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1、第二章对偶理论第1页，本讲稿共92页对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性规划（线性规划（LP ）必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，）必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求即任何一个求 maxZ的的LP都有一个求都有一个求 minZ的的LP。其中的。其中的一个问题叫一个问题叫“原问题原问题”，记为，记为“P”，另一个称为，另一个称为“对偶问题对偶问题”，记为，记为“D”。例一、资源的合理利用问题例一、资源的合理利用问题已知资料如表所示，问应已知资料如表所示，问应如何安排生产计划使得既能充如何安排生产计划使得既能充分利
2、用现有资源又使总利润最分利用现有资源又使总利润最大？大？1810单件利润150（设备）51C100（煤炭）32B170（钢材）25A资源限制乙甲单件 产 消耗 品资源一、问一、问 题题 的的 提提 出出第2页，本讲稿共92页下面从另一个角度来讨论这个问题：下面从另一个角度来讨论这个问题：假定：该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种产品，假定：该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种产品，而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务，只收取加工而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务，只收取加工费。试问该决策者应制定怎样的收费标准（合理的）？费。试问该决策者应制定怎样的收费标准（合理的）？第3页，本讲
3、稿共92页 分析问题：分析问题：1 1、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润；、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润；2 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。、定价又不能太高，要使对方能够接受。第4页，本讲稿共92页 一般而言，一般而言，W 越大越好，但因需双方满意，故越大越好，但因需双方满意，故为最好。为最好。该问题的数学模型为：该问题的数学模型为：第5页，本讲稿共92页模型对比：模型对比：第6页，本讲稿共92页例二、合理配料问题，其数学模型为：例二、合理配料问题，其数学模型为：假设工厂想把这假设工厂想把这m 种营养成分分别制成一种营养丸销种营养成分分别制成一种营养丸销
4、售，问如何定价（以保证总收入为最多）？售，问如何定价（以保证总收入为最多）？第7页，本讲稿共92页原问题对偶问题目标函数maxmin约束条件变量数量约束条件个数约束条件个数变量数量第8页，本讲稿共92页例三、例三、23x1 x2 原问题12y1 22128y2 12816y3401612y40412对偶问题23第9页，本讲稿共92页1、对称型对偶问题：已知 P，写出 D。二、线性规划的对偶理论二、线性规划的对偶理论（一）、对偶问题的形式（一）、对偶问题的形式第10页，本讲稿共92页例一、写出线性规划问题的对偶问题例一、写出线性规划问题的对偶问题解：首先将原式变形解：首先将原式变形第11页，本讲
5、稿共92页 注意：以后不强调等式右段项注意：以后不强调等式右段项 b b00，原因在对偶，原因在对偶单纯型表中只保证单纯型表中只保证 而不保证而不保证 ，故，故 b b可以是负数。可以是负数。第12页，本讲稿共92页2、非对称型对偶问题第13页，本讲稿共92页例二、原问题例二、原问题第14页，本讲稿共92页2 2、混合型对偶问题、混合型对偶问题第15页，本讲稿共92页例三、原问题第16页，本讲稿共92页对偶问题第17页，本讲稿共92页综上所述，其变换形式归纳如下：原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）目标函数 max目标函数 min约束条件m个m个变量00=无约束变量n个n个约束条件00无约
