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1、分子动理学理论的平衡态理论第1页，本讲稿共21页2.6 外力场中自由粒子的分布外力场中自由粒子的分布 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布2.6.1 等温大气压强公式等温大气压强公式 悬浮微粒按高度分布悬浮微粒按高度分布一、等温大气压强公式一、等温大气压强公式1.等温大气压强公式：等温大气压强公式：考察一重力场中截面积为考察一重力场中截面积为A的薄空气圆柱体系统。的薄空气圆柱体系统。该系统处在高度在该系统处在高度在zz+dz的高度差范围内达到温的高度差范围内达到温度为度为T 的的平衡态平衡态平衡态平衡态。设高度为设高度为z 及及z+dz 两层对应的压强分别为两层对应的压强分别为P、P+dP，该柱体的密度为
2、该柱体的密度为 (z)。分析空气柱体受力：分析空气柱体受力：根据力学平衡条件，有：根据力学平衡条件，有：第2页，本讲稿共21页根据力学平衡条件，有：根据力学平衡条件，有：根据理气状态方程：根据理气状态方程：气体总质量气体总质量 气体分子质量气体分子质量 假定大气温度处处相等，并设重力加速度假定大气温度处处相等，并设重力加速度g不随高度变化，则：不随高度变化，则：高度为高度为z 及高度为零（即海及高度为零（即海平面）处的大气压强平面）处的大气压强 等温大气压强公式等温大气压强公式等温大气压强公式等温大气压强公式 等温大气压强公式是近似式，等温大气压强公式是近似式，只在高度相差不大以致近似等温的范
3、围才成立。只在高度相差不大以致近似等温的范围才成立。注意：注意：第3页，本讲稿共21页例：例：一氢气球自地面上升，当气球上升到高度一氢气球自地面上升，当气球上升到高度h时，其体积为在时，其体积为在 地面时的地面时的1.20倍。设整个地球大气层等温倍。设整个地球大气层等温T=300K，且假定在，且假定在 上升过程中气球内外压强时时相等。求：上升过程中气球内外压强时时相等。求：h=？解：解：设：地面大气压强为设：地面大气压强为P0，气球体积为，气球体积为V0；在高度在高度h处的大气压强为处的大气压强为P，气球体积为，气球体积为V地球大气层等温，则：地球大气层等温，则：取空气的平均分子量为取空气的平
4、均分子量为28.9g，即：，即：第4页，本讲稿共21页2.气体分子在重力场中按高度的分布：气体分子在重力场中按高度的分布：等温大气压强公式等温大气压强公式：理气压强理气压强 ：高度为高度为z 及高度为零（即海平面）处的气体分子数密度及高度为零（即海平面）处的气体分子数密度 可见：可见：海拔越高，气体分子数密度越小。海拔越高，气体分子数密度越小。气体分子数密度随高度衰减的快慢决定于因子气体分子数密度随高度衰减的快慢决定于因子二、等温大气标高二、等温大气标高 称为大气标高称为大气标高 则有：则有：第5页，本讲稿共21页则有：则有：单位：单位：长度单位（高度单位）长度单位（高度单位）取高度取高度z=
5、H，则有：，则有：高度为大气标高高度为大气标高H处的压强及分子数密度是海平面处的处的压强及分子数密度是海平面处的 1/e 大气标高大气标高H的物理意义：的物理意义：大气标高是决定重力场中气体分子数密度随高度增加而衰减得快慢程大气标高是决定重力场中气体分子数密度随高度增加而衰减得快慢程大气标高是决定重力场中气体分子数密度随高度增加而衰减得快慢程大气标高是决定重力场中气体分子数密度随高度增加而衰减得快慢程度的物理量；度的物理量；度的物理量；度的物理量；是决定等温大气压强随高度增加而衰减得快慢程度的物理量。是决定等温大气压强随高度增加而衰减得快慢程度的物理量。是决定等温大气压强随高度增加而衰减得快慢
