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1、光纤光学第十五章第1页，本讲稿共28页用用,代替代替并把它取为空间直角坐标系，则有并把它取为空间直角坐标系，则有折射率椭球表达式折射率椭球表达式式中取式中取是介电主轴方向，是介电主轴方向，是相应主折射率。是相应主折射率。2、折射率椭球的性质、折射率椭球的性质（1）过椭球中心）过椭球中心O的任一矢径的任一矢径r r的方向，表的方向，表示光波示光波D矢量的一个方向，矢径矢量的一个方向，矢径r的长度表的长度表示示D矢量沿矢径方向振动的光波的折矢量沿矢径方向振动的光波的折射率。即折射率椭球的矢径射率。即折射率椭球的矢径r可表示为可表示为是是D矢量方向的单位矢量。矢量方向的单位矢量。第2页，本讲稿共28
2、页（2）作垂直于给定波法线作垂直于给定波法线 方向的平面，截椭球的椭圆截面（如图），方向的平面，截椭球的椭圆截面（如图），椭圆椭圆的长短轴方向就是的长短轴方向就是相应的两个允许的光波相应的两个允许的光波的方向的方向，其长度即这两个，其长度即这两个光波的折射率光波的折射率，且，且。对于单轴晶体，对于单轴晶体，则其折射率椭球的方程为，则其折射率椭球的方程为、应用：利用折射率椭球，由应用：利用折射率椭球，由的方向，的方向，求取求取的方向（如图），即：已知的方向（如图），即：已知方向，与其垂直方向即方向，与其垂直方向即的方向，相应的方向，相应的的E的方向即切点的方向即切点B处切平面的法线方向，处切平面
3、的法线方向，且且第3页，本讲稿共28页所以利用折射率椭球，就可以：所以利用折射率椭球，就可以：已知晶体的介电张量已知晶体的介电张量折射率椭球折射率椭球作图求出任一作图求出任一对应的对应的,，,第4页，本讲稿共28页二、波矢面、法线面和光线面二、波矢面、法线面和光线面1、波矢面、波矢面:波矢面定义为这样一个双层曲面：它的矢径波矢面定义为这样一个双层曲面：它的矢径（波矢量），或者（波矢量），或者，即矢径平行于某个给定的波法线方向，即矢径平行于某个给定的波法线方向矢径长度等于相应的两个光波的波数矢径长度等于相应的两个光波的波数k。它是描述晶体的波数在晶体空间各方向（沿它是描述晶体的波数在晶体空间各方
4、向（沿 方向）上全部取值方向）上全部取值分布的几何图形。分布的几何图形。把矢径长度把矢径长度 ，和矢径分量关系，和矢径分量关系代入菲涅耳方程中代入菲涅耳方程中第5页，本讲稿共28页这就是波矢面方程，它的图形是：这就是波矢面方程，它的图形是：通常波矢面的三个主轴坐标面的通常波矢面的三个主轴坐标面的xy,yz,zx截面是圆和椭圆（如图）。截面是圆和椭圆（如图）。C1,C2表表示晶体光轴方向。示晶体光轴方向。波矢面与三个坐标面的交线图形波矢面与三个坐标面的交线图形波矢面图形波矢面图形第6页，本讲稿共28页2、法线面、法线面也叫法线速度面或相速度面。从晶体中任一点也叫法线速度面或相速度面。从晶体中任一
5、点O出发，引各个方出发，引各个方向的法线速度矢量向的法线速度矢量，其端点的轨迹就是法线面。法线面的矢，其端点的轨迹就是法线面。法线面的矢径径方向平行于某个给定的波法线方向平行于某个给定的波法线方向，而矢径方向，而矢径的长度等的长度等于相应的两个光波的法线速度即相速度于相应的两个光波的法线速度即相速度，其矢径其矢径，为简单，用，为简单，用来给出法线面，将矢径的来给出法线面，将矢径的三个分量三个分量及矢径长度的平方及矢径长度的平方代入菲涅耳方程中，得到法线面方程代入菲涅耳方程中，得到法线面方程法线面图形法线面图形第7页，本讲稿共28页法线面的法线面的xy,yz,zxxy,yz,zx截面是圆和四次曲