6、束=约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项第18页，本讲稿共92页例四、线性规划问题如下：例四、线性规划问题如下：第19页，本讲稿共92页第20页，本讲稿共92页练习：练习：第21页，本讲稿共92页第22页，本讲稿共92页minZ=-CXs.t.-AX-bX01、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。minW=Ybs.t.YACY0maxZ=CXs.t.AXbX0对偶的定义对偶的定义maxW=-Ybs.t.-YA-CY0（二）、对偶问题的性质（二）、对偶问题的性质第23页，本讲稿共92页2、弱对偶原理（弱对偶性）：设 和 分别是问题（P）和（D）的可行解，则必有 推论推
7、论.若若 和和 分别是问题（分别是问题（P P）和（）和（D D）的可行解，）的可行解，则则 是（是（D D）的目标函数最小值的一个下界；）的目标函数最小值的一个下界；是是（P P）的目标函数最大值的一个上界。）的目标函数最大值的一个上界。第24页，本讲稿共92页推论推论.在一对对偶问题在一对对偶问题（P）和（）和（D）中，若其中一）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可行；反之则另一个问题不可行；反之不成立。这也是对偶问题的不成立。这也是对偶问题的无界性。无界性。关于无界性有如下结论：问题无界无可行解无可行解问题无界对偶问题原问题无界如：（原）无可行
8、解（对）第25页，本讲稿共92页推论推论.在一对对偶问题（在一对对偶问题（P）和（）和（D）中，若一个可行（如）中，若一个可行（如P），而另一个不可行，（如），而另一个不可行，（如D），则该可行的问题无界。），则该可行的问题无界。例一、例一、试估计它们目标函数的界，并验证弱对偶性原理。试估计它们目标函数的界，并验证弱对偶性原理。（P）第26页，本讲稿共92页解：（D）由观察可知：由观察可知：=（1.1.1.1），），=（1.1），分别是），分别是（P）和（）和（D）的可行解。）的可行解。Z=10，W=40，故有，故有，弱对偶定理成立。由推论，弱对偶定理成立。由推论可知，可知，W的最的最小值不能
9、小于小值不能小于10，Z的最大值不能超过的最大值不能超过40。第27页，本讲稿共92页例二、已知试用对偶理论证明原问题无界。解：解：=（0.0.0）是）是P的一个可行解，而的一个可行解，而D的第一的第一个约束条件不能成立（因为个约束条件不能成立（因为y1,y20)。因此，对偶问题。因此，对偶问题不可行，由推论不可行，由推论可知，原问题无界。可知，原问题无界。第28页，本讲稿共92页例3、已知显然，这两个问题都无可行解。显然，这两个问题都无可行解。第29页，本讲稿共92页 3、最优性判别定理：若 X*和 Y*分别是 P 和 D 的可行解且 CX*=Y*b，则X*.Y*分别是问题 P和D 的最优解
10、。例如，在例例如，在例1 1中，可找到中，可找到 X*=（0.0.4.40.0.4.4），），Y*=（1.21.2，0.20.2）,则则Z=28，W=28.故故X*.Y*分别是分别是 P和和D的最优解。的最优解。第30页，本讲稿共92页 4 4、对偶定理（强对偶性）：、对偶定理（强对偶性）：若一对对偶问题若一对对偶问题 P和和D 都有可行解，则它们都有最优解，都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。且目标函数的最优值必相等。推论推论.若若 P和和D的任意一个有最优解，则另一个也有最优的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等。解，且目标函数的最优值相等。综上
11、所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现：出现：.都有最优解，分别设为都有最优解，分别设为X*和和Y*，则必有，则必有CX*=Y*b；.一个问题无界，则另一个问题无可行解；一个问题无界，则另一个问题无可行解；.两个都无可行解。两个都无可行解。第31页，本讲稿共92页 5、互补松弛定理：设X*和Y*分别是问题 P 和 D 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是同时成立一般而言，我们把某一可行点（如一般而言，我们把某一可行点（如X*和和Y*）处的严格不）处的严格不等式约束（包括对变量的非负约束）称为松约束，而把严等式约束（包括对变量
