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1、n上一章所研研究的多属属性决策问问题是由单单个决策者者从有限个个方案中，选选择一个决决策者认为为满意的方方案。其决决策行为主主要表现在在单一效用用函数或单单一优先关关系的构造造和分析，这这一类决策策是所谓的的独断型决决策。但在在现代社会会生活中，实实际决策的的形成往往往不是一个个人说了算算的。由于于各种经济济决策问题题变得越来来越复杂，在在许多情况况下都有必必要集中一一群人的智智慧来共同同解决决策策问题。即即使是人们们每天碰到到的日常决决策，虽然然本质上不不属于群决决策的范畴畴，但也会会征求亲友友或同事们们的意见，然然后才作出出决定。因因此，根据据群体各个个成员的意意见和偏好好来制订统统一的决
2、策策是人类决决策的普遍遍形式。现代群决策策(GDMM)理论的的研究范畴畴已经从早早期的社会会选举理论论发展到近近代的多属属性群决策策理论，又又从多属性性群决策理理论进一步步推广到现现代的专家家系统理论论和对策理理论，并与与模糊集理理论结合在在一起，形形成了一个个十分活跃跃而广泛的的研究领域域。多属性决策策问题从单单个决策者者的独断情情形转变到到多个决策策者集议的的情形，给给决策分析析带来许多多复杂的因因素，并提提出一系列列的新问题题。由于不不同的决策策者对同一一问题的理理解和愿望望彼此不同同，甚至是是相互抵触触和矛盾的的，如何根根据每个成成员的偏好好形成整个个群体的偏偏好，即从从单一优先先关系
3、或单单一效用函函数形成群群体优先关关系或群体体效用函数数，进而排排列方案的的优劣次序序，便成为为解决多属属性群决策策问题的关关键。12.1 选举函数数和福利函函数12.1.1 社会会选举理论论选举是民主主社会中表表达民众意意愿的基本本形式，也也是最典型型的群决策策方法之一一。当选民民在投票的的时候，心心中对候选选人的各方方面条件，如如资格、能能力、诚信信度等，都都已经作了了综合性的的衡量与比比较，才形形成自己的的选择意愿愿。所以，选选举过程实实质上是一一个多属性性的群决策策过程，只只是这里的的决策属性性没有以外外在的形式式表现出来来而已。社会选举方方法的形成成和发展可可以划分为为三个主要要的历
4、史时时期。第一一个历史时时期发生在在十八世纪纪八十年代代的法国，其其代表人物物为 Boorda和和Conddorceet。第二二个历史时时期发生在在十九世纪纪六十年代代和九十年年代之间的的英国，其其代表人物物为Doddgsonn和Nannson。第第三个历史史时期发生生在二十世世纪五十年年代至八十十年代的美美国，其代代表人物为为Arroow，Giibbarrd和 SSatteerthwwaitee。选举需要解解决的根本本问题是如如何在充分分考虑个人人意愿的基基础上形成成合理的全全社会的选选举结果。对对于只有两两个候选人人的选举情情况，简单单多数的选选举原则被被普遍认为为是公正可可行的。但如果果
5、有多名候候选人存在在时，简单单多数的选选举原则却却有可能导导致矛盾荒荒谬的结果果。譬如，设设有三个选选民甲、乙乙、丙和三三个候选人人，如果甲甲认为 优优于，又优于；乙乙认为优于于，又优于；而而丙认为优优于，又优于。那那么两两比比较的结果果是：优于于有两票赞赞成一票反反对，优于于也有两票票赞成一票票反对，但但是优于只有一一票赞成两两票反对。因因此，按简简单多数原原则得到的的结果是不不传递的，即优于，优于，但却不优于。这就是十八世纪末由Condorcet揭示的选举问题中的多数悖论，称为Condorcet现象，或Condorcet效应。为了克服CCondoorcett 现象在在选举理论论上造成的的极
6、大困扰扰，许多不不同的群决决策程序相相继提出，形形成了社会会选举函数数和社会福福利函数两两大类别。前前者主要用用于政治选选举问题，后后者主要用用于经济决决策问题。当当方案集为为有限集时时，社会选选举函数和和社会福利利函数是完完全等价的的，只有当当方案集为为无限集时时，社会福福利函数才才有别于社社会选举函函数。社会选举函函数基于CCondoorcett倡议的简简单多数原原理，并由由Bordda (11784)，Coppelannd (11951)，Nannson (18883)，DDodgsson (18766)，Keemenyy (19959)，CCook和和Seifford (19778)，
