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1、统计学概率第1页，共108页，编辑于2022年，星期二第 5 章 概率与概率分布5.1 随机事件及其概率随机事件及其概率5.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则5.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布5.4 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布第2页，共108页，编辑于2022年，星期二学习目标1.定义试验、结果、事件、样本空间、概率定义试验、结果、事件、样本空间、概率2.描述和使用概率的运算法则描述和使用概率的运算法则3.定义和解释随机变量及其分布定义和解释随机变量及其分布4.计算随机变量的数学期望和方差计算随机变量的数学期望和方差5.计算离散型随机变量的概率
2、和概率分布计算离散型随机变量的概率和概率分布6.计算连续型随机变量的概率计算连续型随机变量的概率7.用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布8.用用Excel计算分布的概率计算分布的概率第3页，共108页，编辑于2022年，星期二5.1 随机事件及其概率随机事件及其概率5.1.1 随机事件的几个基本概念随机事件的几个基本概念5.1.2 事件的概率事件的概率5.1.3 概率计算的几个例子概率计算的几个例子第4页，共108页，编辑于2022年，星期二随机事件的几个基本概念第5页，共108页，编辑于2022年，星期二试 验(experiment)1.在相同条件下，对事物或现象所进行的观察例如：掷
3、一枚骰子，观察其出现的点数2.试验的特点可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果第6页，共108页，编辑于2022年，星期二事件的概念1.事件事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为32.随随机机事事件件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的事件例如：掷一枚骰子可能出现的点数3.必必然然事事件件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数小于74.不不可可能能事事件件(impos
4、sible event)：每次试验一定不出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数大于6第7页，共108页，编辑于2022年，星期二事件与样本空间1.基本事件基本事件(elementary event)一个不可能再分的随机事件例如：掷一枚骰子出现的点数2.样本空间样本空间(sample space)一个试验中所有基本事件的集合，用表示例如：在掷枚骰子的试验中，1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中，正面，反面第8页，共108页，编辑于2022年，星期二事件的概率第9页，共108页，编辑于2022年，星期二事件的概率(probability)1.事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小
5、的一种度量2.表示事件A出现可能性大小的数值3.事件A的概率表示为P(A)4.概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义第10页，共108页，编辑于2022年，星期二事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右试验的次数试验的次数正面正面/试验次数试验次数1.001.000.000.000.250.250.500.500.750.750 0252550507575100100125125第11页，共108页，编辑于2022年，星期二5.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则5.2.1 概率的性质概率的性质5.2.2
6、 概率的加法法则概率的加法法则5.2.3 条件概率与独立事件条件概率与独立事件第12页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的古典定义 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为第13页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的古典定义(例题分析)【例例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问：(1)该职工为男性的概率 (2)该职工为炼钢厂职工的概率某钢铁公司所属企业职工人数某钢铁公司所属企业职工人数工厂工厂男职工男职工女职工女职
7、工合计合计炼钢厂炼钢厂炼铁厂炼铁厂轧钢厂轧钢厂4400320090018001600600620048001500合计合计8500400012500第14页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的古典定义(例题分析)解解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则 (2)(2)用用B B 表示表示“抽中的职工为炼钢厂职工抽中的职工为炼钢厂职工”；B B为炼钢厂为炼钢厂 全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则第15页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的统计定义 在相同条件下进行