12、的非负约束）称为松约束，而把严格等式约束称为紧约束。所以有如下推论：格等式约束称为紧约束。所以有如下推论：设一对对偶问题都有可行解，若原问题的某一约束是设一对对偶问题都有可行解，若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是其对偶问某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是其对偶问题最优解的紧约束。题最优解的紧约束。第32页，本讲稿共92页例4、已知试通过求对偶问题的最优解来求解原问题的最优解。解：对偶问题为第33页，本讲稿共92页用图解法求出：用图解法求出：Y*=（1.3），），W=11。将将y*1=1，y*2=3代入对偶约束条件，代入对偶约束条件，（1）（）（2）（）（5）式为
13、紧约束，（）式为紧约束，（3）（）（4）为松约束。）为松约束。令原问题的最优解为令原问题的最优解为X*=（x1.x2.x3.x4.x5），则根据互补松），则根据互补松弛条件，必有弛条件，必有x3=x4=0(1.3)（1）（2）（3）（4）（5）第34页，本讲稿共92页 又由于y*10，y*2 0，原问题的约束必为等式，即化简为此方程组为无穷多解 令令x5=0,得到得到x1=1，x2=2即即X*1=（1.2.0.0.0）为原问题的）为原问题的一个最优解，一个最优解，Z=11。再令再令x5=2/3，得到，得到x1=5/3，x2=0即即X*2（5/3.0.0.0.2/3）也是原问题的一个最优解，也是
14、原问题的一个最优解，Z=11。第35页，本讲稿共92页例例5、已知原问题的最优、已知原问题的最优解为解为X*=（0.0.4），），Z=12试求对偶问题试求对偶问题的最优解。的最优解。解：解：（1）（2）（3）第36页，本讲稿共92页将将X*=（0.0.4）代入原问题中，有下式：）代入原问题中，有下式：所以，根据互补松弛条件，必有所以，根据互补松弛条件，必有y*1=y*2=0，代入对偶问题，代入对偶问题（3 3）式，）式，y3=3。因此，对偶问题的最优解为。因此，对偶问题的最优解为 Y*=（0.0.3），），W=12。第37页，本讲稿共92页6 6、对偶问题的解、对偶问题的解利用原问题的最优单纯
15、利用原问题的最优单纯形表和改进单纯形表求形表和改进单纯形表求解对偶问题的最优解。解对偶问题的最优解。.设原问题为：设原问题为：maxZ=CXAXbX0引入引入xs，构建初始基变量，然后，用单纯形法求解。当检验数满，构建初始基变量，然后，用单纯形法求解。当检验数满足足j0，则求得最优解。此时，则求得最优解。此时，xs对应的对应的js为为-Y*，故求对，故求对偶偶Y*，只要将最优单纯形表上，只要将最优单纯形表上xs对应的检验数反号即可。对应的检验数反号即可。CCBCN0CBXBbXBXNXSCBXBB-1bIB-1NB-1ZCB B-1b0CNCB B-1NCB B-1第38页，本讲稿共92页例一
16、、例一、第39页，本讲稿共92页cj1018000cBxBbx1x2x3x4x50 x317052100170/20 x410023010100/30 x515015001150/5-Z01018000cj1018000cBxBbx1x2x3x4x50 x3540/7001-23/711/710 x150/71005/7-3/718x2200/7010-1/72/7-Z-4100/7000-32/7-6/7初初始始表表最最终终表表第40页，本讲稿共92页由上表可知：由上表可知：X*=（50/7.200/7），），Z=4100/7对偶问题的最优解：对偶问题的最优解：Y*=（0.32/7.6/7）
17、，），W=4100/7也就是外加工时的收费标准。也就是外加工时的收费标准。.设原问题：设原问题：maxZ=CXAX=bX0此时，矩阵此时，矩阵A中没有现成的矩阵中没有现成的矩阵I，必须通过加入人工变量，必须通过加入人工变量来凑一个单位矩阵，再用大来凑一个单位矩阵，再用大M法或两阶段法求解。法或两阶段法求解。如何求如何求Y*，经分析得出如下结论：，经分析得出如下结论：B=0最优基变量检验数向量最优基变量检验数向量I=CICBB-1初始基变量检验数向量初始基变量检验数向量D=CDCBB-1D非基变量检验数向量非基变量检验数向量所以，所以，Y*=CII第41页，本讲稿共92页例二、例二、第42页，本
18、讲稿共92页cj3-1-100-M-McBxBbx1x2x3x4x5x6x73x141001/3-2/32/3-5/3-1x210100-11-2-1x390012/3-4/34/3-7/3-Z-2000-1/3-1/31/3-M2/3-Mcj3-1-100-M-McBxBbx1x2x3x4x5x6x70 x4111-21100011-Mx63-4120-1103/2-Mx71-20100011-Z3-6M-1+M-1+3M0-M00第43页，本讲稿共92页所以，所以，X*=（4.1.9），），Z=2y*1=(04)=1/3y*2=(M6)=M(1/3M)=1/3y*3=(M7)=M(2/3M