7、FFishbburn (19777)，BBernaardo (19881), Milller (19833)，Shhepslle和Weeingaast (19844)，Baanks (19885)，MMckellvey (19886)，FFeld 及其合作作者(19987)，HHartlley和KKilgoour (19877)，Duutta (19888)，ZZavisst 和TTidemman (19899) 等人人围绕着CCondoorcett现象从不不同角度对对社会选举举函数进行行了改进和和推广。BBlackk (19958) 和 Fiishbuurn (19777) 以及及Gehrr
8、leinn (19983) 对早期的的这些方法法进行了总总结，并从从理论上作作了详细的的比较性研研究。社会福利函函数的概念念由Berrgsonn (19938) 提出，经经过Sammuelsson (19477)，Gooodmaan- MMarkoowitss (19952) 的改进和和发展，并并由Arrrow (19633) 加以以创新和推推广。此后后，Kirrkwoood (11972)，Bowwman-Colaantonni (11973)，Gibbbardd (19973)，BBlin-Whinnstonn (19974)，SSatteerthwwaitee (19975)，FFarr
9、iis-Saage (19755)，Paarks (19776)，PPollaak (11979)，Dyeer-Saarin (19779)，MMackaay (11980)，Bowwers (19881)，GGrethher-PPlottt (19982)，FFishbburn (19883, 11987)，Nurrmi (19877)，Meerrilll (11988)，Eneelow-Hiniich (19899) 等人人在Arrrow 的的不可能性性定理的基基础上，提提出了各种种各样的改改进方法。LLuce-Raifffa (19577)，Roothebberg (19661)，KKe
10、llyy (19978) 和Fisshburrn (11973, 19884, 11990) 对各种种社会福利利函数都有有过精辟的的论述。下面我们将将扼要介绍绍社会选举举函数和社社会福利函函数的基本本理论和方方法。12.1.2 社会会选举函数数在社会选举举问题中，候候选人集合合是一个非非空有限集集合，记为为A。设有n位选民参参加投票，每每个人将按按照自己的的意愿对候候选人进行行排队。对对于任何两两个候选人人x, yA，采用符符号# (i：xiy)表示x优于y的票数，则则有# (i：xiy) + # (i：yix) = n, xy。那么简简单多数原原则可以被被定义为：x yy 当且仅当当 # (
11、i：xiy) # (ii：yix)如果 # (i：xiy) = # (i：yix)，则认为为x与y无差异。Condoorcett认为，在在简单多数数原则下，如如果存在某某一个候选选人能够击击败所有的的对手，则则该候选人人必然是最最能代表大大多数选民民意愿的选选举结果。换换言之，CCondoorcett原则被定定义为：x = xx* 当且仅仅当xA, x y, yAx但是，当选选举结果出出现循环现现象时，不不存在以简简单多数胜胜出的候选选人。为此此，许多学学者对上述述简单多数数原则进行行了推广，并并由此产生生了多种多多样的社会会选举函数数。现选择择其中有代代表性的几几种社会选选举函数分分别介绍如
12、如下。(1) CCondoorcett函数当简单多数数胜出的候候选人不存存在时，CCondoorcett提议采用用下面的方方法。设则候选人的的优先顺序序将按照函函数fC (x)的值来排排列。这里里，fC (x)的值表示示x与其它候候选人比较较时所处的的最不利情情形。因此此，fC (x)是一个极极大极小型的的保守函数数。(2) BBordaa函数在包含m个个候选人的的选举问题题中，Boorda提提议对每一一个候选人人依据其排排序名次分分别记分，称称为Borrda分。记记分原则是是排在第一一位得m1分，第二二位得m2分，这这样依次递递减，直到到最后一位位得0分。候候选人的最最终排名取取决于Boor
