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1、第43讲 机械振动简谐振动的基本概念第43讲讲：机械械振动简谐谐运动的的基本概概念内容：141，142 11简谐谐运动 （50分钟钟） 22描述述简谐运运动的物物理量 （50分钟钟）要求： 11掌握握描述简简谐运动动的特征征量振幅、周周期、频频率、相相位的物物理意义义，并能能熟练地地确定振振动系统统的特征征量，从从而建立立简谐运运动方程程； 22掌握握描述简简谐运动动的旋转转矢量方方法与图图示法的的特点，并并会应用用于简谐谐运动规规律的讨讨论与分分析。重点与难难点： 11简谐谐运动的的动力学学方程和和运动学学方程； 22振幅幅与初相相位的确确定；作业：问题：PP35：1，22，7，88习题：P
2、P37：2，55，8，111预习：143，144，145第十四章章 机机械振动动引言：1 什么是振振动(VVibrratiion) 振动是是自然界界和工程程技术领领域常见见的一种种运动，广广泛存在在于机械械运动、电电磁运动动、热运运动、原原子运动动等运动动形式之之中。从从狭义上上说，通通常把具具有时间间周期性性的运动动称为振振动。如如钟摆、发发声体、开开动的机机器、行行驶中的的交通工工具都有有机械振振动。广广义地说说，任何何一个物物理量在在某一数数值附近近作周期期性的变变化，都都称为振振动。变变化的物物理量称称为振动动量，它它可以是是力学量量，电学学量或其其它物理理量。例例如：交交流电压压、电
3、流流的变化化、无线线电波电电磁场的的变化等等等。2 什么是机机械振动动(Meechaaniccal Vibbrattionn) 机械振振动是最最直观的的振动，它它是物体体在一定定位置附附近的来来回往复复的运动动，如活活塞的运运动，钟钟摆的摆摆动等都都是机械械振动。3研究究机械振振动的意意义l 不同类型型的振动动虽然有有本质的的区别，但但是仅就就振动过过程而言言，振动动量随时时间的变变化关系系，往往往遵循相相同的数数学规律律，从而而使得不不同本质质的振动动具有相相同的描描述方法法。l 振动是自自然界及及人类生生产实践践中经常常发生的的一种普普遍运动动形式，研究机械振动的规律也是学习和研究其它形式
4、的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。4机械械振动的的特点 （11）有平平衡点。 （22）且具具有重复复性，即即具有周周期性。5机械械振动的的分类（1）按按振动规规律分：简谐、非非简谐、随随机振动动。 （22）按产产生振动动原因分分： 自自由、受受迫、自自激、参参变振动动。 （33）按自自由度分分： 单单自由度度系统、多多自由度度系统振振动。 （44）按振振动位移移分：角角振动、线线振动。 （55）按系系统参数数特征分分：线性性、非线线性振动动。 简谐振振动是最最基本的的振动，存存在于许许多物理理现象中中。本章章主要研研究简谐谐振动的的规律，也也简单介介绍阻尼尼振动、受受迫振动动、共振振
5、等。本章内容容有：141 简谐运运动142 简谐运运动的振振幅、周周期（频频率）与与相位143 旋转矢矢量144 单摆与与复摆145 简谐运运动的能能量146 简谐运运动的合合成147 阻尼振振动、受受迫振动动、共振振141 简简谐运动动Simpple Harrmonnic Vibbrattionn在一切振振动中，最最简单和和最基本本的振动动称为简简谐运动动，其运运动量按按正弦函函数或余余弦函数数的规律律随时间间变化。任任何复杂杂的运动动都可以以看成是是若干简简谐运动动的合成成。本节节以弹簧簧振子为为例讨论论简谐运运动的特特征及其其运动规规律。一、简谐谐运动的的基本概概念：1弹簧簧振子： 轻质
6、弹弹簧(质质量不计计)一端端固定，另另一端系系一质量量为m的物体体，置于于光滑的的水平面面上。物物体所受受的阻力力忽略不不计。设设在O点点弹簧没没有形变变，此处处物体所所受的合合力为零零，称OO点为平平衡位置置。系统统一经触触发，就就绕平衡衡位置作作来回往往复的周周期性运运动。这这样的运运动系统统叫做弹弹簧振子子（haarmoonicc Osscilllattor），它它是一个个理想化化的模型型。2弹簧簧振子运运动的定定性分析析： 考虑物物体的惯惯性和作作用在物物体上的的弹性力力： BO：弹弹性力向向左，加加速度向向左，加加速，OO点，加加速度为为零，速速度最大大； OC：弹弹性力向向右，加加
