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1、南昌航空大学数学与信息科学学院实验报告南昌航空大大学数学与信息息科学学院院实 验 报报 告课程名称： 计 算 方 法 实验名称：三次样条条插值方法法在工程实实践中的应应用实验类型： 验证性性 综合性 设计性实验室名称称： D 504 班级学号： 0800611115 学生姓名： 杨杨朝峰 任课教师（教教师签名）： 成 绩绩： 实验日期： 22009-11-13 公路平面曲曲线的设计计一、实验目目的由实验一，我我们已经对对插值的思思想和原理理有了更深深入的理解解。从中可可以知道，分分段低次插插值虽然解解决了高次次插值的振振荡现象和和数值不稳稳定现象，使使得插值多多项式具有有一致收敛敛性，保证证了
2、插值函函数整体的的连续性，但但在函数插插值节点处处不能很好好地保证光光滑性要求求，这在某某些要求光光滑性的工工程应用中中是不能接接受的。如如飞机的机机翼一般要要求使用流流线形设计计，以减少少空气阻力力。因此，在在分段插值值的基础上上，引进了了一种新的的插值方法法，在保证证原方法的的收敛性和和稳定性的的同时，又又使得函数数具有较高高的光滑性性。通过本实验验的学习，应应掌握样条条插值的基基本思想和和原理，熟熟悉样条插插值法的程程序编制，能能用来解决决实际问题题。最好能能绘出插值值函数的曲曲线，并与与实验一中中的几种插插值法的图图象进行比比较。二、实验原原理、方法法该题是一个个实际问题题。其中关关键
3、的是，我我们所设计计的公路必必须满足汽汽车的安全全和旅客舒舒适等要求求，而安全全又是重中中之重，因因此只要解解决这个问问题，那本本题就解决决了一大部部分了。实际解题时时，可能需需要用到三三次样条插插值，这是是分段插值值的一种，但但是又比简简单的分段段线性插值值和抛物插插值要复杂杂一些。由由于已进行行过插值的的理论学习习，前面实实验也已做做过分段插插值方面的的练习，其其算法和编编程应自行行设计。三、实验题题目1问题提提出目前在我国国公路的平平面曲线设设计中，主主要以直导导线与元曲曲线的组合合以及直导导线与复曲曲线的组合合为主，在在解决曲线线的顺适性性（即光滑滑性）方面面，也只用用了缓合曲曲线来进
4、行行直线与曲曲线，曲线线与曲线间间的过渡。这这种设计模模式，在地地形和其他他条件受到到限制的条条件下，必必然会使设设计标准降降低，设计计结果不能能很好地满足足规范要求求。所以在在当前立体体交叉桥的的环道线性性设计中，以以及一些先先进发达国国家的公路路平面设计计中，正在在试图突破破以往设计计模式，寻寻找和探讨讨一种较理想想的设计方方法。而在在某些情况况下，样条条插值便是是一种有效效的方法。下下面是一个个关于公路路平面曲线线设计的实实际问题： 吉吉林省辉南南县到靖宇宇县，地处处长白山脚脚下，为山山岭重丘区区，地形复复杂，冬季季多雪。从从辉南县到到靖宇县的的二级公路路中，有一一地形限制制较严重的的曲
5、线段，经经实地测得得数据如下下（为方便便起见，设设以曲线两两端点的连连线方向为为坐标x轴轴方向，以以连线的法法方向为坐坐标y轴方方向）：x50.00 100.00 150.00 200.00 250.00y23.21 43.56 50.00 43.56 23.21且知二级公公路山岭重重丘区的曲曲线极限半半径为R=60m，试试寻找一种种方法，设设计一条平平面曲线，使使之既通过过限定很死死的地形点点，而又能能满足设计计规范规定定的曲线要要素要求，并并通过计算算加密施工工控制点，进进行实地敷敷设地面。2解题要要求试寻找一种种方法，设设计一条平平面曲线，使使之既通过过限定很死死的地形点点，而又能能满足
6、设计计规范规定定的曲线要要素要求，并并通过计算算加密施工工控制点，进进行实地敷敷设平面曲曲线。四、实验公公式及程序序框图 1. 基本公公式：hi=xii-xi-11 (i=11,2,n) fxxi-1,xi=(f(xi)-f(xi-1)/ (xi-xi-11) (i=1,2,n) ui=hii/(hi+hi+11) (i=11,2,n-1) vi= hi/ (hi+hi+11)= 1-ui (i=1,2,n-1)gi=6*(fxxi+1,xxi-fxi,xi-11) /(hhi+hi+11) (i=1,2,n-1) 22.程序框框图：输出Mi以及Si(x)解方程组得到Mi(i=0，1,2,n)
