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1、第1章 函数1.1 函数概概念1.1.1 函函数的定义同学们从入小学学到高中毕业业一直要学习习数学，在这这一阶段所面面对的数学对对象的特点是是：所讨论的的量在研究问问题的过程中中保持不变只是从未知知到已知例例如解方程或或方程组，求求得的解都是是固定不变的的又如讨论论三角形，它它的边长也是是固定不变的的量这些量量叫做常量常量只取固固定值的量这门课程中讨论论的量在研究究问题的过程程中不是保持持不变的如如圆的面积与与半径的关系系：S =r 22考虑半径r可以以变化的过程程面积和半半径叫做变量量变量可取不不同值的量变域变量的的取值范围我们考虑问题的的过程中，不不仅是一个变变量，可能有有几个变量比如两个
2、变变量，要研究究的是两个变变量之间有什什么关系，什什么性质函函数就是变量量之间确定的的对应关系比如股市中中的股指曲线线，就是时间间与股票指数数之间的对应应关系又如如银行中的利利率表存期六个月一年二年三年五年年利率(%)5.407.477.928.289.00它反映的是存款款存期与存款款利率之间的的对应关系这几个例子反映映的都是两个个变量之间的的确定的对应应关系函数数的定义是：定义1.1 设设x, y是两个变量量，x的变域为D，如果存在在一个对应规规则f，使得对D内的每一个个值x都有唯一的的y值与x对应，则这个对应规则ff 称为定义在在集合D上的一个函数数，并将由对对应规则f 所确定的x与y之间
3、的对应应关系，记为为：，称x为自变量，yy为因变量或或函数值，DD为定义域集合称为函数的的值域我们要研究的是是如何发现和和确定变量之之间的对应关关系例1求函数的的定义域 解：，求函函数的定义域域就是使表达达式有意义的的由对数函函数的性质得得到，即由分式式的性质得到到，即，即 综合合起来得出所所求函数的定定义域为例2设国际航航空信件的邮邮资与重量的关系系是求解：用3替代，由第第一个关系式式表示，得到到，同样可以以得到用20替代，由由第二个关系系式表示，得得到1.1.2 有有关函数的几几点解释1.函数的表示示法如何表示函数关关系是需要我我们不断研究究和发现的常用的方法法有三种：一一种是用一个个数学
4、公式来来表示，叫做做解析法；一种种是用坐标系系中的曲线反反映两个变量量之间的函数数关系，叫做做图示法；还有有一种方法是是用一个表格格反映两个变变量之间的函函数关系，叫叫做表格法一般般经常使用的的就是这三种种方法2.函数的记号号在考虑一个问题题的过程中，f 表示一个确定的对应关系，在之后考虑这个问题的过程中，f 自始至终表示同样的对应关系比如，它反映的就是这样一种对应关系：，等式左端的函数括号中带入一个量，表示要对其进行等式右端的运算如：，又如：无论左端带入什什么，都对它它进行同样的的运算.1.1.3 函函数的基本性性质下面把在中学里里大家已经知知道的函数的的基本属性复复习一下，也也就是：函数数
5、的单调性、奇奇偶性、有界界性、周期性性当一个变量增加加时另一个变变量也跟着增增加， 这样样的函数就叫叫做单调增加加的函数从从图形上看这这条曲线，曲曲线上的点xx在增加的时时候，它所对对应的纵坐标标y也在增加，这这样的函数是是单调增加的的 单调减减少是相反的的，随着x的增加相对对应的y在减少，这这样的函数是是单调减少的的，正如图形形中演示的这这样如果函函数当x在增加的时时候，它所对对应的y不是增加，也也不是减少，这这样的函数就就不具有单调调性例1 判断函数数f(x)x2当x 0时的单调调性 分析：可以利用用单调性的定定义，证明对对任意的x1 x2，有f(x1) f(x2)解：当x 00时，对任意
