所示为一个托架梁，可以当做弹性力学的平面问题处理。我们见将其划分位三角形网格，各单元再结点处用光滑的平面较连接，每各单元所受的载荷也移置到结点上，成为结点载荷。图2-1a第4页，本讲稿共56页 在位移为零的结点处，或者在位移很小可以忽略的结点处，设置相应的支座铰链。在图
4、（a）中，固定边AB各点的位移均为零。所以在AB边上的各结点处应设置固定支座铰链。这样就得出托架得有限单元计算简图，如图（b）所示。图2-1b第5页，本讲稿共56页 把连续体进行有限单元离散时，首先要考虑到选用哪一种形状的单元。这一选择取决于结构的几何形状、计算精度的要求及描述该问题所必须的独立空间坐标的数目。对于平面问题，通常采用直角三角形和矩形单元，特别是三角形单元比较适宜于模拟有曲线边界的物体或结构。一般说来，单元各边的比例不能相差太大。计算实践表明，单元各边的比例相差太大是影响计算精度的一个重要因素。故应避免取狭长的单元。对三角形单元而言。在划分网格时应尽量使所有单元接近于等边三角形。
5、但通常为了适应结构的边界形状及单元由大到小的过渡，很难实现这一要求，不过应尽可能的满足。第6页，本讲稿共56页 在划分网格时，就整体来说，单元的大小（即网格的疏密）要根据精度要求和计算机的速度及容量来决定。一般讲来，单元越小，网格越密，计算结果越精确。但是，单元越多，要求计算机容量就越大。因此，单元划分多少合适，一方面要考虑计算精度的要求；另一方面要根据计算机的条件，应在计算机的容量范围内来决定单元的大小和数量。原则是，在保证必要的计算精度条件下，单元应尽量取的少些。在单元的排列上，应根据计算者的实践经验对所计算的对象进行判断，在应力剃度变化大的部位和重要的部位，单元应取小些，网格也划分的密些
6、。反之，在应力变化平缓的部位和不重要的部位，单元可取大些，网格也就稀些第7页，本讲稿共56页 在划分单元还应考虑到，当计算对象的厚度或者其弹性性质有突变之处，除了在这些部位单元应取小之外，还应把突变线作为单元的边界线。如果结构受有集度突变的分布载荷或集中载荷时，在这些部位的单元同样应当取小些，并且在载荷突变处和集中力处应布置结点，以使应力的突变得到一定程度的反映。总之，把连续体进行有限单元离散而成计算简图，是综合运用工程判断力的过程，在这个过程中，要决定单元的形状、大小（网格的疏密）、数目、单元的排列以及约束的位置等，其总的目标应使得原来的物体会或结构尽可能精确地得到模拟。这个过程进行的正确与
7、否，是关系到整个计算的精度高低，应当特别加以注意。第8页，本讲稿共56页2.3 三角形单元分析从离散体系中任取一个单元，如图所示。三个结点按反时针方向顺序编号为i、j、m。结点坐标分别为(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。一、单元的结点位移和结点力向量由弹性力学平面问题可知，一个连续体，每点应有两个位移，因此每个结点应有两个位移分量，则三角形共有六个自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm。如图b所示。各结点位移向量可写成那么，三角形单元的单元结点位移向量是第9页，本讲稿共56页结点位移对应的结点力向量是单元结点力的向量是在有限单元位移法中，取结点位移作为基本未知量。单元分析的基本任