13、da总总分的高低低，其数学学表示式为为(3) CCookSeifford函函数Cook和和Seifford引引进了距离离函数d以度量排排序的不一一致性，并并将总距离离最小的排排序方式定定义为一致致性排序。设设rij表示选选民i对候选人人j的排序结结果，令rrj*表示候选选人j的一致性性排序结果果，那么选选民i排序的不不一致性可可以表示为为故排序的总总偏差为因为rj*只能等于于序数1, 2, , mm中的某一一个，设rrj* = k，则可定定义从而假定每个候候选人都有有m个不同的k值，则一一共要计算算mm个距距离系数djk ,j, kk = 11,2,m。显然，寻找找使总距离离最小的一一致性排序
14、序问题等价价于求解一一个mmm的分配问问题。限于本教材材的撰写目目的和篇幅幅，其它社社会选举函函数不再一一一列举，有有兴趣的读读者可参阅阅书后所列列的参考文文献。例12.11 假设某班班级60位位学生拟从从3名任课课教师中评评选1名优优秀教师，投投票结果为为：23票：aa b c17票：bb c a 2票：bb a c10票：cc a b 8票：cc b a(1) CCondoorcett函数：两两两比较结结果为# (i：a ib) = 33，# (i：bia) = 27，# (i：aic) = 25，# (i：c ia) = 35，# (i：bic) = 42，# (i：cib) = 18。
15、显然，这里里不存在能能以简单多多数胜出的的候选人。采采用Conndorccet函数数的计算结结果可表示示为如下矩矩阵形式：abcfC a332525b274227c351818结论：b a c。(2) BBordaa函数：abcfB a332558b274269c351853结论：b a c。(3) CCookSeifford函函数：已知知i = 11,2,60，j = a, b, c，k = 11, 2, 3类似地，可可算出：以上距离系系数被总结结在下面的的矩阵表中中： kj123a624858b512969c674353这是一个使使总偏差达达到最小的的分配问题题，其求解解过程为：62485
16、814010000512969220408030674353240101000结论：a b c。12.1.3 社会会福利函数数福利经济学学是西方的的一种经济济学派，主主要研究社社会资源和和商品的分分配理论与与方法，旨旨在发现某某种合理的的社会结构构，以使由由资源和商商品产生的的社会福利利达到最大大。福利经经济学家从从社会福利利的观点去去评价各种种可能的社社会结构，并并用一个反反映社会状状况的实值值函数 福利函数数去度量和和判断每种种社会结构构的优劣。早期的社会会选举函数数和社会福福利函数对对候选人或或事所处状状态的描述述采用的都都是序数型型变量，即即排序比较较方法。针针对这种情情形，Arrro
17、w提提出了满足足一致性要要求的两条条公理和五五项条件，并并在此基础础上证明了了著名的AArroww不可能性性定理，即即在一般情情形下不可可能找到一一种程序或或方法将所所有社会成成员的个人人偏好集成成为整个社社会的群体体偏好而不不违背一致致性原则。为为此，其它它学者作出出了种种假假设，旨在在将序数型型的社会福福利函数改改写成基数数型的效用用函数，从从而发展为为现代的多多属性群决决策理论与与方法。在介绍Arrrow的的不可能性性定理之前前，我们先先引进二元元关系和社社会福利函函数的定义义与性质：定义12. 1 集集合A上的一个个二元关系系R是域AA上的一个子子集，定义义为 A上全部有有序对(x,
18、y)的集合，记记作xRy，并用符符号, 和分别表示示x, y之间的强强序关系，弱弱序关系和和无差异关关系，记作作xy，xy和xy。定义12. 2 设设R是集合A上的一个个二元函数数。则：(1) RR是自反的的当且仅当当：xRx, xA。(2) RR是连通的的当且仅当当：。式中中是逻辑或的符符号，即对对于集合AA中的任何何x, y不是xRy，就是yRx。(3) RR是不循环环的当且仅仅当：不存存在 ，使使得式中是逻逻辑与的符号。(4) RR是可传递的的当且仅当当：，即如如果，而且且yRz，则xRz。(5) RR是一个弱弱序关系当当且仅当：R是连通的的和可传递递的。定义12. 3 设有一一组方案和
19、和决策群体体D = (D1, D2, , Dm)。社会福福利函数ff是将决策策者个人在在方案集AA上的独立立序关系合合成为决策策群体D在A上的总序序关系R的法则，亦亦即f是从积空空间R m到空间R的一个映映射，记为为, 或 定义12. 4 对对于A中的任意意方案x, y，当决策策者Di认为xiy, xi y和xi y时，分别别记 R i = 1, 00 和1。则由社社会福利函函数f确定的群群决策法则则具有以下下性质：(1) 可可决策性：；(2) 公公正性：；(3) 平平等性：如如果是1,m上的任任一排列，则则 (4) 正正相关性：；(5) 均均分性：对对于任意正正整数 mm，；(6) 弱弱Pa