8、n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为第16页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的统计定义(例题分析)【例例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。解：解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有第17页，共108页，编辑于2022
9、年，星期二主观概率定义1.对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定2.概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断3.例如，我认为2003年的中国股市是一个盘整年第18页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的性质与运算法则第19页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的性质1.非负性对任意事件A，有 0 P(A)12.规范性必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P()=1；P()=03.可加性若A与B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有 P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2
10、)+P(An)第20页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的加法法则(additive rule)法则一法则一1.两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P(AB)=P(A)+P(B)2.事件A1，A2，An两两互斥，则有 P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)第21页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的加法法则(例题分析)【例例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率 解解：用A表示“抽中的为炼铁厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼铁厂或轧钢厂职工的事
11、件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为第22页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的加法法则(additive rule)法则二法则二 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)第23页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的加法法则(例题分析)【例例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。解解：设A读甲报纸，B读乙报纸，C至少读一种报纸。则 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2 +0.1
12、6 -0.08 =0.28第24页，共108页，编辑于2022年，星期二条件概率与独立事件第25页，共108页，编辑于2022年，星期二条件概率(conditional probability)在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为 P(B)P(AB)P(A|B)=第26页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的乘法公式(multiplicative rule)1.用来计算两事件交的概率2.以条件概率的定义为基础3.设 A、B为 两 个 事 件，若 P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A
13、)第27页，共108页，编辑于2022年，星期二概率的乘法公式(例题分析)【例例】设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？解解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2)第28页，共108页，编辑于2022年，星期二事件的独立性(independence)1.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立2.若 事 件A与B独 立，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)3.此时概率的乘法公式可简化为 P(AB)=P(A)P(B)4.推广到n个独立事件，有 P(A1 A2