6、线（如图）截面是圆和四次曲线（如图）yzyz面上：面上：法线面与三个坐标面的交线图形法线面与三个坐标面的交线图形第8页，本讲稿共28页3、光线面、光线面光线面就是光线速度面。从晶体中任一点光线面就是光线速度面。从晶体中任一点O引各方向的光线速度矢量引各方向的光线速度矢量，其，其端点的轨迹构成光线面。端点的轨迹构成光线面。由由，得光线的菲涅耳方程：，得光线的菲涅耳方程：同样，由同样，由 给出光线面（如图）方程，图中给出光线面（如图）方程，图中的矢径的矢径 其其 的方向平行於某一给定的方向平行於某一给定 方向，其方向，其 的的长度给出相应两光波的光线速度长度给出相应两光波的光线速度 ，将关系将关系
7、代入光线方程中代入光线方程中得到光线面方程为得到光线面方程为第9页，本讲稿共28页如图所示的光线面：如图所示的光线面：于是，得到光线面的于是，得到光线面的xy,yz,zx截面都是圆和椭圆截面都是圆和椭圆第10页，本讲稿共28页光线面与三个坐标面的交线图形光线面与三个坐标面的交线图形第11页，本讲稿共28页4.4.光线面与法线面的关系光线面与法线面的关系 显然，光线面的切平面总是显然，光线面的切平面总是垂直於相应的波法线垂直於相应的波法线（P点切线的矢量点切线的矢量 与与 正交）正交）光线面与法线面的关系（如图）光线面与法线面的关系（如图）法线面是光线面的垂足曲面。法线面是光线面的垂足曲面。光线
8、面是法线之垂直平面的包络面。光线面是法线之垂直平面的包络面。法线面法线面光光线线面面第12页，本讲稿共28页1）单轴晶体的折射率椭球在）单轴晶体的折射率椭球在xy平面上的截线是一个圆，其半径为平面上的截线是一个圆，其半径为这表示当光波沿这表示当光波沿z轴方向传播时，只有一种折射率轴方向传播时，只有一种折射率的光波，其的光波，其D矢量可取垂矢量可取垂直于直于Z轴的任意方向，轴的任意方向，Z轴就是单轴晶体的光轴。轴就是单轴晶体的光轴。圆截面圆截面圆截面圆截面（a）负晶体）负晶体（b）正晶体）正晶体三、单轴晶体光学特性的几何表示三、单轴晶体光学特性的几何表示1.1.单轴晶体的折射率椭球：单轴晶体时，
9、单轴晶体的折射率椭球：单轴晶体时，且有，且有第13页，本讲稿共28页2）椭球在）椭球在xz、yz或其它包含或其它包含z轴的平面内的截线是一个椭圆，它的两轴的平面内的截线是一个椭圆，它的两个半轴长度分别为个半轴长度分别为。表示当波法线垂直于。表示当波法线垂直于z轴（光轴）时，允轴（光轴）时，允许两个线偏振光波传播，一个光波的许两个线偏振光波传播，一个光波的D矢量平行于光轴方向，折射率矢量平行于光轴方向，折射率为为，另一个光波的，另一个光波的D矢量垂直于光轴和波法线方向，折射率为矢量垂直于光轴和波法线方向，折射率为。圆截面圆截面圆截面圆截面（a）负晶体）负晶体（b）正晶体）正晶体第14页，本讲稿共
10、28页3）当波法线方向与光轴成）当波法线方向与光轴成角时（如图），过椭球中心角时（如图），过椭球中心O点的垂直于点的垂直于的平面与椭球的截线也是一个椭圆，它的两个半轴长度，一个是的平面与椭球的截线也是一个椭圆，它的两个半轴长度，一个是，另一个介于，另一个介于，即为，即为圆截面圆截面椭圆截线的两个半轴的方向，是对应于椭圆截线的两个半轴的方向，是对应于波法线方向波法线方向的两个允许的线偏振光的两个允许的线偏振光波的波的D矢量方向，其中一个光波的矢量方向，其中一个光波的D矢矢量量沿沿x轴，相应的折射率为轴，相应的折射率为；另一个光波是；另一个光波是e光波，相应折射率光波，相应折射率为为第15页，本讲
