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1、方程(组)和不等式 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 方程（组）和不等式 一元一次方程及其应用 一、知识回顾 1在等式 3y - 6 = 7 的两边同时 ，得到 3y = 13 . 2方程 -5x + 3 = 8 的根是 .3 x 的 5 倍比 x 的 2 倍大 12 可列方程为 .4写一个以 x = -2 为解的方程 .5如果 x = -1 是方程 2x - 3m = 4 的根，则 m 的值是 6如果方程 x2m-1 + 3 = 0 是一元一次方程，则 m = 二、考点链接 1等式及其性质 （1）等式：用等号=来表示 关系的式子叫等式. （2）性质： 如果 a = b ，那么 a c =
2、 ；. 如果 a = b ，那么 ac = 2方程、一元一次方程的概念 ；如果 a = b (c 0) ，那么 a= c.（1）方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方 程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同. （2）一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 (a 0). 3解一元一次方程的步骤： 去 ；去 ；移 ；合并 ；系数化为 1. 4易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数， 并且未知数的次数是 1，系数不
3、等于 0 的方程，像 1 = 2 ， 2x + 2 = 2(x + 1) 等不是一元一次 x方程. （2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：方程两边不能乘以（或除 以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；去分母时，不要漏乘没有分母的 项；解方程时一定要注意移项要变号. 三、典例精析 例 1 解方程 （1） 3( x -1) - 7( x + 5) = 30( x +1) ； （2） 2x +1 - 10x +1 = 1. 36 第 1页 例2 当 m 取什么整数时，关于 x 的方程 1 mx - 5 = 1 (x - 4) 的解是正整数？ 232 3例 3（08
4、 福州） 今年 5 月 12 日， 四川汶川发生了里氏 8.0 级大地震， 给当地人民造成了巨大的损失 一 方有难，八方支援，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如 下表： 班级 （1）班 （2）班 （3）班 金额（元） 2000 吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元； 信息二： 2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多 300 元； （信息三： 1）班学生平均每人捐款的金额大于 48 元，小于 51 元 （ 请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题： （1）求出（2）班与（3）班
5、的捐款金额各是多少元； （2）求出（1）班的学生人数 四、中考演练 1若 5x5 的值与 2x9 的值互为相反数，则 x_ 2关于 x 的方程 2(x - 1) - a = 0 的解是 3，则 a 的值为_. 3某商店销售一批服装，每件售价 150 元，可获利 25%，求这种服装的成本价.设这种服装的成本价 为 x 元，则得到方程（ ）A. x = 150 25% B. 25% x = 150 C. 150 - x = 25% xD. 150 - x = 25% 4解方程 2x + 1 - 10x + 1 = 1时，去分母、去括号后，正确结果是（ 36）A. 4x + 1 - 10x + 1
6、= 1 B. 4x + 2 - 10x - 1 = 1 C. 4x + 2 - 10x - 1 = 6 D. 4x + 2 - 10x + 1 = 6 5解下列方程： （1） 3( x -1) - 7( x + 5) = 30( x +1) ； （2） x -1 - x + 2 = x -1 . 253 第 2页 6某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 480 台改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器 共 554 台，其中甲种机器产量要比第一季度增产 10 % ，乙种机器产量要比第一季度增产 20 %该 厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？ 二元一次方程及其应用 一、知识回顾 1在方程 3
7、x - 1 y 5 中，用含 x 的代数式表示 y 为 y ；当 x 3 时， y .42如果 x 3， y 2 是方程 6x + by = 32 的解，则 b .3请写出一个适合方程 3x - y = 1的一组解： .4如果 3a 7xb y+7和 - 7a 2-4 yb 2x 是同类项，则 x 、 y 的值是（ A x 3， y 2 B x 2， y 3 C x 2， y 3 D x 3， y 2 二、考点链接 1二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 ）的整式方程. 2二元一次方程组：由 2 个或 2 个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组. 3二元一次方程的解： 适合一个二
8、元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解， 一个二元一次方程有 个解. 4二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 第 3页 5解二元一次方程的方法步骤： 消元 二元一次方程组 方程. 转化 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 6易错知识辨析： （1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值； （2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号. 三、典例精析 例 1 解下列方程组： （1） 4a + 5b = -19 3a - 2b = 3 （2）
9、x + 2y + 2 = 0 7x - 4 y = -41 例 2 （泰安）某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间为每月 25 天，每天 8 小时； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于 60 件 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分） 10 10 350 30 20 850 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得 1.50 元，每生产一件乙产品可得 2.80 元根据以上信 息，回答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ （2）小王该月最多能得多少元