19、)=2/3Y*=（1/3.1/3.2/3）W=2初始基变量的检验数初始基变量的检验数4=1/3，6=1/3M,7=2/3M第44页，本讲稿共92页定义：在一对定义：在一对P和和D中，若中，若P的某个约束条件的右端项常的某个约束条件的右端项常数数bi增加一个单位时，所引起的目标函数最优值增加一个单位时，所引起的目标函数最优值Z*的改变的改变量量y*i称为第称为第i个约束条件的影子价格，又称为边际价格。个约束条件的影子价格，又称为边际价格。三、对偶问题的经济解释三、对偶问题的经济解释影子价格影子价格第45页，本讲稿共92页设：设：B是问题是问题P的最优基，由前式可知，的最优基，由前式可知，Z*=C
20、BB-1b=Y*b=y*1b1+y*2b2+y*Ibi+y*mbm当当bi变为变为bi+1时（其余右端项不变，也不影响时（其余右端项不变，也不影响B），），CCBCN0CBXBbXBXNXSCBXBB-1bIB-1NB-1ZCB B-1b0CNCB B-1NCB B-1第46页，本讲稿共92页目标函数最优值变为：目标函数最优值变为：Z*=y*1b1+y*2b2+y*I（bi+1）+y*mbmZ*=Z*Z*=y*i也可以写成：即y*i 表示Z*对 bi的变化率。其经济意义是：在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 个约束条件的影子价格。也可
21、以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数（但问题中所有其它数据都保持不变）。第47页，本讲稿共92页 若第i 种资源的单位市场价格为mi，当yi mi 时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为yimi，则有利可图；如果yi mi，则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利miyi，否则，企业无利可图，甚至亏损。第48页，本讲稿共92页010 20 30 40 50 6010 2 0 3 0 4 0 50 x2 x1123(50/7.200/7)第49页，本讲稿共92页多了多了 32/7x1010 20 30 40 50 6010 2 0 3 0 4 0 50 x2 123(55/7.199/7)第50页
22、，本讲稿共92页010 20 30 40 50 6010 2 0 3 0 4 0 50 x2 x1123(50/7.200/7)第51页，本讲稿共92页010 20 30 40 50 6010 2 0 3 0 4 0 50 x2 x1123(47/7.202/7)多了多了 6/7第52页，本讲稿共92页01 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 x2 x1(4 2)X*=（4.2.0.0.0.4）Y*=（0.3/2.1/8.0）第53页，本讲稿共92页01 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 x2 x1(3 3)少了少了0.50.5第54页，本讲稿共92页01 2
23、 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 x2 x1(4.25 1.75)少了少了0.25第55页，本讲稿共92页01 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 x2 x1(4 2)第56页，本讲稿共92页 对偶单纯形法是求解线性规划的另一的基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。由对偶理论可以知道，对于一个线性规划问题，我们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。四、对四、对偶偶单单纯纯形形法法第57页，本讲稿共92页 也就是说，求解原问题（也就是说，求解原问题（P P）时，可以从（）时，可以从
24、（P P）的一个基本）的一个基本解（非基可行解）开始，逐步迭代，使目标函数值（解（非基可行解）开始，逐步迭代，使目标函数值（Z=Yb=CBB-1b=CX）减少，当迭代到）减少，当迭代到XB=B-1b0时，即找到了（时，即找到了（P P）的最优解，这就是对偶单纯形）的最优解，这就是对偶单纯形法。法。同原始单纯形求法一样，求解对偶问题（D），也可以从（D）的一个基本可行解开始，从一个基本可行解（迭代）到另一个基本可行解，使目标函数值减少。第58页，本讲稿共92页例一、用对偶单纯形法求解：解：将模型转化为第59页，本讲稿共92页cj-9-12-15000cBxBbx1x2x3x4x5x60 x4-1