20、reeto最优优性：；(7) 强强Paretto最优性性：如果中中的某些值值等于1，而而其它值等等于0，则则 如果中的全全部值等于于0，则。对定义100.4中的的有关性质质可作如下下解释，(1) 可可决策性：指由社会会福利函数数产生的群群决策法则则对于选民民的每一种种选择意向向都应该能能得到一个个有意义的的、唯一的的决策结果果。(2) 公正性性：如果所所有的人都都改变原来来的选择意意向，则原原决策的结结果将会被被推翻，其其作用是防防止任何候候选人或候候选方案被被外部势力力内定为决决策的必然然结果。(3)平等等性：避免免某一个决决策成员享享有高于其其它决策成成员的权力力，体现了了一人一票票的选举
21、原原则。(44) 正相相关性：如如果一个或或几个决策策成员的选选择意向朝朝着对方案案x有利的方方面转化，而而对其它方方案的选择择意向保持持不变，则则方案x所处的选选举地位只只会变好，不不会变差。(5) 均均分性：当当某一个决决策者认为为方案x和方案y无差异时时，可设想想该决策者者被一分为为二，其中中的半个人人投票赞成成x，另外半半个人投票票赞成y。如果有有多个方案案被认为无无差异时，也也可用类似似的方式进进行处理。(6) PParetto最优性性(也称为为全体一致致性)：当当所有的人人都选择xx时，则x胜，当所所有的人都都选择y时，则y胜。容易想见，满满足上述定定义的社会会福利函数数很多，有有
22、些是可以以接受的，有有些是不能能接受的。AArroww 在群决决策理论上上的重大贡贡献之一是是为社会福福利函数规规定了一组组看起来非非常可信的的公理和条条件，从而而导出了群群决策理论论上著名的不可可能性定理理。它们们是：公理1 连通性：设有方案案集和决策策群，决策策者对于AA中任意方方案的偏好好，不是，就就是，或者。公理2 传递性：对于方案案集中的任任意方案，如如果决策者者认为，则必有有。条件1 (完备性) 方案集集A中至少有有三个方案案，决策群群D中至少有有二个决策策人，由社社会福利函函数产生的的群决策法法则必须考考虑每一个个决策者的的选择意愿愿。条件2 (正相关性性) 如果果社会福利利函数
23、f给出x优于y的结果，则则当决策者者对x以外的方方案进行两两两比较的的结果不变变，且对xx与其它方方案之间的的比较结果果对x而言没有有任何不利利时，社会会福利函数数的结果将将维持不变变。条件3 (无关方案案独立性) 设A为方案集集A中的一个个子集，如如果每一个个决策者都都保持对A中方案两两两比较的的结果不变变，而只改改变A以外方方案的比较较结果，则则对A中的方方案来说，两两种情况下下的决策次次序是一样样的。条件4 (Pareeto 最优性) 对于于A中的任意意方案，必必须有某些些决策者认认为优于时，才才有可能导导致群体的的选择结果果是优于。条件5 (非独裁性性) 对于于A中的任意意方案，没没有
24、任何一一个决策者者可以为群群体指定一一个优劣次次序，或者者，而不管管其它决策策者的意见见如何。定理12. 1 没有任任何一个社社会福利函函数能同时时满足上面面的两条公公理和五个个条件。在Arroow之后，许许多其它形形式的不可可能性定理理相继提出出。其中最最有代表性性的几种形形式是：MMass-Coleell和SSonneenschhein (19772), Gibbbard (19773)和SSatteerthwwaitee (19975), Parrks (19766) 和PPollaak (11979) 以及GGrethher和PPlottt (19982)。每每一条不可可能性定理理的后
25、面都都伴随着相相应的可能能性定理和和一系列相相互可比的的条件，这这些条件都都是通过松松弛或弱化化Arroow 定理理中的一个个或多个条条件以达成成一致而得得到的。感感兴趣的读读者可以查查阅后面的的参考文献献或Kellly(11978) 和Fiishbuurn (19877) 对此此所作的精精辟论述。社会福利函函数之所以以不能同时时满足Arrrow定定义的两条条公理和五五个条件，有有原理和方方法两方面面的原因。从条件本身身来说，GGoodmman和MMarkoowitzz(19552) 曾曾用下面的的例子说明明了Arrrow条件件的局限性性。设主人人拟用茶或或咖啡中的的一种同时时招待两位位客人，