8、务是建立单元结点力下结点位移的关系，也就是要建立关系式式中，Ko是66阶矩阵，称为单元刚度矩阵。单元分析先要建立单元内的应变、应力分别与结点位移的关系，这不光是推导上式的需要，也为最后求出结点位移后再顺利求得单元内的应变和应力作好准备。第10页，本讲稿共56页二、单元位移模式有限单元法虽然对计算对象的整体作了物理近似，但在每个单元内部，则仍然认为符合弹性力学的基本假设，因此弹性力学的基本方程在每个单元内部仍然适用。若求出弹性体内部的位移分量，就可以从几何方程求出应变分量，从物理方程求出应力分量。有限单元法即使求得各结点位移，却无法直接利用几何方程和物理方程来求应变和应力。因此需要把单元的结点位
9、移与单元内任一点的位移联系起来，即人为的假定一个位移模式(位移函数)，使单元内任一点的位移可以近似地有单元结点的位移表示。第11页，本讲稿共56页选择单元位移模式时，最简单的是单元的位移分量u、v取为坐标x、y的多项式。考虑到三角形单元共有六个自由度，且位移函数u、v在三个结点处的数值应该等于这三个结点处的六个位移分量ui、vi、uj、vj、um、vm。据此，可设单元位移分量是坐标x、y的线性函数，即u(x,y)=a1+a2x+a3yv(x,y)=a4+a5x+a6y在上式中，含有六个参数a1、a2、a3、a4、a5、a6。恰好可由三个结点的六个位移分量完全确定，即在i、j、m三点应有ui=a
10、1+a2xi+a3yivi=a4+a5xi+a6yiuj=a1+a2xj+a3yjvj=a4+a5xj+a6yjum=a1+a2xm+a3ymvm=a4+a5xm+a6ym第12页，本讲稿共56页求解上式，可以将参数a1、a2、a3、a4、a5、a6用结点位移表示出来，即a1=(aiui+ajuj+amum)/2Aa4=(aivi+ajvi+amvm)/2Aa2=(biui+bjuj+bmum)/2Aa5=(bivi+bjvj+bmvm)/2Aa3=(ciui+cjuj+cmum)/2Aa6=(civi+cjvj+cmvm)/2A式中ai=(xjym-xmyj),bi=yj-ym,ci=xm-
11、xjaj=(xmyi-xiym),bj=ym-yi,cj=xi-xmam=(xiyj-xjyi),bm=yi-yj,cm=xj-xiA为三角形单元的面积。第13页，本讲稿共56页经过运算得用单元结点位移表示的单元位移模式为(2-1)式中的Ni、Nj、Nm由下式轮换得出Ni(x,y)=(ai+bix+ciy)/2A(i、j、m)上式后面的记号(i、j、m)表示经过字母相应轮换后，该式实际上是三个公式。也可简写成fo=INiINjINmo=No(2-2)式中，I为二阶单位矩阵，而Ni、Nj、Nm是坐标的连续函数，它反映单元内部位移的分布状态，称为位移的形状函数，简称为形函数。矩阵N称为形函数矩阵。
12、并且形函数在结点处具有以下性质：第14页，本讲稿共56页Ni(xi,yi)=1,Nj(xi,yi)=0,Nm(xi,yi)=0Ni(xj,yj)=0,Nj(xj,yj)=1,Nm(xj,yj)=0Ni(xm,ym)=0,Nj(xm,ym)=0,Nm(xm,ym)=1根据形函数的这些性质，再由(2-1)和(2-2)可以看出，单元位移模式可以直接通过单元结点位移o插值表示出来，所以，Ni,Nj,Nm也称为位移插值函数。前面已经提到，有限单元法随着单元的细分，网格的加密，在一定条件下，位移模式引起的误差会收敛的，即所得的解答收敛于问题的精确解。这“一定条件”是指单元位移模式必须满足的条件：(1)位移