14、 An)=P(A1)P(A2)P(An)第29页，共108页，编辑于2022年，星期二事件的独立性(例题分析)【例例例例】某某工工人人同同时时看看管管三三台台机机床床，每每单单位位时时间间(如如3030分分钟钟)内内机机床床不不需需要要看看管管的的概概率率：甲甲机机床床为为0.90.9，乙乙机机床床为为0.80.8，丙丙机机床床为为0.850.85。若若机机床床是是自自动且独立地工作，求动且独立地工作，求 （1 1）在）在3030分钟内三台机床都不需要看管的概率分钟内三台机床都不需要看管的概率 （2 2）在）在3030分钟内分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率甲、乙机床不需要看管
15、，且丙机床需要看管的概率 解解解解：设设 A A1 1，A A2 2，A A3 3为为甲甲、乙乙、丙丙三三台台机机床床不不需需要要看看管管的的事事件件，A A3 3 为为丙机床需要看管的事件，依题意有丙机床需要看管的事件，依题意有 (1)(1)P P(A A1 1A A2 2A A3 3)=)=P P(A A1 1)P P(A A2 2)P P(A A3 3)=0.9)=0.9 0.80.8 0.85=0.6120.85=0.612 (2)(2)P P(A A1 1A A2 2 A A3 3)=)=P P(A A1 1)P P(A A2 2)P P(A A3 3)=0.9 =0.9 0.80.
16、8(1-0.85)=0.108(1-0.85)=0.108第30页，共108页，编辑于2022年，星期二全概公式 设事件A1，A2，An 两两互斥，A1+A2+An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Ai)0(i=1,2,n)，则对任意事件B，有我我们们把把事事件件A A1 1，A2 2，An n 看作是引起事件B发发生生的的所所有有可可能能原原因因，事事件件B 能能且且只只能能在在原原有有A A1，A A2 2，A An n 之之一一发发生生的的条条件件下下发发生生，求求事事件件B B 的的概概率率就就是是上上面的全概公式面的全概公式第31页，共108页，编辑于2022年，
17、星期二全概公式(例题分析)【例例例例】某某车车间间用用甲甲、乙乙、丙丙三三台台机机床床进进行行生生产产，各各种种机机床床的的次次品品率率分分别别为为5%5%、4%4%、2%2%，它它们们各各自自的的产产品品分分别别占占总总产产量量的的25%25%、35%35%、40%40%，将将它它们们的的产产品品组组合合在在一一起起，求求任任取取一一个个是是次品的概率。次品的概率。解解解解：设设 A A1 1表表示示“产产品品来来自自甲甲台台机机床床”，A A2 2表表示示“产产品品来来自自乙乙台台机机床床”，A A3 3表表示示“产产品品来来自自丙丙台台机机床床”，B B表表示示“取取到到次次品品”。根据
18、全概公式有根据全概公式有第32页，共108页，编辑于2022年，星期二贝叶斯公式(逆概公式)1.与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因2.设n个事件A1，A2，An 两两互斥，A1+A2+An=(满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)0(i=1,2,n)，则第33页，共108页，编辑于2022年，星期二贝叶斯公式(例题分析)【例例例例】某某车车间间用用甲甲、乙乙、丙丙三三台台机机床床进进行行生生产产，各各种种机机床床的的次次品品率率分分别别为为5%5%、4%4%、2%2%，它它们们各各自自的的产产品品分分别别占占总总产产量量的的25%2
19、5%、35%35%、40%40%，将将它它们们的的产产品品组组合合在在一一起起，如如果果取取到到的的一一件件产产品品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率 解解解解：设设 A A1 1表表示示“产产品品来来自自甲甲台台机机床床”，A A2 2表表示示“产产品品来来自自乙乙台台机机床床”，A A3 3表表示示“产产品品来来自自丙丙台台机机床床”，B B表表示示“取取到到次次品品”。根根据据贝贝叶斯公式有：叶斯公式有：第34页，共108页，编辑于2022年，星期二5.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布5.3.1 随机变量的概念随机变量
20、的概念5.3.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布5.3.3 条件概率与独立事件条件概率与独立事件第35页，共108页，编辑于2022年，星期二随机变量的概念第36页，共108页，编辑于2022年，星期二随机变量(random variables)1.一次试验的结果的数值性描述2.一般用 X、Y、Z 来表示3.例如:投掷两枚硬币出现正面的数量4.根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量第37页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量(discrete random variables)1.随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1,X2，
21、2.以确定的概率取这些不同的值3.离散型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽抽查查100个个产品产品一家餐馆营业一天一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售电脑公司一个月的销售销售一辆汽车销售一辆汽车取到次品的个数取到次品的个数顾顾客数客数销销售量售量顾顾客性客性别别0,1,2,1000,1,2,0,1,2,男性男性为为0,女性女性为为1第38页，共108页，编辑于2022年，星期二连续型随机变量(continuous random variables)1.随机变量 X 取无限个值2.所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点3.连续型随机变量的一些
