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1、 相似三角形272.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例定理见B本P691如图2721，已知直线abc，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC4，CE6，BD3，则BF(B)A7 B7.5 C8 D8.5【解析】 abc，DF4.5，BFBDDF7.5.图2721图27222如图2722，若l1l2，那么以下比例式中正确的是(D)A. B.C. D.3如图2723，已知BDCE，则下列等式不成立的是(A)图2723A. B.C. D.4. 如图2724，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC.已知AE6，则EC的长是(B)图2724A4.5 B8 C1
2、0.5 D14【解析】 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案DEBC，AE6，解得EC8，则EC的长是8.5如图2725所示，ABC中，DEBC，AD5，BD10，AE3，则CE的值为(B)图2725A9 B6 C3 D4【解析】 DEBC，.AD5，BD10，AE3，CE6，故选B.6如图2726，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是(A)图2726AAB2BC·BDBAB2AC·BDCAB·ADBD·BCDAB·ADAD·CD【解析】 由ABCDBA可得对应边成比例，即，再根据比例的
3、性质可知AB2BC·BD，故选A.7如图2727，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O，若AD1，BC3，则的值为(B)A. B. C. D.图2727图27288如图2728，已知DEAB，DFBC，下列结论中不正确的是(D)A. B.C. D.【解析】 A正确，DEAB，DFBC，四边形DEBF是平行四边形，DEBF.DFBC，；B正确，DEAB，又DFBC，；C正确，四边形DEBF是平行四边形，DFBE.DEAB，；D不正确，DFBC，又DEAB，又BEDF，.9如图2729，已知ACDB，OAOB35，OA9，CD32，则OB_15_，OD_20_【解析】
4、，OBOA×915.设ODx，则OC32x.ACDB，解得x20.图2729图2721010如图27210，已知l1l2l3，AM3 cm，BM5 cm，CM4.5 cm，EF12 cm，则DM_7.5_cm，EK_4.5_cm，FK_7.5_cm.【解析】 l1l2l3，DM7.5 cm.l1l2l3，EK4.5 cm，FKEFEK124.57.5(cm)11. 如图27211，已知在ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DEBC，EFAB，且ADDB 35，那么CFCB等于(A)图27211A. 58 B38C. 35 D25【解析】 ADDB35，BDAB58，
5、DEBC，CEACBDAB58，EFAB，CFCBCEAC58.12如图27212，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(C)A. B.C. D.图27212图2721313如图27213，已知FGBC，AEGHCD，求证：.【解析】 观察图形，我们会发现AEGHCD，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，可推得；由FGBC，知它具备了定理推论中的“A”型的基本图形，可推得，从而可证得.证明：AEGHCD，.FGBC，.14如图27214，已知ABMN，BCNG，求证：.证明：ABMN，又BCNG，.图27214图2721515如图27215，ABC
6、D中，E在CD延长线上，BE交AD于F.若AB3，BC4，DF1，求DE的长解：四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ADBC.ABDC，ADBC，又AFADDFBCDF3，DE1.16如图27216，已知AD是ABC的角平分线，CEAD交BA的延长线于点E.求证：.图27216证明：ADCE，BADE，DACACE.又BADDAC，EACE，AEAC.又CEAD，.第2课时相似三角形判定定理1、2见A本P711如图27217，在ABC中，DEBC，若，DE4 cm，则BC的长为(B)图27217A8 cm B12 cmC11 cm D10 cm【解析】 DEBC，ADEABC，.，BC12
7、cm，选择B.2. 能说明ABCABC的条件是(D)A.B.，ACC.，且BAD.，且BB3如图27218，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成，四个三角形，若OAOCOBOD，则下列结论中一定正确的是(B)图27218A和相似 B和相似C和相似 D和相似【解析】 两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似4如图27219，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：BC2DE；ADEABC；.其中正确的有(A)A3个 B2个 C1个 D0个【解析】 点D，E分别是AB，AC的中点，所以由中位线定理得DEBC，且DEBC，正确；因
8、为DEBC，所以ADEABC，正确；由得，正确故选A.图27219图272205如图27220，在ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是(B)AAEFDEC BFACDAEBCCFAABFEEC DABDC【解析】 DCAB，DCEAFE，故结论B错误AEBC，FAEFBC，即，即FAABFEEC，故结论C正确而A，D显然正确，应选B.6在ABC中，AB9，AC12，BC18，D为AC上一点，DCAC，在AB上取一点E，得到ADE，若ADE与ABC相似，则DE长为_6或8_【解析】 (1)当AEDABC时，此时图形为(a)，可得DE6；(2)当AE
9、DACB时，此时图形为(b)，可得DE8.7如图27221，在ABC中，已知DEBC，AD4，DB8，DE3.(1)求的值；(2)求BC.图27221解：(1)AD4，DB8，ABADDB4812，.(2)DEBC，ADEABC，.DE3，BC9.8网格图中每个方格都是边长为1的正方形若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明ABCDEF.图27222【解析】 利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得ABCDEF.解：AC，BC，AB4，DF2，EF2，ED8，ABCDEF.9如图27223，D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB的中点图27223(1)求证