13、模式必须在单元内连续，而相邻单元间公共边界上的位移必须协调。后者意味着单元的变形不能在单元之间引起裂开或重迭。第15页，本讲稿共56页(2)位移模式必须包含单元的刚体的位移。这是因为每个单元的位移一般总是包含着两个部分：一部分由本单元的变形引起的，另一部分是与本单元的变形无关的，即刚体位移，它由其他单元发生的变形连带引起。(3)位移模式必须包含单元的常量应变。这从物理意义上就可以理解。因为当单元的尺寸取得很小时，单元中各点的应变也将相差很小，而当单元的尺寸取得无限小时，单元内各点的应变应趋近于常量。通常把满足上述第一个条件的单元，称为协调(或连续)单元；满足第二、第三个条件的单元称为完备单元。
14、理论和实践都已证明：为了使有限单元法的解答在单元尺寸逐渐取小时能够收敛于正确解答，条件(2)(3)是必要条件，而再加上条件(1)就是充分条件。第16页，本讲稿共56页2.4 荷载向结点移置有限单元法的分析，以结构上的全部荷载都是结点荷载为前提；而结构上的真实荷载往往并不作用在结点上，如体力和面力等。因此需要把它们按静力等效的原则向结点移置，成为等效结点荷载。这里的静力等效，是指能量等价，即原来作用在单元上的荷载与移置到结点上的荷载，它们在单元的任何虚位移上所作的虚功应相等。据圣维南原理，荷载作这样的移置而引起的误差是局部性的，不致影响到整个结构，并且随单元的细分，这一影响逐步缩小。考察下图所示
15、的单元，设作用在单元上的体力PV=X,YT,分布面力PA=X,YT和集中力Q=Qx,QyT，把它们向结点移置后得到的等效结点荷第17页，本讲稿共56页图2-2第18页，本讲稿共56页载列阵为Po=Pxio,Pyio,Pxjo,Pyjo,Pxmo,PymoT设单元发生了某种虚位移，单元结点虚位移为o=ui,vi,uj,vj,um,vmT单元内的虚位移则为fo=No(a)按虚功相等的静力等效原则，可得到下式(b)式中为单元位移函数在集中力作用点b处的取值，将式（a）代入上式，同时考虑到矩阵相乘的转置规则，式（b）可改写为(c)由于是任意的，则上式两边与其相乘的矩阵应相等，于是得到等效结点载荷为第1
16、9页，本讲稿共56页(2-1)从上式可以看出，等效结点载荷与所选取的单位位移模式有关。对我们所讨论的三角形单元线性位移模式，等效结点载荷分别计算如下：一、分布体积力设单元只作用有单位体积的体力向量P=XY,如图所示，根据式（2-1）得相应的等效结点载荷为(2-2)当单元划分较小而可认为P在单元内均匀分布时，式（2-2）可写成(d)式中的形函数可改写为面积坐标，即N=Li,N=Lj,Nm=Lm,因此式（d）中形函数的积分可改为用坐标的积分。由公式可得到第20页，本讲稿共56页将上式结果呆入式（d）得(e)令为单元总体力W在x,y方向的分量，于是式（d）写成(2-3a)结论：均布体力的等效结点载荷
17、由单元总体力的三分之一分配到三个结点上面形成。第21页，本讲稿共56页二分布面力设单元只在边界面上作用有分布面力，且为均匀分布。单位面积上的面力向量为，如图所示，图2-3第22页，本讲稿共56页相应的等效结点载荷为(2-4)其中，积分是沿着单元边界线进行的。为简化积分运算，可采用面积坐标表示。其实，在边界上，边界方程为.应用面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分可算出以下积分第23页，本讲稿共56页式中l为边界长度。将上式代入式（2-4），得到相应的等效结点载荷令为边界上总面力在x,y方向上的分量，则等效结点载荷列阵(2-4a)上式表明：与作用在单元边界线上的均布面力相应的等效结点载荷列阵，系面