22、例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽抽查查一批一批电电子元件子元件新建一座住宅楼新建一座住宅楼测量一个产品的测量一个产品的长长度度使用寿命使用寿命(小小时时)半年后工程完成的百分比半年后工程完成的百分比测测量量误误差差(cm)X 00 X 100X 0第39页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的概率分布第40页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的概率分布1.列出离散型随机变量X的所有可能取值2.列出随机变量取这些值的概率3.通常用下面的表格来表示X=xix1，x2，xnP(X=xi)=pip1，p2，pn4.4.P P(X X=x xi i)=
23、)=p pi i称为离散型随机变量的概率函数p pi 0 0第41页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的概率分布(例题分析)【例例】如规定打靶中域得3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi0 1 2 3P(X=xi)pi0.05 0.10 0.55 0.30第42页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的概率分布(01分布)1.一个离散型随机变量X只取两个可能的值例如，男性用 1表示，女性用0表示；合格品用 1
24、 表示，不合格品用0表示2.列出随机变量取这两个值的概率第43页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的概率分布(01分布)【例例】已知一批产品的次品率为p0.05，合格率为q=1-p=1-0.05=0.95。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi1 0P(X=xi)=pi0.05 0.950.50.50 01 11 1x xP P(x x)第44页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的概率分布(均匀分布)1.一个离散型随机变量取各个值的概率相同2.列出随机变量取值及其取值的概率3.例如，投掷一枚骰子，
25、出现的点数及其出现各点的概率第45页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的概率分布(均匀分布)【例例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为X=xi1 2 3 4 5 6P(X=xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/60 01/61/6P P(x x)1 1x x2 23 34 45 56 6第46页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的数学期望和方差第47页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的数学期望(expected value)1.在离散型随机变量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的
26、概率pi乘积之和2.描述离散型随机变量取值的集中程度3.计算公式为第48页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的方差(variance)1.随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为D(X)2.描述离散型随机变量取值的分散程度3.计算公式为第49页，共108页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的方差(例题分析)【例例】投投掷掷一一枚枚骰骰子子，出出现现的的点点数数是是个个离离散散型型随随机机变变量量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差其概率分布为如下。计算数学期望和方差X=xi1 2 3 4 5 6P(X=xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/
27、6 1/6解：解：解：解：数学期望为数学期望为：方差为：第50页，共108页，编辑于2022年，星期二几种常见的离散型概率分布第51页，共108页，编辑于2022年，星期二二项试验(贝努里试验)1.二项分布与贝努里试验有关2.贝努里试验具有如下属性试验包含了n 个相同的试验每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p+q=1试验是相互独立的试验“成功”或“失败”可以计数第52页，共108页，编辑于2022年，星期二二项分布(Binomial distribution)1.进行 n 次重复试验，出现“成功”的次
28、数的概率分布称为二项分布2.设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为第53页，共108页，编辑于2022年，星期二二项分布1.显然，对于PX=x 0，x=1,2,n，有2.同样有3.当 n=1 时，二项分布化简为第54页，共108页，编辑于2022年，星期二二项分布的数学期望和方差1.二项分布的数学期望为2.E(X)np2.方差为3.D(X)npq第55页，共108页，编辑于2022年，星期二 k 阶样本原点矩：阶样本原点矩：Vk:Vk:k 阶阶样本中心矩样本中心矩:Uk:样本方差不是中心矩样本方差不是中心矩.样本均值为一阶原点矩样本均值为一阶原点矩.样本原点矩与样本中心