10、？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？ 例3 若方程组 x - y =1 mx - ny = 4 x + y = 3 与方程组 mx + ny = 8 的解相同，求 m 、 n 的值. 第 4页 四、中考演练 4 x - y = 2 a - 1 b = _ 1若 x = 1 是方程组 ax + 2 y = b 的解，则 a = _ y = -1 2在方程 3x+4y=16 中，当 x=3 时，y=_；若 x、y 都是正整数，这个方程的解为_ 3下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）x + y = 4 A 1 + 1 = 9 B x+ y =5 C x =1 x - y = xy y + z =
11、 7 3x - 2 y = 6 D x - y = 1 x y 4关于 x、y 的方程组 x + 2 y = 3m 的解是方程 3x+2y=34 的一组解，那么 m=（ x - y = 9m ）A2 B1 C1 D2 5某校初三（2）班 40 名同学为希望工程捐款，共捐款 100 元.捐款情况如下表： 捐款（元） 1234人数67表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款 2 元的有 x 名同学，捐款 3 元的有 y 名同学，根据题意，可得方程组 A x + y = 27 B x + y = 27 x + y = 27 x + y = 27 2x + 3y = 6
12、6 2x + 3y = 100 C 3x + 2 y = 66 D 3x + 2 y = 100 6解方程组： x + 2 y = 9 y - 3x = 1 x + 4 y = 14 x -3 y -3 1 4 - 3 = 12 7夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、乙两种空 调的设定温度都调高 1，结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27 度；再对乙种空调清洗设备， 使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高 1后的节电量的 1.1 倍，而甲种空调节电量不变， 这样两种空调每天共节电 405 度.求只将温度调高 1后两种空调每天各节电多少度？ 第 5页
13、8某同学在 A、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价 之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元. 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市 A 所有商品打八折销售，超市 B 全场购物满 100 元 返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用） 但他只带了 400 元钱，如果他只在一家 ，超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买 更省钱？ 一元一次不等式（组） 一、知识回顾 1 a 的 3 倍与 2 的差不小于 5，用不等式
14、表示为 2不等式 x -1 0 的解集是 .3代数式 m -1 -1值为正数， m 的范围是 34 肇庆）已知 a b+3 B 2a 2b C -a -b D a - b 0 A x 1 B x -2 C -2 x 1 D无解 6不等式组 2x +1 5 的整数解的个数为（ ）x +1 -1 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、考点链接 1不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫 做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2不等式的基本性质： （1）若 a b ，则 a + c b
15、+ c； （2）若 a b ， c 0 则 ac （3）若 a b ， c 0 则 ac bc （或 a cbc （或 a cb） ；cb ）. c 第 6页 3一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一 元一次不等式； 一元一次不等式的一般形式为 或 ax b ； 解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、 、移项、 、系数化为 1. 4一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况： （已知 a b ） x a 的解集是 x a 的
16、解集是 x b ，即大大取大； x b x a 的解集是 a x b ，即大小小大中间找； x b x b 6易错知识辨析： （1）不等式的解集用数轴来表示时，注意空心圆圈和实心点的不同含义. （2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式 ax b （或 ax 0 时， x b （或 x b ） aa当 a 0 时， x b ） aabb当 a 0 时， x ） aa三、典例精析 例1 （德宁）解不等式 x -1 5 - x ，并把它的解集在数轴上表示出来 35x - 2 3(x + 1) 例 2 （荆门）解不等式组 1 x -1 7 - 3 x ，并将它的解集在数轴上表示
17、出来 2 2 第 7页 四、中考演练 1不等式 3x +1 -4 有实数解，则 k 的取值范围是_ y 2 x 2 B. x 2 C x -1 x -1 x -1 5 义乌）不等式组 （01A 3x -1 2，的解集在数轴上表示为（ 8 - 4x 0 201201B C 3(x + 2) x + 4， 2）01D 26 （宁波）解不等式组 x -1 2 4, ，并把它的解集表示在数轴上 2x x + 2. 第 8页 一元一次不等式（组）及其应用 一、知识回顾 1 山）某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了 30 斤，价格为每斤 x 元；下午，他又买了 20 斤，价格 （乐 x + y 元的价格卖完后，