26、如如果主人只只知道客人人甲对咖啡啡的喜好胜胜于茶，而而客人乙对对茶的喜好好胜于咖啡啡，则主人人会认为以以茶或咖啡啡待客是没没有区别的的。但如果果主人还进进一步知道道甲的喜好好是咖啡胜胜于茶，茶茶胜于可可可，可可胜胜于牛奶；但乙的喜喜好是不仅仅茶胜于咖咖啡，而且且可可、牛牛奶甚至白白水都胜于于咖啡。在在这种情况况下，主人人要招待这这两位客人人显然是以以茶为好。这这说明表面面上看起来来似乎无关关的方案(在此为可可可、牛奶奶和白水)对于群决决策的集成成法则并不不是完全无无关的，因因而Arrrow 定定义的条件件3 对社社会福利函函数而言并并非绝对适适当。同时时，Fisshburrn (11970)
27、已经证证明，当问问题的决策策集是无限限集合时，AArroww 定义的的五个条件件将可以被被满足。这这里，决策策集有限和和无限的差差别在于，原原不可能性性定理中独独裁者的角角色可以从从幕前转到到幕后。从方法上来来看，序数数型的社会会福利函数数仅仅给出出了个人和和群体对不不同方案的的偏好顺序序，但忽略略了他们对对不同方案案的偏爱程程度，因而而缺乏对事事物的分辨辨力。以GGoodmman和MMarkoowitzz的例子来来说，如果果客人甲和和乙各自对对咖啡和茶茶的喜爱程程度可以被被量化，即即用某种统统一的尺度度去衡量的的话，譬如如甲对咖啡啡的喜爱是是8个单位位，对茶的的喜爱是66个单位，而而乙对茶的
28、的喜爱是110个单位位，对咖啡啡的喜爱是是2个单位位，则主人人不难决定定待客的饮饮料以茶为为宜。这样样得到的社社会福利函函数被称为为基数型的的社会福利利函数。只只要经过简简单的变换换，基数型型的社会福福利函数很很容易转化化成所谓的的的效用函函数。容易易证明，在在个人效用用函数基础础上建立的的群效用函函数可以满满足Arrrow 提提出的全部部条件和公公理。12. 22 群效用用函数基于群效用用函数作出出的决策并并不是一种种简单的多多数规则，它它包含了更更多个人效效用的信息息和人与人人之间的效效用的比较较。群效用用函数的一一般形式为为：式中代表第第i个决策者者对方案xx的个人效效用函数值值。如果群
29、群效用函数数为已知，则则群决策问问题就可以以写成下面面的数学规规划问题：为了便于构构造群效用用函数，KKeeneey和Raaiffaa(19776)为群群效用函数数的存在提提出了某些些必要的条条件，并在在此基础上上定义了群群效用函数数的加法模模型和乘法法模型。现现将这两种种模型分别别介绍如下下：(1) 加加法模型条件1 个人效用用函数和群群效用函数数均应满足足关于效用用的Neuumannn-Morrgenssternn 公理系系统，即方方案集A上的二元元关系是完完备的、传传递的、独独立的、和和连续的。条件2 如果群中中每个决策策成员都认认为某两个个方案是无无差异的，则则决策群也也认为这两两个方
30、案是是无差异的的。条件3 个人效用用函数的效效用值是独独立可加的的。定理12. 2 满足上述述条件的群群效用函数数可以表示示为：式中是群中中第i个成员的的个人效用用函数，而而是的权值。(2) 乘乘法模型条件1 个人效用用函数和群群效用函数数均应满足足关于效用用的Neuumannn-Morrgenssternn 公理系系统，即方方案集A上的二元元关系是完完备的、传传递的、独独立的、和和连续的。条件2 如果群中中所有的决决策成员除除第i个成员外外都认为所所有方案无无差异，则则群效用函函数是第ii个个人效效用函数的的正线性变变换。换言言之，此时时的群偏好好等价于第第i个成员的的偏好。条件3 如果群中
31、中所有的决决策成员除除第i个和第j个成员外外都认为所所有方案无无差异，则则决策群体体对这些方方案的偏好好仅取决于于第i和第j个成员的偏好。定理12. 3 满足上述述条件的群群效用函数数可以表示示为：式中为标度度常数，, i = 1,22,mm。Keeneey(19974)已已经证明：当时，群群效用函数数应采用加加法模型；当时，群群效用函数数应采用乘乘法模型。群效用函数数的存在性性表明，可可以由群中中每个成员员的偏好形形成整个群群体的偏好好，并根据据群体的偏偏好排列方方案的顺序序。这为解解决群决策策问题提供供了重要的的理论基础础。但在实实际决策中中，直接构构造群效用用函数有诸诸多不便，故故很少应