7、按公式计算ui，vi, gi (i=1,2,n-1)按公式计算g0与 gn计算hi与fxi-1,xi (i=1,2,n)输入xi,yi(i=1,2,n)2.源程序序代码：#incllude #incllude main()floatt x55=550,1000,1550,2000,2550,yy5=23.21,443.566,50.00,443.566,23.21; floaat h5,ff5,u5,r55,g5,bb5,t5,M55; int i,n=4; for(i=1;i=nn;i+) hhi=xi-xii-1; /*求出相相邻x的差差*/ ffi=(yii-yi-1)/hi; /*求出
8、fxi,xxi+1*/ for(i=1;in;i+) /*求出出ui、rii、gi*/ uui=hi/(hi+hhi+11); rri=1-ui; ggi=6*(ffi+11-fi)/(hii+hi+1); b1=r11/2; for(i=2;in-1;i+) /*求出出bi*/ bbi=ri/(2-ui*bii-1); t1=g11/2; for(i=2;i0;i-) /*求出MMi*/ Mi=tti-bi*Mii+1; for(i=0;in;i+) prrintff(M%d=%ffn,i,Mi); for(i=1;i=nn;i+) pprinttf(ss%d(xx)=%ff(%f-x)33
9、+(%ff)*(xx-%f)3+(%f)*(%f-x)+(%f)*(x-%f)nn, ii,Mii-1/(6*hhi), xxi,Mi/(6*hi),xi-1,(yi-1-Mii-1*hi*hii/6)/ hi,xii,(yyi-Mi*hii*hi/66)/hi,xxi-11);四、实验过过程中需要要记录的数数据： 在程序中中，主要记记录的数据据有hi，ui，vi，gi以及最重重要的是在在区间xxi-1, xi的三次插值值函数的二二阶导数MMi，最后输输出在各个个小区间内内的三次样样条插值函函数即可。五、 实验数据处处理及结果果分析在程序检查查无误时，在在win-TC上运运行并看结结果，结果果
10、如图：结果分析：由计算机机算出的应应该没有错错，但是在在输出Si(x)时时的形式不不怎么规范范，因此可可以把结果果写成：当x属于（550.000，1000.00）时时s(x)=-0.00000224(x-50.00000000)3+0.44642000(1000.00000000-x)+0.93322866(x-550.00000000) 当x属于于（1000.00，1150.000）时s(x)=-0.00000224(1550.00000000-x)33-0.00000114(x-100.0000000)33+0.99322886(1550.00000000-x)+1.03338577(x-
11、1100.00000000)当x属于（1150.000，2000.000）时s(x)=-0.00000114(2000.00000000-x)33-0.00000224(x-150.0000000)33+1.00338557(2000.00000000-x)+0.9322286(x-1550.00000000)当x属于（2200.000，2550.000）时s(x)=-0.00000224(2550.00000000-x)33+0.00000000(x-200.0000000)33+0.99322886(2550.00000000-x)+0.4644200(x-2000.00000000)六、
12、 实验中存在在的问题及及解决方案案在编程的过过程中，开开始没有很很好的区分分和利用三三次样条的的公式，导导致实验一一直是错误误地答案，与与事实不相相符。而且且在实验的的输出结果果中无法用用一种很好好的方式输输出正确的的形式，最最终只能用用s%d(x)=%f(%ff-x)3+(%f)*(x-%ff)3+(%f)*(%ff-x)+(%f)*(x-%ff)的形式式输出结果果。并且在在该实验程程序中有太太多的循环环，导致循循环的次数数有时会搞搞错，而且且又要合理理的利用每每次循环的的次数，才才能达到一一个正确的的结果。七、 心得体会 通过本次次编程，在在一定程度度下进一步步对样条插插值的思想想和原理有有了更深入入的理解，也了解了分段段低次插值值虽然解决决了高次插插值的振荡荡现象和数数值不稳定定现象。同时也通通过此次的的综合性实实验，让我我更加地清清楚认识到到利用样条条插值法，能能用来解决决实际公路路问题，也也说明计算算方法在实实际中利用用之广泛。既既然与实际际问题有如如此密切的的关系，在在一定程度度上激发了了我对计算算方法的进进一步学习习的兴趣。不不论怎样，利利用c语言言编程，对对我来讲确确实有一定定的难度，使使得在做同同一个实验验时，我花花费的时间间比别人更更多。 8