11、稿共28页1）法线面：对于单轴晶体，法线面的图形对于）法线面：对于单轴晶体，法线面的图形对于z轴（光轴）也是对轴（光轴）也是对称的，称的，对应的法线速度，对应的法线速度2、单轴晶体的法线面、光线面和波矢面、单轴晶体的法线面、光线面和波矢面根据法线面方程：根据法线面方程：得到在得到在xz坐标面上的法线面方程为坐标面上的法线面方程为第16页，本讲稿共28页2）光线面：对于单轴晶体，光线面的图形对于）光线面：对于单轴晶体，光线面的图形对于z轴（光轴）也是对称的，轴（光轴）也是对称的，将将代入光线面方程中，得到两个方程：代入光线面方程中，得到两个方程：相应地光线面截面方程为：相应地光线面截面方程为：以
12、以z z轴为回转轴在光轴方向相切轴为回转轴在光轴方向相切的圆和椭圆的圆和椭圆第17页，本讲稿共28页3）波矢面：对于单轴晶体波矢面的图形较简单，将）波矢面：对于单轴晶体波矢面的图形较简单，将代入波矢面方程中，得到两个方程：代入波矢面方程中，得到两个方程：（a）负晶体）负晶体（b）正晶体）正晶体第18页，本讲稿共28页第四节第四节光波在晶面表面的折射和反射光波在晶面表面的折射和反射虽然已经讨论了光波在晶体中的传播特点，但给事中需要知道光波在虽然已经讨论了光波在晶体中的传播特点，但给事中需要知道光波在晶体表面发生折射或内反射时的情况。晶体表面发生折射或内反射时的情况。一、光在晶体表面的折射和反射定
13、律一、光在晶体表面的折射和反射定律普遍形式的反射和折射定律依然是成立的，即普遍形式的反射和折射定律依然是成立的，即则有则有1）对于界面上任一位置矢量）对于界面上任一位置矢量，入射波、反射波和折射波的波矢量，入射波、反射波和折射波的波矢量都在入射面内，且波矢量都在入射面内，且波矢量k在界面上的投影大小不变，即在界面上的投影大小不变，即由于一般晶体中波法线（波矢量）方向与相应的光线方向不一致，所由于一般晶体中波法线（波矢量）方向与相应的光线方向不一致，所以反射和折射定律是对波法线而言，其相应的光线一般不再入射面内，以反射和折射定律是对波法线而言，其相应的光线一般不再入射面内，不遵守折射、反射定律。
14、由上式得到不遵守折射、反射定律。由上式得到第19页，本讲稿共28页二、光在单轴晶体中传播方向的确定二、光在单轴晶体中传播方向的确定方法一：计算法，当已知入射光波法线的方向方法一：计算法，当已知入射光波法线的方向和晶体光轴的方和晶体光轴的方向，由上面的第一式子和第三式子求得折射（或反射）光的波法向，由上面的第一式子和第三式子求得折射（或反射）光的波法线方向，再由第四式子求出相应的光线方向。线方向，再由第四式子求出相应的光线方向。方法二：作图法，有两种方法：方法二：作图法，有两种方法：1、斯涅耳作图法和、斯涅耳作图法和2、惠更斯作图法。、惠更斯作图法。第20页，本讲稿共28页1、斯涅耳作图法求取波