32、用用。我们在在下一节将将介绍如何何将已经学学习过的多多属性决策策方法移植植过来，用用以解决群群决策问题题。12.3 多属性群群决策方法法在前面讨论论的群决策策模式中，事事物的属性性并没有以以外在的形形式表现出出来。群效效用函数的的集成对象象是所有个个人效用函函数的效用用值，但个个人效用的的获取过程程并没有涉涉及。这里里，我们将将在本书第第九章的基基础上，介介绍有多个个决策者存存在时多属属性决策问问题的解决决方法。设有方案集集A = A1, A2, Am和决策群群体D = D1, D2, ., DDn。每一一位决策者者将依据自自己选定的的一组属性性C = C1, C2,Cl对每一个个方案独立立地
33、进行评评价，并用用权向量ww = w1, w2, wl表示各属属性的重要要程度，符符合归一化化条件w1 +w2 +wn = 11。不同决决策者考察察的属性及及采用的权权值可以相相同，也可可以不同。其其决策模式式写为： C1 C2 - CCl 与多属性决决策一样，决决策者采用用的评价方方式有序数数型和基数数型两种：前者只给给出每一属属性上各方方案的排列列顺序；后后者则度量量各方案每每一属上的的实际水平平，并以数数值形式表表明其结果果。不同之之处在于多多属性决策策的决策矩矩阵是唯一一的，它反反映了决策策者对多个个属性的偏偏好结构；而群决策策的决策矩矩阵有许多多个，分别别代表了不不同决策者者的决策意
34、意愿，其偏偏好结构互互不相同，但但都应受到到尊重，不不能厚此薄薄彼，或有有所偏废。为了使问题题简化，假假定个人效效用函数的的效用值是是独立可加加的。那么么，求解群群决策问题题的关键在在于：(11) 如何何表示每一一位决策者者的个人优优先关系；(2) 如如何将个人人优先关系系合成为群群优先关系系；(3) 是先合合成、后评评价，还是是先评价、后后合成？这这里，前者者是先将不不同决策者者就方案属属性作出的的评价综合合到一起，然然后选用已已知的多属属性决策方方法统一求求解，其实实质是将一一个群决策策问题整体体转化为一一个独裁决决策问题，它它要求所有有的决策者者采用相同同的属性和和属性权值值以方便合合成
35、；后者者是由每一一位决策者者先按照自自己的意愿愿分别对相相应的多属属性决策问问题进行求求解，其结结果归结为为社会选举举问题，然然后采用本本章讨论的的社会选举举函数作出出最终的选选择，其实实质是将一一个群决策策问题分解解成若干个个独裁决策策问题，该该方法对不不同决策者者考察的属属性和采用用的属性权权值不强求求一致。综上所述，求求解一个效效用值独立立可加的群群决策问题题，关键在在于怎样合合成和什么么时候合成成。因为涉涉及两种数数据结构(序数型和和基数型)和两种合合成顺序(先合成和和后合成)，两两组组合共有四四种不同的的决策程序序，现通过过实例分别别介绍如下下。例12. 2 NASAA为宇宙飞飞船的
36、科学学实验拟定定了六个可可能的实验验方案，它它们分别是是：通讯与与航行实验验(A1)，地面面观测实验验(A2)，物理理化学实验验(A3)，微生生物实验(A4)，系统统检测实验验(A5)和环境效效应实验(A6)。对每每一实验都都要从需要要性(C1)、研究究性(C2)和发展展性(C3)三个方方面进行评评价。NAASA组织织了六位专专家(D1, D2, D3, D4, D5, D6)对方案实实施考察，后后因实验时时间和条件件的限制，通通讯航行实实验的方案案被先行淘淘汰而退出出了选择程程序。其评评定结果为为：D1C1C2C3D2C1C2C3D3C1C2C3A2533A2344A2344A3212A32
37、21A3112A4344A4535A4535A5455A5452A5451A6121A6113A6223D4C1C2C3D5C1C2C3D6C1C2C3A2413A2444A2155A3231A3122A3312A4545A4555A4544A5324A5332A5433A6152A6213A6221显然，这是是一个序数数型的多属属性群决策策问题，下下面是两种种不同的决决策程序。(1) 先先综合意见见，后统一一求解对于被考察察的每一种种属性Cj，j = 1,2,l，我们有有以下序列列矩阵其中矩阵元元素1,2,n表示决决策者k对方案Ai在属性j上所排的的名次。采采用任何一一种社会选选举方法，如如