18、载荷总和之半分配在边界两端结点上形成的。第24页，本讲稿共56页三集中力设 在 单 元 边 界 上 的 b点，作 用 有 集 中 力，如图所示。图2-4第25页，本讲稿共56页三集中力同样由式（2-1）结果。可以得出(2-5)为了计算，首先计算b点的面积坐标。由于b点在上，所以，再由面积坐标的定义得到于是(f)把式（f）代入式（2-5），可以得到(2-5a)第26页，本讲稿共56页结论：单元边界线上的集中力的等效结点载荷列阵，系将该力按杠杆原理分配到边界线两端的结点上。当然，最好是在划分单元时，就把集中力所在处安排成结点，也就不存在集中力向结点移置的问题了。第27页，本讲稿共56页结构的整体分
19、析含有两层意思：其一，整个离散体系的各单元在变形后必须在结点处协调地连接起来。即与某结点i相连接的n个单元，在该处必须具有相同的结点位移（结点位移连续函数），即(2-6)其二，组成离散体的各结点的所有必须满足平衡条件。即，对与体系上与某一结点I直接相连的所有各单元作用于该结点上的结点力，应与作用在该结点上的结点载荷保持平衡。即，(2-7)第五节 整体分析第28页，本讲稿共56页这里，表示直接与结点结合的所有单元求和。为单元（e）在结点I的结点力向量，即。为结点I的结点力载荷总向量，通常它应等于各单元在结点I处的等效结点载荷向量的和，即(2-8)但 如 果 该 结 点 I同 时 还 有 直 接
20、作 用 于 其 上 的 集 中 力 ，则在结点处的结点载荷总量应用为(2-9)整体分析的基于任务，是根据上述原则建立用结点位移表示的整个离散体系的平衡方程式。解方程组，即可获得各结点的位移。第29页，本讲稿共56页一、整个刚度矩阵的形成及其特点第30页，本讲稿共56页第31页，本讲稿共56页一、整个刚度矩阵的形成及其特点形成整个刚度矩阵是整体分析的主要任务，以图所示的离散体系为例，来说明整体矩阵的形成过程。单元和结点的编号都已示于图中假定单元刚度矩阵已求得，于是，各单元的各刚度方程，根据式（2-3）和式（2-4），分别为(1).单元：i=1,j=2,m=3(a)(2).单元：I=2,j=5,m
21、=3(b)第32页，本讲稿共56页(3).单元：i=4,j=5,m=2(c)(4).单元:I=4,j=6,m=5(d)现在再来建立各结点的平衡方程。按照结点的编号顺序，根据方程（7-32），分别得到各结点的平衡矩阵方程式为(e)第33页，本讲稿共56页将结点力表达式(a)、(b)、(c)、(d)相应的代入(e)的各平衡方程中，并利用结点位移连续条件（2-6），即可以得到用结点位移表示的平衡方程。以结点2为例，由方程(a)、(b)、(c)求得各单元在结点2处之结点力为(f)代入(e)中的结点2的平衡方程中，则有第34页，本讲稿共56页根据同样的步骤可以写出其余各结点相应的平衡方程式，为简明起见可
22、列出表1。第35页，本讲稿共56页l表1(2-10)第36页，本讲稿共56页结构的的结点位移列阵：为结构的结点载荷列阵；矩阵若定义为第37页，本讲稿共56页（2-11）且各子矩阵分别为第38页，本讲稿共56页则式（2-10）可简写作（2-10a）这里，称为结构的整体刚度矩阵或称为总刚度矩阵；方程（2-10）或方程（2-10a）称为结构的整体平衡方程组，或称为结构的总刚度矩阵。建立结构的总刚度方程的关键是形成结构的总刚度矩阵。从（2-10）或（2-11）所显示出来的总刚度矩阵中各子矩阵（或称元素）的组成规律可以看出：矩阵 中的子矩阵 是与I个结点直接相连的各单元刚度矩阵中出现的相应子矩阵 的叠加
