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1、全微分的定义第1页，本讲稿共14页xyxy如图，如图，一边长分别为一边长分别为x、y的的长方形金属薄片，长方形金属薄片，受热后在受热后在长和宽两个方向上都发生变化，长和宽两个方向上都发生变化，分别为分别为x、y，那么，那么该金属薄片的面积该金属薄片的面积A改变了多少？改变了多少？A称为面积函数称为面积函数A=xy的全增量，的全增量，由两部分组成：由两部分组成：x，y的线性部分的线性部分当当(xx,yy)(0,0)时，是一个比时，是一个比高阶无穷小高阶无穷小。第2页，本讲稿共14页 定义定义 设函数设函数 在点在点(x，y)的某个邻域内的某个邻域内有定义，点（有定义，点（x+x，y+y）在）在该
2、邻域内，域内，如果函如果函数数 在点（在点（x，y）的全增量）的全增量 可以表示为可以表示为其中其中A，B与与x,y无关，无关，是当是当0时比时比高阶的无穷小。高阶的无穷小。则称函数则称函数 在点在点（x，y）处）处可微可微，称函数在点称函数在点(x,y)处的处的全微分全微分，记作，记作dz或或df(x,y)，即，即显然，显然，dzz一、全微分一、全微分第3页，本讲稿共14页二二 可微的必要和充分条件可微的必要和充分条件定理（可微的必要条件）定理（可微的必要条件）如果函数如果函数 在点（在点（x，y）处可微，则它在）处可微，则它在该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且该点处必连续，且它的两
3、个偏导数都存在，并且证明：证明：由函数由函数 在点（在点（x，y）处可微有）处可微有所以所以即即第4页，本讲稿共14页因此，函数因此，函数 在点（在点（x，y）连续。）连续。又因为又因为 中的中的A，B与与x，y无关，也就是无关，也就是该式式对任意的任意的x，y都成立。都成立。不妨取不妨取y=0，则有，则有上式两边同除以上式两边同除以x，再令，再令x0，则有则有即说明即说明 存在，且存在，且同理可证同理可证 存在，且存在，且故有故有第5页，本讲稿共14页 注意：注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能保证函数不能保证函数 在点（在点（x，y）可微。）可
4、微。讨论函数：讨论函数：由以前的讨论可知，在点（由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数都）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。定理（可微的充分条件）定理（可微的充分条件）如果函数 的两个偏导数 在点（x，y）都存在且连续，则该函数再给点可微。第6页，本讲稿共14页 以上有关概念和定理均可以退到三元及三元以上的函数以上有关概念和定理均可以退到三元及三元以上的函数中去。中去。由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元函数函数 的全微分习惯上可写为的全微分习惯上可写为类似地，
5、三元函数类似地，三元函数 的全微分为的全微分为例例1 求函数求函数 的全微分。的全微分。解：先求函数的两个偏导数：解：先求函数的两个偏导数：第7页，本讲稿共14页所以所以例例2 求函数求函数 在点（在点（2，-1）处的全微分。）处的全微分。解：因为解：因为所以所以第8页，本讲稿共14页 例例3 设函数设函数 在点（在点（0，0）有增量有增量x=0.2，y=0.3，求全微分，求全微分dz。解：解：所以所以此题可理解为：此题可理解为：在点（在点（0，0）处）处x，y分别有增量分别有增量x=0.2，y=0.3时，函数也，函数也产生增量生增量z，并且，并且zdz=1.8。第9页，本讲稿共14页三三 全
6、微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用应用的公式：应用的公式：例例4 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的20cm变到变到20.1cm，高由原来的，高由原来的40cm减少到减少到39.5cm，求该金属体，求该金属体体积变化的近似值。体积变化的近似值。解：解：设圆柱体的底面半径为设圆柱体的底面半径为r，高为，高为h，体积为，体积为V则有则有所以所以其中其中r=20，h=40，r=0.1，h=-0.5第10页，本讲稿共14页由公式（由公式（1）得）得即金属体受压后体积减少了即金属体受压后体积减少了125.6cm3。由公式（由公式（1）还可得）还可
7、得例例5 计算计算 的近似值。的近似值。解：解：构造函数构造函数 ，则，则第11页，本讲稿共14页取取则则所以所以 例例5 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的20厘米变到厘米变到20.1厘米，高由原来的厘米，高由原来的40厘米减少到厘米减少到39.5厘米，厘米，求该金属体体积变化的近似值。求该金属体体积变化的近似值。解：如下图所示。解：如下图所示。第12页，本讲稿共14页20cm40cm20.1cm39.5cm 设圆柱体的底面半径设圆柱体的底面半径为为r，高为，高为h，体积为，体积为V，则有则有此时此时其中其中r=20，h=40，r=0.1，h=-0.5故有故有即金属体受压后体积减少了即金属体受压后体积减少了125.6cm3。第13页，本讲稿共14页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在四、小结四、小结第14页，本讲稿共14页