29、矩统称为样本矩样本原点矩与样本中心矩统称为样本矩.上述各个统计量都是样本的上述各个统计量都是样本的数字特征数字特征.第56页，共108页，编辑于2022年，星期二上述各个统计量都是样本的上述各个统计量都是样本的数字特征数字特征:U2=V2-V1*2U3=V3-3V2V1+2V1*3U4=V4-4V3V1+6V2V1*2-3V1*4 第57页，共108页，编辑于2022年，星期二 对于固定对于固定n及及p，当，当k增加增加时时,概率概率P(X=k)先是随之增先是随之增加直至加直至 达到最大值达到最大值,随后单随后单调减少调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)
30、p不为整数时，二项概不为整数时，二项概率率P(X=k)在在k=(n+1)p达到最大达到最大值；值；(x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数)n=10,p=0.7nPk(n+1)p=7.7那么那么.n=7第58页，共108页，编辑于2022年，星期二当当(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率P(X=k)在在k=(n+1)p和和k=(n+1)p-1处处达到最大值达到最大值.n=13,p=0.5Pkn0(n+1)p=7那么那么.n=7或或n=6最大最大第59页，共108页，编辑于2022年，星期二 XB(n,p),若设若设则则 X=X1+X2+Xn=npi=1,2，n所以所以
31、E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.E(Xi)=pXi01P1-pp又又:Xi的分布律为的分布律为:第60页，共108页，编辑于2022年，星期二二项分布(例题分析)【例例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率 解解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则XB(3,0.05)，根据二项分布公式有 第61页，共108页，编辑于2022年，星期二泊松分布(Poisson distribution)1.用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布2.泊
32、松分布的例子一个城市在一个月内发生的交通事故次数消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数一放射性源放射出的一放射性源放射出的 粒子数；粒子数；某电话交换台收到的电话呼叫数；某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数一台纺纱机的断头数第62页，共108页，编辑于2022年，星期二 (二二).泊松泊松(Poisson)分布分布 设随机变量设随机变量X所有可能取的值为所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：且概率分布为：其中其中 0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数
33、为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作XP().第63页，共108页，编辑于2022年，星期二泊松泊松(Poisson)分布的数学期望与方差分布的数学期望与方差.第64页，共108页，编辑于2022年，星期二第65页，共108页，编辑于2022年，星期二 泊松分布的图形特点：泊松分布的图形特点：XP()第66页，共108页，编辑于2022年，星期二n 100,np 10 时近似效果就很好时近似效果就很好 请看演示请看演示二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似泊松分布的独立可加性及二项分布泊松分布的独立可加性及二项分布实际计算中，实际计算中，当当 n很大时，很大时，p 很小很小.有以下近似式
34、：有以下近似式：其中其中 泊松定理泊松定理:设随机变量设随机变量XB(n,p).第67页，共108页，编辑于2022年，星期二泊松分布(例题分析)【例例】假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求 （1）X 的均值及标准差 （2）在给定的某周一正好请事假是5人的概率 解解：(1)E(X)=2.5,(2)第68页，共108页，编辑于2022年，星期二泊松分布(作为二项分布的近似)1.当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即2.实际应用中，当 P0.25，n20，np5时，近似效果良好第69页，共108
35、页，编辑于2022年，星期二5.4 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布5.4.1 概率密度与分布函数概率密度与分布函数5.4.2 正态分布正态分布第70页，共108页，编辑于2022年，星期二连续型随机变量的概率分布第71页，共108页，编辑于2022年，星期二连续型随机变量的概率分布1.连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值2.它取任何一个特定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它取某一区间值的概率5.用数学函数的形式和分布函数的形式来描述第72页，共108页，编辑于2022年，星期二概率密度函数(probability densit