25、0-2-2-11000 x5-12-2-3-10100 x6-14-1-1-5001(-9/-1.-12/-1.-15/-5)-Z 0-9-12-15000cj-9-12-15000cBxBbx1x2x3x4x5x60 x4-36/5-9/5-9/5010-1/50 x5-46/5-9/5-14/5001-1/5-15x314/51/51/5100-1/5(-30/-9.-45/-14 .-15/-1)-Z 42-6-9000-3第60页，本讲稿共92页cj-9-12-15000cBxBbx1x2x3x4x5x60 x4-9/7-9/14001-9/14-1/14-12x223/79/1410
26、0-5/141/14(-3/-9.-45/-9.-33/-1)-15x315/71/140101/14-3/14-Z 501/7-3/14000-45/14-33/14cj-9-12-15000cBxBbx1x2x3x4x5x6-9x12100-14/911/9-12x220101-10-15x320011/90-2/9-Z 72000-1/3-3-7/3第61页，本讲稿共92页所以，所以，X*=（2.2.2.0.0.0），），Z*=72，原问题原问题Z*=72其对偶问题的最优解为：其对偶问题的最优解为：Y*=(1/3.3.7/3)，W*=72第62页，本讲稿共92页练习：第63页，本讲稿共9
27、2页cj-2-3-400cBxBbx1x2x3x4x50 x4-3-1-2-1100 x5-4-21-301-Z-2-3-400cj-2-3-400cBxBbx1x2x3x4x50 x4-10-5/21/21-1/2-2x121-1/23/20-1/2-Z 0-4-10-1第64页，本讲稿共92页cj-2-3-400cBxBbx1x2x3x4x5-3x22/501-1/5-2/51/5-2x111/5107/5-1/5-2/5-Z 28/500-3/5-8/5-1/5Y=（8/5.1/5）X=（2/5.11/5.0）Z=28/5 第65页，本讲稿共92页j=cjCBB1Pj =B1Pj =B1
28、b 五、五、灵敏度分析灵敏度分析第66页，本讲稿共92页求下列LP问题 第67页，本讲稿共92页Cj0-130-20CBXBbx1x2x3x4x5x60 x1713-10200 x4120-241000 x6 10 0-43081j 0-130-200 x11015/201/4203x330-1/211/4000 x6 1 0-5/20-3/481j01/20-3/4-20-1x242/5101/104/503x351/5013/102/500 x6 11 100-1/2101j-1/500-4/5-12/50第68页，本讲稿共92页B3=（P2，P3，P6）=B31 =第69页，本讲稿共92
29、页求下列求下列LP问题的最优解问题的最优解第70页，本讲稿共92页第71页，本讲稿共92页B41 =B3=（P4，P2，P3）=B31 =B4=（P1，P2，P3）=第72页，本讲稿共92页例：某企业利用三种资源生产两种产品的最优计划问题归结为下列线性规划已知最优表如下。（1）确定x2的系数c2的变化范围，使原最优解保持最优；（2）若c2=6，求新的最优计划。一、一、价值系数价值系数c cj j的变化分析的变化分析第73页，本讲稿共92页cj54000CBXBbx1x2x3x4x50 x3250012-55x1351001-14 x2 10 010-12000-1-3第74页，本讲稿共92页4
30、=c2505=52c205/2c25cj5c2 000CBXBbx1x2x3x4x50 x3250012-55x1351001-1c2 x2 10 010-12000c2-55-2c2最优解X*=（35，10，25，0，0）保持不变。（1）第75页，本讲稿共92页Cj56000CBXBbx1x2x3x4x50 x3250012-55x1351001-16 x2 10 010-12j 0001-70 x425/2001/21-5/25x145/210-1/203/26 x2 45/2 011/20-1/2j00-1/20-9/2x1*=45/2，x2*=45/2，x4*=25/2，x3*=x5*