15、法线方向：是基于折射、反射定律、利用、斯涅耳作图法求取波法线方向：是基于折射、反射定律、利用波矢面的作图法，可一方便确定光波在晶体界面的折射波和反射波波矢面的作图法，可一方便确定光波在晶体界面的折射波和反射波的方向。折射定律规定两个折射波的波矢量总是在入射面内。的方向。折射定律规定两个折射波的波矢量总是在入射面内。可以证明，该波法线矢径在波矢面端点处的切面法线就是相应的可以证明，该波法线矢径在波矢面端点处的切面法线就是相应的光线方向。光线方向。第21页，本讲稿共28页2、惠更斯作图法求取光线方向：根据惠更斯原理，可以用作图法直、惠更斯作图法求取光线方向：根据惠更斯原理，可以用作图法直接求出折射
16、光线或反射光线的方向，此时在晶体中次波源发出的波面接求出折射光线或反射光线的方向，此时在晶体中次波源发出的波面就是光线面。就是光线面。假设一列单色平面光波由空气以入射角假设一列单色平面光波由空气以入射角入射到单轴晶体表面入射到单轴晶体表面，其光轴在图面内（如图所示）。，其光轴在图面内（如图所示）。AA入射波前入射波前O光波线光波线面面e光波线面光波线面第22页，本讲稿共28页平面波垂直入射时，由两种很有实际意义的特殊情形。平面波垂直入射时，由两种很有实际意义的特殊情形。下图是光轴晶面表面切成与光轴平行的情形：这时，尽管折射光线只有下图是光轴晶面表面切成与光轴平行的情形：这时，尽管折射光线只有一
17、束，但是包括一束，但是包括e光和光和O光，二者传播速度不同，它们的光，二者传播速度不同，它们的E矢量相互垂直。矢量相互垂直。所以透过晶片后，二者之间有一个固定的位相差。（与光轴垂直于图面所以透过晶片后，二者之间有一个固定的位相差。（与光轴垂直于图面情形类似）情形类似）第23页，本讲稿共28页下图左边是光轴在图面内，垂直入射时的情形；图右边是光轴垂直于图面，下图左边是光轴在图面内，垂直入射时的情形；图右边是光轴垂直于图面，平面波斜入射时的情形。平面波斜入射时的情形。第24页，本讲稿共28页例题例题1平行钠光正入射到一片方解石（负单轴晶体）晶片上，晶片如图平行钠光正入射到一片方解石（负单轴晶体）晶
18、片上，晶片如图所示，光轴在图面内，并与晶体表面成所示，光轴在图面内，并与晶体表面成300角。求：角。求：1）晶片内）晶片内o光线和光线和e光线光线的夹角；的夹角；2）当晶片厚度为）当晶片厚度为1mm时，时，o光和光和e光射出晶片后的位相差。光射出晶片后的位相差。解：解：1）根据斯涅耳作图法作出图示：所以晶体内）根据斯涅耳作图法作出图示：所以晶体内o光波和光波和e光波的波法线方光波的波法线方向相同，且都垂直于晶面向相同，且都垂直于晶面第25页，本讲稿共28页解：解：1）对于）对于e光线，它与光线，它与e光波法线方向的夹角光波法线方向的夹角根据公式根据公式得到得到所以，所以，e光线较其波法线远离光
19、轴，如图所示方向。光线较其波法线远离光轴，如图所示方向。第26页，本讲稿共28页2）位相差）位相差与光程差与光程差的关系是的关系是光程差光程差计算若按法线折射率计算若按法线折射率n计算，计算，e光波在与光轴成光波在与光轴成600角方向的折角方向的折射率根据公式射率根据公式第27页，本讲稿共28页例题例题2（p473习题习题7）如图所示，一块单轴晶片的光轴垂直于表面。晶体的两个）如图所示，一块单轴晶片的光轴垂直于表面。晶体的两个主折射率分别为主折射率分别为，证明当平面波一入射角，证明当平面波一入射角入射到晶体时，晶体内非常入射到晶体时，晶体内非常光线的折射角光线的折射角可由下式计算可由下式计算（正晶体）（正晶体）光光轴轴证明：如图设证明：如图设与光轴夹角为与光轴夹角为，因为，因为第28页，本讲稿共28页