6、程度的物理量。是决定等温大气压强随高度增加而衰减得快慢程度的物理量。第6页，本讲稿共21页 等温大气标高等温大气标高是粒子按高度分布的特征量，是粒子按高度分布的特征量，反映了气体分子热运动与分反映了气体分子热运动与分子受重力作用这一矛盾关系。子受重力作用这一矛盾关系。分子热运动的能量级，分子热运动的能量级，重力，重力，使气体分子均匀地分布在其所能达到的空间使气体分子均匀地分布在其所能达到的空间 力图使气体分子聚集于地面力图使气体分子聚集于地面 在一定温度下，当重力和分子热运动的作用达到平衡时，气体分子在空在一定温度下，当重力和分子热运动的作用达到平衡时，气体分子在空间按其势能大小间按其势能大小
7、(mgz)作稳定的不均匀分布。作稳定的不均匀分布。设把整个大气分子都压缩为环绕地球表面的、密度与海平面处大气设把整个大气分子都压缩为环绕地球表面的、密度与海平面处大气密度相等的一层假想的均匀大气层，则这一层大气的厚度也是密度相等的一层假想的均匀大气层，则这一层大气的厚度也是H 。第7页，本讲稿共21页三、悬浮微粒按高度的分布三、悬浮微粒按高度的分布1.分布：分布：设：设：n1、n2分别为高度分别为高度z1、z2处的分子数密度，处的分子数密度，相对密度公式不仅适用于气体分子，而且适用于重力场中一切相对密度公式不仅适用于气体分子，而且适用于重力场中一切微粒的分布。微粒的分布。则重力场中两个不同高度
8、位置处的分子数密度之比为：则重力场中两个不同高度位置处的分子数密度之比为：2.佩兰实验佩兰实验：1908年，法国物理化学家佩兰年，法国物理化学家佩兰(Jean Baptiste Perrin)以一系列出以一系列出色的实验，研究了布朗粒子的运动和分布规律。色的实验，研究了布朗粒子的运动和分布规律。佩兰实验佩兰实验证实了爱因斯坦于证实了爱因斯坦于1905年作出的粒子的均方位移随时间成年作出的粒子的均方位移随时间成正比的理论公式；正比的理论公式；第8页，本讲稿共21页2.佩兰实验佩兰实验：1908年，法国物理化学家佩兰年，法国物理化学家佩兰(Jean Baptiste Perrin)以一系列出以一系
9、列出色的实验，研究了布朗粒子的运动和分布规律。色的实验，研究了布朗粒子的运动和分布规律。证实了爱因斯坦与证实了爱因斯坦与1905年作出的离子的均方位移随时间成正比年作出的离子的均方位移随时间成正比的理论公式；的理论公式；求得求得NA的数值在的数值在5.510237.21023之间，其差值不超出实验误差之间，其差值不超出实验误差可解释的范围；可解释的范围；证实了微粒的相对密度公式证实了微粒的相对密度公式 爱因斯坦用分子运动论从理论上研究了布朗运动爱因斯坦用分子运动论从理论上研究了布朗运动的规律，佩兰则以精细的实验证实了爱因斯坦的理论的规律，佩兰则以精细的实验证实了爱因斯坦的理论结果，两者相当吻合
10、，从而排除了任何对分子运动论结果，两者相当吻合，从而排除了任何对分子运动论的正确性的怀疑。为此，佩兰获的正确性的怀疑。为此，佩兰获1926年诺贝尔物理学年诺贝尔物理学奖。奖。第9页，本讲稿共21页3.悬浮微粒按高度的分布悬浮微粒按高度的分布 由于溶液的浮力作用，悬浮在溶液中的布朗粒子的质量应以由于溶液的浮力作用，悬浮在溶液中的布朗粒子的质量应以其有效质量其有效质量m*表示。表示。设溶液的平均密度为设溶液的平均密度为 0，各布朗悬浮粒子的质量为，各布朗悬浮粒子的质量为m,体积为体积为V，则布朗微粒受力为：则布朗微粒受力为：重力重力mg，浮力浮力 0Vg 若布朗微粒密度为若布朗微粒密度为，则有：，
11、则有：则其所受的向下的合力大小为：则其所受的向下的合力大小为：故：故：为考虑浮力后的等效质量。为考虑浮力后的等效质量。则悬浮微粒按高度的分布为：则悬浮微粒按高度的分布为：第10页，本讲稿共21页2.6.2 旋转体中悬浮粒子径向分布旋转体中悬浮粒子径向分布 超速离心技术超速离心技术一、旋转体中悬浮粒子径向分布一、旋转体中悬浮粒子径向分布力学：力学：在以角速度在以角速度 旋转的转动参考系中，旋转的转动参考系中，质量为质量为m的质点在其转动平面内将受到一个的质点在其转动平面内将受到一个垂直转轴的惯性离心力垂直转轴的惯性离心力方向沿垂直转轴方向向外方向沿垂直转轴方向向外 现考察图示装置中现考察图示装置