18、结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）2为每斤 y 元后来他以每斤 A x y C x y D x y 2某电脑用户计划使用不超过 530 元的资金购买单价为 70 元的单片软件和 80 元的盒装磁盘，根据 需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，不相同的选购方式共存（ ）A4 种 B5 种 C6 种 D7 种 3已知一个矩形的相邻两边长分别是 3cm 和 xcm ，若它的周长小于14cm ，面积大于 6cm2 ，则 x 的 取值范围在数轴上表示正确的是（ ） x + y = -3 4若方程组 的解是负数，那么 a 的取值范围是 x - 2 y = a - 3 二、考点链接 1求不等式（组）
19、的特殊解： 不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解， 求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 2列不等式（组）解应用题的一般步骤： 审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；找：找出能够表示应用题 全部含义的一个不等关系；设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x ） 列：根据这个不等 ；关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组） ；解：解所列出的不等式（组） 写出未知数的 ，值或范围；答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）. 3易错知识辨析： 判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式
20、的性质. 三、典例精析 例 1 （咸宁）直线 l1 : y = k1 x + b 与直线 l2 : y = k2 x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关 于 x 的不等式 k2 x k1x + b 的解集为 第 9页 例 2（绵阳）绵阳市全国文明村江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨，桃子 12 吨现计划租用甲、 乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷 4 吨和桃子 1 吨， 一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨 （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费 300 元，乙种货车每辆要付运输费 24
21、0 元，则果农王灿应选择哪 种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ 例 3 （南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣 机的进货量的一半电视机与洗衣机的进价和售价如下表： 类别电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600 计划购进电视机和洗衣机共 100 台，商店最多可筹集资金 161 800 元 （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2） 哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润 （利 润售价进价） 四、中考演练 1 州）用锤子以相同的力
22、将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻 （泰 力也越来越大当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次 的1 已知这个铁钉被敲击 3 次后全部进入木块（木块足够厚） ，且第一次敲击后铁 2钉进入木块的长度是 2cm，若铁钉总长度为 acm，则 a 的取值范围是 2海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元2005 年 5 月 20 日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表： 品名规格（米） 销售价（元/条） 羽绒被 22.3 415 羊毛被 22.3 150 现购买这两种产品共 80 条，付款总额不超过 2 万元问最多可购买
23、羽绒被_条 第 10 页 3 苏州）6 月 1 日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为 1 元、 （ 2 元和 3 元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米 3 公斤、5 公斤和 8 公斤6 月 7 日，小星 和爸爸在该超市选购了 3 只环保购物袋用来装刚买的 20 公斤散装大米， 们选购的 3 只环保购物 他袋至少应付给超市 元 已则下列长度的四条线段中能作为第三边的是 （4 （福州） 知三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm， A13cm B6cm C5cm D4cm 5若 a0，b2，则点（a，b2）应在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
24、）6 成都）某校九年级三班为开展迎 2008 年北京奥运会的主题班会活动，派了小林和小明两位 （同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品，已知该超市的锦江牌钢笔每支 8 元，红梅牌钢笔每支 4.8 元，他们要购买这两种笔共 40 支 （1）如果他们一共带了 240 元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？ （2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于红梅牌钢笔 的数量的 1 ，但又不少于红梅牌钢笔的数量的 1 .如果他们买了锦江牌钢笔 x 支，买这两种笔共花 24了 y 元， 请写出 y （元）关于 x （支）的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围； 请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？ 7 贵阳）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆，其中轿车至少要购买 3 辆，轿车每辆 7 万 （元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元； （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由； （2）如果每辆轿车的日租金为 200 元，每辆面包车的日租金为 110 元，假设新购买的这 10 辆车 每日都可租出，要使这 10 辆车的日租金不低于 1500 元，那么应选择以上那种购买方案？ 第 11 页