6、意的x2 0，有有（当x1 x2 0时，在在不等式x1 x2两端同乘以以x1或x2，显然有，由不等式的的传递性就得得到）由定义可知f(x)x2当x 0时是单调调增加的一个函数的图形形如果关于yy轴对称，这这样的函数就就称为偶函数数从图形上上来分析，曲曲线上任一点点关于y轴的对称点点也在曲线上上面，这条曲曲线所描绘的的函数就是偶偶函数从解解析式上看，如如果有f(x)f(x)，f(x)就叫做偶偶函数一个函数的图形形如果关于原原点对称，这这样的函数就就称为奇函数数曲线上任任一点关于原原点的对称点点也在曲线上上面，这条曲曲线所描绘的的函数就是奇奇函数从解解析式上看，如如果有f(x)f(x)，f(x)就
7、叫做奇奇函数例2 判断下列列函数的奇偶偶性： （1）yx31（2）yxcos x解：（1）取 x1，11，f (1)0，f (1)2，显显然f (1) f (1)，由此可知yxx31 不是是奇函数又又显然f (1) f (1)，由此可知yx31 不是是偶函数（2）因为yx是奇函数， ycossx 是偶函数数，而奇函数数和偶函数的的乘积是奇函函数所以yxsiin x 是奇函函数如果自变量在定定义域中变化化时，函数值值始终在一个个有限的区间间内变化，如如图形中演示示的，无论怎怎样变化，都都有M f(x) M，这条曲线所所反映的函数数就是有界函函数如果存在一个正正数T，对任意的的自变量x，有f(x
8、+ T )f(x)，这样的函数数就叫做周期期函数 从从图形上反映映，这个函数数在相隔为TT的任意两点点上函数值都都是一样的也可以这样样来看，从任任意一点出发发，以长度TT为间隔划分分区间，在每每个区间上的的函数图形都都是可以完全全重合的1.2 几类基基本初等函数数我们在中学的学学习中已经认认识了一些函函数， 这些些函数是非常常基本的，有有这样几类：1. 常数函数数：y = c这个函数数在它的定义义域中的取值值始终是一个个常数，它在在直角坐标系系中的图形就就是一条水平平线2. 幂函数：y = x，(R )以x为底，指数数是一个常数数当 = 1时时就是y = x，它的图形形是过原点且且平分一、三三
9、象限的直线；当=2时时就是y = x2，它的图形形是过原点且且开口向上的的抛物线；当=3时时就是y = x3，它的图形形是过原点的的立方曲线3. 指数函数数：y = ax，( a 0，a1)底底数是常数，指指数是变量例如y = ex，y = 2 x，y = () x 所有指数数函数的图形形都过(0,1)点，当当a1时，函函数单调增加加，当a0，a1)以以a为底的x的对数例如 y = lnxx，y = loog 2x，y =所有对对数函数的图图形都过(11,0)点，当当a1时，函函数单调增加加；当a 00 盈利（22） L(q) 00 亏损（33） L(q) = 00 盈亏平衡满足L(q) =
10、0的q0称为盈亏平衡衡点（又称保本点点）在假设成本函数数和收入函数数都是线性函函数的情况下下来做一些分分析： qOC = c0 + cq，R = pq它们的图形是两条直线的交点点表示收入与与成本相等，q0就是盈亏平衡点如果两条直线出出现了下面这这种情况 qO qO此时两条直线没没有交点，也也就是没有盈盈亏平衡点为了找到盈盈亏平衡点，我我们可以采取取两种手段，一一种是提高价价格；另一种种是降低变动动成本c1这两种手手段都可以重重新找到盈亏亏平衡点. qO从几何上看，增增加直线R的斜率或减减小直线C的斜率都可可以使两条直直线重新相交交从以上分分析可以看出出数学工具在在经济分析中中的作用例2某商品的的成本函数与与收入函数分分别为：，求该商品的盈亏亏平衡点解： ，14