12、中rr+dr位置的气体：位置的气体：drr设气体密度为设气体密度为(r)，A为容器截面积，则：为容器截面积，则：该段气体的质量为：该段气体的质量为：设设 r 及及 r+dr 位置的压强分别为位置的压强分别为 则所考察气体在垂直转轴方向的受力为：则所考察气体在垂直转轴方向的受力为：若把坐标系取在以若把坐标系取在以 旋转的转动参考系中，还应有惯性离心力旋转的转动参考系中，还应有惯性离心力:第11页，本讲稿共21页drr若把坐标系取在以若把坐标系取在以 旋转的转动参考系中，旋转的转动参考系中，则所考察气体在垂直转轴方向的则所考察气体在垂直转轴方向的受力为：受力为：根据平衡条件：根据平衡条件：同理可有
13、：同理可有：第12页，本讲稿共21页drr同理可有：同理可有：可见：可见：系统达平衡后，管内压强与管外压强不相等，系统达平衡后，管内压强与管外压强不相等，因而离心管中的液面不再与外部平齐。因而离心管中的液面不再与外部平齐。h二、超速离心技术与同位素分离二、超速离心技术与同位素分离 三、台风、飓风、龙卷风三、台风、飓风、龙卷风 第13页，本讲稿共21页2.6.3 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布一、玻尔兹曼分布：一、玻尔兹曼分布：1.玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布：回转体中气体粒子数密度沿径向的分布：回转体中气体粒子数密度沿径向的分布：则与惯性离心力相应的离心力势能：则与惯性离心力相应的离心力势能：设：设：
14、r=0 时时 Ep(0)=0重力场中等温大气数密度分布：重力场中等温大气数密度分布：回转体中气体粒子数密度沿径向的分布：回转体中气体粒子数密度沿径向的分布：第14页，本讲稿共21页回转体中气体粒子数密度沿径向的分布：回转体中气体粒子数密度沿径向的分布：重力场中等温大气数密度分布：重力场中等温大气数密度分布：液体中悬浮微粒按高度的分布：液体中悬浮微粒按高度的分布：麦克斯韦速度分布：麦克斯韦速度分布：比较比较 定义：定义：玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子：第15页，本讲稿共21页玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子：定义：定义：由于微观粒子的能量只能取分立的数值，形成分
15、立能级，故：由于微观粒子的能量只能取分立的数值，形成分立能级，故：也可记为：也可记为：玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 分别表示温度为分别表示温度为T的系统中处于粒子能量为的系统中处于粒子能量为 1的的某一某一某一某一状态与粒子能量为状态与粒子能量为 2的的另一个另一个另一个另一个状态上的粒子数密度状态上的粒子数密度 第16页，本讲稿共21页玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 （A）2.说明：说明：(A)式表示了在温度式表示了在温度T 时的平衡态时，粒子处于能量差为时的平衡态时，粒子处于能量差为 =1 2 的的1、2两种不同状态上的粒子数密度之比。两种不同状态上的
16、粒子数密度之比。n1、n2 指对应指对应 1、2 能量的某一个状态的粒子数密度，而不能量的某一个状态的粒子数密度，而不 是能量为是能量为 1、2 的所有各状态的粒子数密度之和。的所有各状态的粒子数密度之和。某一个能量状态确定某一个能量状态确定 Ni 确定确定 对应概率对应概率Pi 确定确定 粒子处于能量相同的各状态上的概率是相同的粒子处于能量相同的各状态上的概率是相同的粒子处于能量相同的各状态上的概率是相同的粒子处于能量相同的各状态上的概率是相同的。通常状况下，通常状况下，处于低能级的粒子数较多处于低能级的粒子数较多。即：即：粒子处于高能量状态的概率小粒子处于高能量状态的概率小粒子处于高能量状