10、：DEFABC；(2)图中还有哪几个三角形与ABC相似？解：(1)证明：D，F分别是ABC的边BC，BA的中点，DFAC，同理EFCB，DEAB，则，DEFABC；(2)E，F分别是ABC的三边CA，AB的中点，EFBC，AFEABC.同理，FBDABC，EDCABC.图中与ABC相似的三角形还有AFE，FBD，EDC.10如图27224，ABC是等边三角形，D，E在BC边所在的直线上，且AB·ACBD·CE.求证：ABDECA.图27224证明：ABC是等边三角形(已知)，ABCACB60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，ABDACE(等角
11、的补角相等)又AB·ACBD·CE(已知)，即，ABDECA(两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)11如图27225，已知正方形ABCD中，F为BC上一点，且BF3FC，E为DC的中点求证：ADEECF.图27225证明：正方形ABCD中，E为CD中点，CEEDCDAD.BF3FC，FCBCADCE.，即.CD90°，ADEECF.12如图27226，DABCAE，且AB·ADAE·AC，请在图中找出与ADE相等的角，并说明理由图27226【解析】 由AB·ADAE·AC得，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于
12、是就有与ADE相等的角解：CADE，理由如下：DABCAE，DABBAECAEBAE，DAEBAC.AB·ADAE·AC，ABCAED，ADEC.13. 如图27227，AOB90°，OAOBBCCD.请找出图中的相似三角形，并说明理由图27227解：ABCDBA.理由如下：设OAOBBCCDx，根据勾股定理，ABx，ACx，ADx，ABCDBA.第3课时相似三角形判定定理3见B本P711已知如图27228(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(A)图27228A都相
13、似 B都不相似C只有(1)相似 D只有(2)相似【解析】 两角对应相等，或者两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似2ABC和DEF满足下列条件，其中使ABC与DEF不相似的是(C)AAD45°38，C26°22，E108°BAB1，AC1.5，BC2，DE12，EF8，DF16CBCa，ACb，ABc，DE，EF，DFDABAC，DEDF，AD40°3如图27229，在ABC中，C90°，D是AC上一点，DEAB于点E，若AC8，BC6，DE3，则AD的长为(C)图27229A3 B4 C5 D6【解析】 在ABC中，C90&#
14、176;，AC8，BC6，由勾股定理得AB10.在ADE和ABC中，AA，AEDC，ADEABC，即，AD5.4如图27230所示，给出下列条件：BACD；ADCACB；AC2AD·AB.其中单独能够判定ABCACD的个数为(C)A1 B2 C3 D4【解析】 图中ABC与ACD有一组公共角，根据相似三角形的判定方法，可再补充另一组对应角相等，符合条件；或补充夹公共角的两边对应成比例，符合条件，所以补充能判定ABCACD.图27230图272315如图27231，在ABC中，AB5，AC4，点D在边AB上，ACDB，则AD的长为_6. 2013·安顺如图27232，在ABC
15、D中，点E在DC上，若DEEC12，则BFBE_35_图27232图272337如图27233，12，添加一个条件，使得ADEACB：_DC或EB或_【解析】 由12可得DAECAB.只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得ADEACB.8. 2013·六盘水如图27234，添加一个条件：_ADEC或AEDB或_，使得ADEACB.(写出一个即可)【解析】 由题意得，AA(公共角)，则可添加：ADEC或AEDB，利用两角法可判定ADEACB，添加也可以图27234图272359. 如图27235，在ABC中，ABAC，BDCD，CEAB于E.求证：ABDCBE.证明：在ABC中
16、，ABAC，BDCD，ADBC，CEAB，ADBCEB90°，又BB，ABDCBE.10如图27236，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.(1)求证：DQPCBP；(2)当DQPCBP，且AB8时，求DP的长图27236解：(1)四边形ABCD是平行四边形，AQBC，QPBC，PDQC，DQPCBP；(2)DQPCBP，DPCPCD.ABCD8，DP4.图2723711.如图27237所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DFFC(D)A14B13C23D12【解析】 在平行四边形AB
17、CD中，ABDC，则DFEBAE，O为对角线的交点，DOBO，又E为OD的中点，DEDB，则DEEB13，DFAB13，DCAB，DFDC13，DFFC12.图2723812如图27238，ABC中，AE交BC于点D，CE，AD4，BC8，BDDC53，则DE的长等于(B)A. B. C. D.【解析】ADCBDE，CE，ADCBDE，AD4，BC8，BDDC53，BD5，DC3，DE.故选B.13如图27239，AC是O的直径，弦BD交AC于点E.(1)求证：ADEBCE；(2)如果AD2AE·AC，求证：CDCB.图27239第13题答图解：(1)证明：A与B是所对的圆周角，AB
18、，又AEDBEC，ADEBCE；(2)证明：如图，AD2AE·AC，又AA，ADEACD，AEDADC，又AC是O的直径，ADC90°， 即AED90°，直径ACBD，CDCB.14已知AB是O的直径，弦CDAB于点G，E是直线AB上一动点(不与点A，B，G重合)，直线DE交O于点F，直线CF交直线AB于点P.设O的半径为r.(1)如图(1)，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OPr2；图27240(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时，以图(2)中点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由解：(1)证明：如图(1)，连接FO并延长交O于Q，连接DQ.FQ是O的直径，FDQ90°，QFDQ90°.CDAB，PC90°.QC，QFDP.FOEPOF，FOEPOF，OE·OPOF2r2.图(1)图(2)(2)(1)中的结论成立理由：如图(2)，依题意画出图形，连接FO并延长交O于M，连接CM.FM是O的直径，FCM90°，MCFM90°.CDAB，ED90°.MD，CFME.POFFOE，POFFOE，OE·OPOF2r2.