38、Bordda方法，可可确定各方方案关于属属性j 的优劣次次序。本例中，属属性C1的序列矩矩阵为：C1D1D2D3D4D5D6A2533441A3221213A4355555A5444334A6112122现采用Boorda记记分法求解解，令排名名第一至第第五位的分分值分别为为4, 33, 2, 1, 0，可得得分值矩阵阵C1D1D2D3D4D5D6C1DA2022114A210A3334342A319A4200000A42A5111221A58A6443433A621故各方案关关于属性CC1的优劣次次序为：。类似地，可可求得各方方案关于属属性C2和C3的优劣次次序分别为为：，。故各方案的的综合
39、序列列矩阵为：C1C2C3A2334A3211A454.55A544.53A6122矩阵中的分分值4.55表示方案案4和方案案5在属性性C2上并列第第四和第五五的位置。然然后计算加加权的一致致性矩阵，式式中当方案案排在第j位时，；否否则。从而而有： ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w1+w22w30A3w2+w33w1000A40000.5w22w1+0.5w2+w3A500w3w1+0.5w20.5w22A6w1w1+w22000设w = (0.22, 0.3, 00.5)，则则 ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A2000.50.50A30.80.2000A40000
40、.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000采用匈牙利利方法可解解得其最大大分配为： ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000结论：A33 A6 A5 A2 A4。(2) 先先个别求解解，后综合合决策每一位决策策者Dk 将采用用自己选定定的考察属属性(C1,C2,Clk )和属性权权值(w1,w2,wlk )对方案进进行独立评评价。本例例中考察属属性已被确确定为(C1,C2,C3)，但权向向量可以自自由设计。设设决策者DD1选用的权权向量为ww1 = (0.
41、2, 0.33, 0.5)，则则其个人的的序列矩阵阵、加权一一致性矩阵阵和排序结结果分别为为：D1C1C2C3A2533A3212A4344A5455A6121 jji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w2+w330w1A3w2w1+w33000A400w1w2+w330A5000w1w2+w33A6w1+w33w2000 ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.800.2A30.30.7000A4000.20.80A50000.20.8A60.70.3000故决策者DD1的排序结结果为：A6 A3 A2 A4 A5。类似地，我我们有D2：w22 = (0.3, 0.33, 0
42、.4) A6 A3 A2 A5 A4 或 A6 A3 A4 A2 A5。D3：ww3 = (0.22, 0.4, 00.4) A3 A6 A4 A2 A5D4：ww4 = (0.33, 0.4, 00.3) A2 A5 A3 A4 A6D5：ww5 = (1/3, 1/33, 1/3) A3 A6 A5 A2 A4D6：ww6 = (0.3, 0.22, 0.5) A6 A3 A5 A4 A2因为决策者者D2 给出了了两个不同同的排队顺顺序，故分分别综合如如下(a) 故方案的排排列顺序为为：A3 A6 A2 A5 A4。(b) 故方案的排排列顺序为为：A3 A6 A2 A4A5。例12. 3
43、某专家组组正负责优优秀论文的的审评与选选拔工作。该该专家组由由三位专家家组成，记记为D1, D2, D3，待审的的论文为五五篇，记为为A1, A2, A3, A4, A5。评选工工作分两步步进行：第第一步由每每一位专家家对论文独独立考核，考考核指标为为理论价值值、实用价价值和难易易程度三个个方面，记记为C1, C2, C3，其相对对重要性商商定为0.4, 00.4, 0.2。考考核结果以以计分的形形式(而不是以以排序的形形式)给出。计计分标准为为10分制制：非常好好计10分分，优秀计计9分，良良好计7分分，一般计计5分，较较差计3分分，很差计计1分，非非常差计00分。第二二步由专家家组集中各各位专家的的意见，以以形成最后后的决议。专专家的计分分结果如下下表所示：D1C1C2C