23、，即 。例如：矩阵 中子矩阵 是由与结点“3”直接相连的单元和单元的刚度矩阵中所有出现的元素 和 迭加结果。第39页，本讲稿共56页为具体起见，仍以上图的示例进行说明。(1)首先计算出结构中所有单元刚度矩阵。其它各元素依次类推，都有这个特点。这就表明，具体组成总刚度矩阵时，并不需要重复前述的推导方法，即先对每个结点列出类似于式（g）那样的方程，再组合起来求得整体刚度矩阵。特别是当网格划分较密，单元数目较多，这种方法实际上有很大困难的。其实，只要注意到上述的特点，当计算出单元刚度矩阵之后，就可以按上述方法直接形成总刚度矩阵。第40页，本讲稿共56页(2)按照结构所具有的结点数，画出如式（2-10
24、）那样的表格，即总刚度方程位置表格。表格中的每一元素用两个脚标ij表示：第一个脚标I表示行号（实际是结点力Fi的编号），第二个脚标j表示列号（相当于结点自由度的编号）。如表示底i行第j列元素。(3)将单元刚度矩阵中的元素根据其脚标依次填入表格（1)中第i行第j列的位置上。照这样的步骤继续进行下去，直到把所有各单元刚度矩阵中的各元素都放到表中相应的位置为止。这一步称为“对号入座”。(4)将表中同一位置上的各元素相迭加，就得到总刚度矩阵中的相应的子矩阵。在无元素处，空格为零。如此便得到总刚度矩阵K.第41页，本讲稿共56页这种“对号入座”组集总刚度矩阵的方法，称为直接刚度法。应该指出，在按直接刚度
25、法组集总刚度矩阵时，首先要用到各单元刚度矩阵，而单元刚度矩阵是以单元结点的局部编号为依据的，但总刚度矩阵是以结构的结点总编号为标准的，因此，要注意达到这中间有一个把单元结点的局部编号与结点总编号对应起来的问题。在上图中，结点编号为1，2，3，4，5，6，而结点的局部号对每一单元来说则为i.j.m,可以展开成如下的阶的矩阵，即（h）于是，可以将式（2-10）具体写成式（2-12），如表（2）所示。结构有六个结点，因此应当有十二个方程以求解十二个位移分量，上式则具体地显示出这一点。第42页，本讲稿共56页l表(2)（2-12）第43页，本讲稿共56页二、总刚度矩阵的特征l（2-10）（2-11）（
26、2-12）可以看到l（1）总刚度矩阵诸元素都集中分布于对角线附近，形成“带状”。这是因为一个结点的平衡方程除与本身的结点位移有关外，还与那些和它直接直接相连系的单元的结点位移有关，而不在同一单元上的两个结点之间相互没有影响。例如，结点3与单元、直接直接相连接。它的平衡方程除与结点3的位移有关外，还与结点1、2、5的结点位移有关，但结点3与终点4、6无关，所以l为零。因此，总刚度矩阵是稀疏的且呈带状分布。通常把从每一行的第一个非零元素起，至该行的对角线上的元素止的元素的个数，称为总刚度矩阵的在该行的“带宽”。带宽以外的元素全为零。带宽的大小，除与相关结点的位移个数有关外，还与相邻结点编号之差值有
27、关。一般说来，每行带宽都小于结构的总位移数。利用总刚度矩阵具有的稀疏带状的性质，在编制程序中只需存放带宽内的元素，可以大量的节约计算机容量。在算题时，应尽量减少相邻结点编号之差值，从而可以减少带宽。第44页，本讲稿共56页(2)由于总刚度矩阵K是由于各单元刚度矩阵Ke组集而成的，单元刚度矩阵具有对称性，总刚度矩阵必具有对称性，即矩阵中的下三角元素与上三角元素对称。因此，在编制程序时，可以只存放下三角元素，这又可以大量节约计算机容量。（3）由于单元刚度矩阵具有奇异性。因此，总刚度矩阵必具有奇异性。故在求解总刚度方程时。需要根据约束条件（结点支撑条件），修正总刚度方程，消除总刚度矩阵的奇异性能求解