31、=0，z*=495/2（2）第76页，本讲稿共92页XB=B1b例：对于上例中的线性规划作下列分析：（1）b3在什么范围内变化，原最优基不变？（2）若b3=55，求出新的最优解。二、右端常数二、右端常数b bi i的变化分析的变化分析第77页，本讲稿共92页cj54000CBXBbx1x2x3x4x50 x3250012-55x1351001-14 x2 10 010-12000-1-3最优基：B=（P3，P1，P2）B1=第78页，本讲稿共92页（1）B1=0解得解得40b350，即当，即当b340，50时，最优基时，最优基B 不变不变z*=5（80b3）+4（80+2b3）=80+3b3=
32、第79页，本讲稿共92页（2）当 b3=55 时=x2 x1x50-11/5-3/500j0-1/52/51020 4 03/5-1/5013051-2/5-1/50050-32-1-5x50-1000j-101030 x2 4 100125x152100-25x30 x4x3x2x1bXBCB0045Cj第80页，本讲稿共92页第81页，本讲稿共92页三、增加一个新变量的分析例2.10（续例2.8）设企业研制了一种新产品，对三种资源的消耗系数列向量以P6表示P6=。问它的价值系数c6符合什么条件才必须安排它的生产？设c6=3，新的最优生产计划是什么？6=c6CBB1P6=c6（0，5，4）=
33、c65/2=B1P6=第82页，本讲稿共92页Cj540003CBXBbx1x2x3x4x5x60 x3250012-515x1351001-11/26 x2 10 010-120j 000-1-31/23x6250012-515x145/210-1/203/204 x2 10 010-120j00-1/2-2-1/20第83页，本讲稿共92页四、四、增加新的约束条件的分析增加新的约束条件的分析例例2.11 假设在例2.8中，还要考虑一个新的资源约束：4x1+2x21504x1+2x2+x6=150X*=（35，10，25，0，0）T第84页，本讲稿共92页4x1+2x2+x6=150cj54
34、0000CBXBbx1x2x3x4x5x60 x3250012-505x1351001-104 x2 10 010-1200 x6150420001000-1-30第85页，本讲稿共92页Cj540000CBXBbx1x2x3x4x5x60 x3250012-505x1351001-104x210010-1200 x6 150 420001j 000-1-300 x3250012-505x1351001-104x210010-1200 x6-10 000-201j000-1-300 x3150010-515x1301000-11/24x21501002-1/20 x4 5 00010-1/2j
35、0000-3-1/2第86页，本讲稿共92页五、其它变化情况的分析1.cj和bi同时变化的情况例2.12 在例2.8中，假定c2由4上升为6，b3增加到55，试问最优解将会发生什么变化？B1=B =代替最优表的b列，并把c2改为6第87页，本讲稿共92页cj56000CBXBbx1x2x3x4x50 x3-250012-55x1251001-16 x2 30 010-12j0001-7原问题与对偶问题均非可行解，表中第一方程是x3+2x45x5=25，两边乘以（-1），得：x32x4+5x5=25，再引入人工变量x6：x32x4+5x5+x6=25以x6为基变量，增添第6列，应用大M法继续求解
36、。第88页，本讲稿共92页Cj56000-MCBXBbx1x2x3x4x5x6-Mx62500-1-2515x1251001-106 x2 30 010-120j 00-M-2M+15M-700 x5500-1/5-2/5105x13010-1/53/501/56 x2 20 012/5-1/50-2/5j00-7/5-9/50-M+7/5新的最优计划产量为x1*=30，x2*=20，z*=270。x32x4+5x5+x6=25第89页，本讲稿共92页2.技术系数aij的变化例2.13 在例2.8中，第一种产品的消耗系数改变为 ，价值系数不变，求新的最优解。B1=第90页，本讲稿共92页Cj54000CBXBbx1x2x3x4x50 x3252012-55x1351001-14 x2 10-1/210-12j 000-1-3第91页，本讲稿共92页Cj54000CBXBbx1x2x3x4x50 x3252012-55x1351001-14 x2 10-1/210-12j 000-1-30 x3-450010-35x1351001-14 x2 27.5 010-1/23/2j000-3-10 x51500-1/3015x15010-1/3104 x2 5 011/2-1/20j 00-1/3-30第92页，本讲稿共92页