36、y function)1.设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件2.f(x)不是概率第73页，共108页，编辑于2022年，星期二概率密度函数 在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积f(x)xab第74页，共108页，编辑于2022年，星期二分布函数(distribution function)1.连续型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示2.分布函数定义为3.根据分布函数，P(aXb)可以写为第75页，共108页，编辑于2022年，星期二分布函数与密度函数的图示1
37、.密度函数曲线下的面积等于12.分布函数是曲线下小于 x0 的面积f(x)xx0F F(x x0 0 )第76页，共108页，编辑于2022年，星期二连续型随机变量的期望和方差1.连续型随机变量的数学期望为2.方差为第77页，共108页，编辑于2022年，星期二均匀分布第78页，共108页，编辑于2022年，星期二均匀分布(uniform distribution)1.若随机变量X的概率密度函数为2.3.称X在区间a,b上均匀分布2.数学期望和方差分别为第79页，共108页，编辑于2022年，星期二正态分布第80页，共108页，编辑于2022年，星期二正态分布(normal distribut
38、ion)1.描述连续型随机变量的最重要的分布2.可用于近似离散型随机变量的分布例如:二项分布3.经典统计推断的基础x xf f(x x)第81页，共108页，编辑于2022年，星期二概率密度函数f(x)=随机变量 X 的频数 =总体方差 =3.14159;e=2.71828x=随机变量的取值(-x 02.正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数3.正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值和标准差来区分。决定了图形的中心位置,决定曲线的平缓程度，即宽度4.曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交5.正态曲线下的总面积等于16.随机变量的概率由曲
39、线下的面积给出第83页，共108页，编辑于2022年，星期二 和 对正态曲线的影响xf(x)CAB第84页，共108页，编辑于2022年，星期二正态分布的概率概率是曲线下的概率是曲线下的面积面积!abxf(x)第85页，共108页，编辑于2022年，星期二标准正态分布(standard normal distribution)1.一般的正态分布取决于均值和标准差 2.计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的3.若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表第86页，共108页，编辑于2022年，星期二标准正态分布函数2.2.标准正态分布标准正
40、态分布的概率密度函数的概率密度函数1.任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布3.标准正态分布的分布函数第87页，共108页，编辑于2022年，星期二标准正态分布表的使用1.将一个一般的转换为标准正态分布2.计算概率时，查标准正态概率分布表3.对于负的 x，可由(-x)x得到4.对于标准正态分布，即XN(0,1)，有P(a X b)b aP(|X|a)2 a 15.对于一般正态分布，即XN(,)，有第88页，共108页，编辑于2022年，星期二正态分布(例题分析)【例】【例】【例】【例】设设X X N N(0(0，1)1)，求以下概率：，求以下概率：(1)(1)P P(X
41、 X 1.5)2)2)；(3)(3)P P(-1(-1X X 3)3)；(4)(4)P P(|(|X X|2)2)解解解解：(1)(1)P P(X X 1.5)=2)=1-2)=1-P P(X X 2)=1-0.9973=0.0227 2)=1-0.9973=0.0227 (3)(3)P P(-1(-1X X 3)=3)=P P(X X 3)-3)-P P(X X-1)-1)=(3)-(3)-(-1)=(-1)=(3)1-(3)1-(1)(1)=0.9987-(1-0.8413)=0.84 =0.9987-(1-0.8413)=0.84 (4)(4)P P(|(|X X|2)=2)=P P(-
42、2(-2 X X 2)=2)=(2)-(2)-(-2)(-2)=(2)-1-(2)-1-(2)=2(2)=2(2)-1=0.9545(2)-1=0.9545第89页，共108页，编辑于2022年，星期二正态分布(例题分析)【例】【例】【例】【例】设设XN(5(5，3 32 2)，求以下概率，求以下概率 (1)(1)P(X X 10)10)；(2)(2)P P(2X 1010)解解解解：(1)(1)(2)第90页，共108页，编辑于2022年，星期二二项分布的正态近似第91页，共108页，编辑于2022年，星期二二项分布的正态近似1.当n 很大时，二项随机变量X近似服从正态分布Nnp,np(1-