28、以上结论，虽然是以上图的简单模型得到的，但它对于具有任意n个自由度的体系同样是适用的。第45页，本讲稿共56页三、边界约束条件的处理由于总刚度矩阵为奇异性矩阵，为求得位移解，必须先利用给定的边界结点的约束条件对总刚度方程进行处理，消除总刚度矩阵k的奇异性，然后求解。平面问题中，一个结点只有两个自由度，故一个边界结点最多也只可能有两个约束条件即：根据不同的支承情况，约束条件可以分为：1。零位移约束上图所示的离散化模型，在1、4结点处装置铰支座约束，因此，被约束结点方向位移应为零，即第46页，本讲稿共56页（i）当引入条件（i）后，则在方程组（2-12）位移列阵中出现零值，在整体刚度矩阵中，与这种
29、位移为零的结点所对应的行和列的元素，在求其它的位移时将不起作用，因而可以从矩阵K中划区。当然，方程组的阶数也随之降低了。这种修正平衡方程组的方法，可称为降维（阶）法，它明显的改变了矩阵K中原来的排列和矩阵的阶数。这对于单元数少，采用手算的情况是比较适用的；但对于使用电子计算机时，这反而使程序的编制变得复杂。第47页，本讲稿共56页l2、非零位移约束l边界约束条件也有可能不是限制位移为零，而是给出已知的值，即（j）其中、均为已知值。将式（j）引入方程后，为使修改后的平衡方程组保留原有阶数和不变更方程的排列顺序，不使计算机程序作大的改动，其处理方法主要有两种，其一为：1）、在整体刚度矩阵中，把与给
30、定结点位移的脚标I相应的第I行和第列的元素都代之以零，但主对角线上的相应元素 取1。例如在条件（j）的情况下，应在方程组（2-12）的矩阵K中，把第一行和第一列，第二行和第二列，第八行和第八列第48页，本讲稿共56页l的元素都置零，把都取为1。（2）、在载荷列阵R中，把相应的用给定的代替，而R中的其余元素，则应从中减去给定的结点位移并乘上矩阵K中适当的列项。通过以上的修正，方程组（2-12）变换为第49页，本讲稿共56页=（2-13）第50页，本讲稿共56页l显然，方程组的阶数并未改变，由方程组（37）立即可以得出结点位移计入位移约束条件的另一方法称为“乘大数法”。该法只是把矩阵中相应的对角线
31、元素和中的元素加以修正。即（1）把矩阵 中与给定的结点位移脚标 和相应的主对角线的元素 乘以相当大的一个数，例如 ，中的其它元素不变。（2）把载荷列阵 中的对应项 代之以给定点的位移乘以相应的主对角线元素 同时乘以相同的大数 ，中的其它元素不变。对于给定的边界条件（j），则应把方程组（2-12）中的主对角线元素 、分别乘以第51页，本讲稿共56页l（在矩阵中已用虚线框出）；中的、分别用、代替，于是方程组（2-12）变化为=（2-14）第52页，本讲稿共56页l可以看出，方程组（2-14）就是所需要的。其实，由方程组（2-14）的第一个方程就可以写出l式中除包含大数的两项外，其余各项都比较小，即
32、因此，l（k）l此式(k)即归结为给定的位移约束条件。第53页，本讲稿共56页l把这两种方法对比一下可以看出，第二种比第一种引入约束条件的方法在程序编制上是比较容易的。当然，这两种方法，对稀疏的、带状的和有对称性的矩阵都是适用的。在实际计算中，当位移的约束条件为齐次的（即），用第一种方法较为简便。如果位移的约束条件为非齐次的（即），则用第二种方法较为简便。第54页，本讲稿共56页l四求解及计算结果的整理l求解经过处理后的总刚度方程式（2-13）或（2-14），得到结构总位移列阵。根据各单元的编号i、j、m，在中取出相应的位移值、l、组成单元结点位移列阵l再由单元应力变与单元结点位移的关系，计算出各单元应力矩阵s，再代入单元应力公式，即可计算出各单元的应力分量。l当求出各点的应力分量 、后，还需求出主应力、，并在图中沿主应力方向，以箭头表示出拉应力，以平头表示出压应力。如图所示。这样，才能比较清楚地表示出结构内应力分布的情况。第55页，本讲稿共56页图2-6第56页，本讲稿共56页