17、态的概率小粒子处于高能量状态的概率小第17页，本讲稿共21页 只要粒子间相互作用很小而只要粒子间相互作用很小而可以忽略，一般都可应用玻尔兹曼分布。可以忽略，一般都可应用玻尔兹曼分布。玻尔兹曼分布是一种普遍规律。玻尔兹曼分布是一种普遍规律。微观粒子热运动微观粒子热运动(平均平均)能量与热能量与热力学温度的关系力学温度的关系可见：可见：处于平衡态的系统，在（无相互作用）粒子的两个不同能处于平衡态的系统，在（无相互作用）粒子的两个不同能量的状态上的粒子数的比值与粒子的能量之差之间有确定的关量的状态上的粒子数的比值与粒子的能量之差之间有确定的关系。系。第18页，本讲稿共21页 对于粒子只能取两个能级的
18、系统，设在这两能级上的粒子数密对于粒子只能取两个能级的系统，设在这两能级上的粒子数密度分别为度分别为 n1及及n2。若若 在在 1 2 情况下，情况下，n1n2，则，则T 0。正常态。正常态。若若 在在 1 2 情况下，情况下，n1n2（这称为粒子数反转），这时（这称为粒子数反转），这时T0，我们就称该粒子系统处于，我们就称该粒子系统处于负温度状态负温度状态。产生激光的系统，就处于粒子数反转（产生激光的系统，就处于粒子数反转（population inversion）的负温度）的负温度状态。状态。负温度仅存在于由两个能级所单独组成的子系中；且仅出现在短暂的负温度仅存在于由两个能级所单独组成的子
19、系中；且仅出现在短暂的时间中。时间中。第19页，本讲稿共21页二、麦克斯韦二、麦克斯韦玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布：麦克斯韦分布：麦克斯韦分布：描绘了粒子在速度空间中的分布，描绘了粒子在速度空间中的分布，玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布：描绘了任意保守力场中粒子在位形空间的分布，描绘了任意保守力场中粒子在位形空间的分布，其指数因子上的其指数因子上的 为粒子的平动动能。为粒子的平动动能。其指数因子上的其指数因子上的 p 为粒子的势能。为粒子的势能。力学里把速度和位置合起来称为力学里把速度和位置合起来称为“运动状态运动状态”或或“相相”，统计物理里把速度空间和位形空间合起来称为统计物理里把速度空间和位形空
20、间合起来称为“相空间相空间”。由于粒子的速度和位置是相互独立的，故粒子在相空间的分布即为速度由于粒子的速度和位置是相互独立的，故粒子在相空间的分布即为速度分布与位置分布的乘积，因而有：分布与位置分布的乘积，因而有：第20页，本讲稿共21页麦克斯韦分布：麦克斯韦分布：玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布：麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布：粒子总能量粒子总能量 表示了当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标位于区间表示了当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标位于区间 xx+dx，y y+dy，z z+dz 内，同时速度分量介于区间内，同时速度分量介于区间vxvx+dvx,vyvy+dvy,vzvz+dvz内的概率密度函数内的概率密度函数零势能处的粒子数密度零势能处的粒子数密度 k：粒子动能项：粒子动能项，包括粒子的平动动能，粒子内部的包括粒子的平动动能，粒子内部的 转动动能和振动动能。转动动能和振动动能。p：粒子：粒子势能项势能项，包括外力场势能，分子内原子之间包括外力场势能，分子内原子之间 的相互作用势能的相互作用势能第21页，本讲稿共21页