43、p)2.对于一个二项随机变量X，当n很大时，求 P(x1Xx2)时可用正态分布近似为第92页，共108页，编辑于2022年，星期二二项分布的正态近似（实例）【例例例例】100100台台机机床床彼彼此此独独立立地地工工作作，每每台台机机床床的的实实际际工工作作时时间间占占全全部部工工作时间的作时间的80%80%。求。求 (1)(1)任一时刻有任一时刻有70708686台机床在工作的概率台机床在工作的概率 (2)(2)任一时刻有任一时刻有8080台以上机床在工作的概率台以上机床在工作的概率 解解解解：设设X X表表示示100100台台机机床床中中工工作作着着的的机机床床数数，则则X X B B(1
44、00,0.8)(100,0.8)。现现用用正正态分布近似计算，态分布近似计算，npnp=8080，npqnpq=1616 (1)(1)(2)(2)第93页，共108页，编辑于2022年，星期二本章小结1.随机事件及其概率随机事件及其概率2.概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则3.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布4.连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布第94页，共108页，编辑于2022年，星期二思考题：袋内放有两个5分、3个两分和5个一分的硬币，随机抓取5个，求钱币总数超过一角的概率？第95页，共108页，编辑于2022年，星期二思考题思考题某人忘记了电话号码的最后一个数字，因
45、而随意拨号，某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，求拨号不超过求拨号不超过3次而接通电话的概率？次而接通电话的概率？在电路连接中除了串联和并联外，还有一种桥式电路，设元在电路连接中除了串联和并联外，还有一种桥式电路，设元件件Ai的可靠性均为的可靠性均为p,i=1、2、3、4、5，求桥式电路的，求桥式电路的可靠度？可靠度？从一副扑克牌（从一副扑克牌（52张）中任意抽取张）中任意抽取5张，求：张，求：1、拿到、拿到“四条四条”（即四张点数相同）的概率；（即四张点数相同）的概率；2、拿到、拿到“同花顺同花顺”（即五张同一花色按顺序排列）的概率；（即五张同一花色按顺序排列）的概率；3、拿到一
46、般、拿到一般“同花同花”的概率；的概率；4、拿到、拿到“三条加一对三条加一对”的概率？的概率？第96页，共108页，编辑于2022年，星期二思考题思考题考虑一元二次方程考虑一元二次方程x*2+B x+C=0,其中其中B 和和C分别是一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求分别是一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根和重根的概率？该方程有实根和重根的概率？从从6双不同的手套中任取双不同的手套中任取4只，问其中恰有一双只，问其中恰有一双配对的概率？至少由两支配对的概率？配对的概率？至少由两支配对的概率？把把10本书随意放在书架上，求其中本书随意放在书架上，求其中5本放在一本放在一起的概率？起的概
47、率？随机将随机将15名新生平均分配到三个班级中去，这名新生平均分配到三个班级中去，这15名中有名中有3名优秀生，问名优秀生，问（1）每个班级个分一名优秀生的概率？）每个班级个分一名优秀生的概率？（2）3名优秀生分在同一班级的概率？名优秀生分在同一班级的概率？第97页，共108页，编辑于2022年，星期二思考题思考题三门高射炮同时独立地向来犯敌机射三门高射炮同时独立地向来犯敌机射击，每门炮的命中率为击，每门炮的命中率为0.4飞机若被飞机若被击中一处，被击落的概率是击中一处，被击落的概率是0.3；若被；若被击中两处，被击落的概率为击中两处，被击落的概率为0.6；若被；若被击中三处，一定被击落问敌机
48、被击落击中三处，一定被击落问敌机被击落的概率？的概率？从从1只只9这这9个元素中有放回的取个元素中有放回的取3次次（每次任取（每次任取1个），求所取得个），求所取得3个数之乘个数之乘积能被积能被10整除的概率？整除的概率？第98页，共108页，编辑于2022年，星期二思考题思考题设袋中有大小相同的设袋中有大小相同的10个球：个球：3个红球、个红球、2个黑个黑球、球、5个白球，从中无放回的任取两次，每次个白球，从中无放回的任取两次，每次取取1个。如果以个。如果以AiBiCi分别表示第分别表示第i次取得红、次取得红、黑、白球（黑、白球（i=1、2），试求以下事件概率：），试求以下事件概率：1、第、
49、第2次去的黑球；次去的黑球；2、恰好取得、恰好取得1个黑球；个黑球；3、至少取得至少取得1个黑球；个黑球；4、没有取得黑球；、没有取得黑球；5、最、最多多1个黑球；个黑球；6、所取得的、所取得的2球中球中1个红个红1个黑；个黑；8、2球都为黑球；球都为黑球；9、所取得、所取得2球颜色相同；球颜色相同；10、若若2球颜色相同，全为黑球。球颜色相同，全为黑球。第99页，共108页，编辑于2022年，星期二u 设设 分别在以下条件下求分别在以下条件下求（1）A 与与 B 互不相容，互不相容，（2）（3）解：解：（1）A 与与 B 互不相容，即：互不相容，即：所以：所以：（2）（3）概率运算概率运算第
50、100页，共108页，编辑于2022年，星期二多项分布多项分布现有一批产品，已知合格品占现有一批产品，已知合格品占8/11；次品；次品占占2/9；废品占；废品占1/6，从中随机抽取，从中随机抽取6件，件，问抽到问抽到3件合格品，件合格品，2件次品和件次品和1件废品的件废品的概率？概率？第101页，共108页，编辑于2022年，星期二几何分布几何分布一条达到有一条达到有4盏红绿灯都是以盏红绿灯都是以0.5的概率的概率允许或禁止通行，求一辆机动车在停止允许或禁止通行，求一辆机动车在停止前所通过的红绿灯数的分布图前所通过的红绿灯数的分布图超几何分布超几何分布在在50个零部件中已知有个零部件中已知有5