7、速度向向右，减减速，CC点，加加速度最最大，速速度为零零；CO：弹性力力向右，加加速度向向右，加加速，OO点，加加速度为为零，速速度最大大；OB：弹性力力向左，加加速度向向左，减减速，BB点，加加速度最最大，速速度为零零。物体在BB、C之之间来回回往复运运动。 结论：物体作作简谐运运动的条条件：l 物体的惯惯性 阻止止系统停停留在平平衡位置置l 作用在物物体上的的弹性力力驱使使系统回回复到平平衡位置置二、弹簧簧振子的的动力学学特征：1线性性回复力力分析弹簧簧振子的的受力情情况。取取平衡位位置O点点为坐标标原点，水水平向右右为X轴轴的正方方向。由由胡克定定律可知知，物体体m (可可视为质质点)在
8、在坐标为为x (即即相对于于O点的的位移)的位置置时所受受弹簧的的作用力力为f=-kkx式中的比比例系数数k为弹簧簧的劲度度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。2动力力学方程程及其解解根据牛顿顿第二定定律，f=maa可得物体体的加速速度为对于给定定的弹簧簧振子，m和k均为正值常量，令则上式可可以改写写为即 或 这就是简简谐运动动的微分分方程。三、简谐谐运动的的运动学学特征：1简谐谐振动的的表达式式（运动动学方程程）简谐运动动
9、的微分分方程的的解具有有正弦、余余弦函数数或指数数形式。我我们采用用余弦函函数形式式，即这就是简简谐运动动的运动动学方程程，式中中A和是积分分常数。说明： 1）简简谐运动动不仅是是周期性性的，而而且是有有界的，只只有正弦弦函数、余余弦函数数或它们们的组合合才具有有这种性性质，这这里我们们采用余余弦函数数。 2）考考虑三角角函数与与复数的的关系，则则。用复复数表示示简谐运运动，其其优点是是运算比比较简单单。2简谐谐振动物物体的速速度和加加速度 将简谐谐运动的的运动学学方程分分别对时时间求一一阶和二二阶导数数，可得得简谐运运动的速速度和加加速度为为说明：l 物体在简简谐运动动时，其其位移、速速度、
10、加加速度都都是周期期性变化化的。l 简谐运动动不仅是是周期性性的，而而且是有有界的只有有正弦函函数、余余弦函数数或它们们的组合合才具有有这种性性质采用余余弦函数数。二、简谐谐运动的的特点：1从受受力角度度来看动力力学特征征合外力ff=-kkx与物物体相对对于平衡衡位置的的位移成成正比，方方向与位位移的方方向相反反，并且且总是指指向平衡衡位置的的。此合合外力又又称为线线形回复复力或准准弹性力力。2从加加速度角角度来看看运动动学特征征加速度与与物体相相对于平平衡位置置的位移移成正比比，方向向与位移移的方向向相反，并并且总是是指向平平衡位置置的。3从位位移角度度来看：位移是时时间的周周期性函函数。说
11、明：1）要证证明一个个物体是是否作简简谐运动动，只要要证明上上面三个个式子中中的一个个即可，且且由其中中的一个个可以推推出另外外两个；2）要证证明一个个物体是是否作简简谐运动动最简单单的方法法就是受受力方析析，得到到物体所所受的合合外力满满足回复复力的关关系。例题：一一个轻质质弹簧竖竖直悬挂挂，下端端挂一质质量为mm的物体体。今将将物体向向下拉一一段距离离后再放放开，证证明物体体将作简简谐运动动。证明：取取物体平平衡位置置为坐标标原点，竖竖直向下下为x轴的正正方向，如如图所示示。物体体在平衡衡位置时时所受的的合力为为零，即即mg-kkl=00 (1)其中mgg为物体体的重力力，l为物体体平衡时
12、时弹簧的的伸长量量。在任一位位置x处处，物体体所受的的合力为为F=mgg-k(x+ll) (2)比较(11)、(2)可可得F=-kkx (3)可见物体体所受的的合外力力与位移移成正比比，而方方向相反反，所以以该物体体将作简简谐运动动。142 简简谐运动动的振幅幅、周期期和相位位Ampllituude , PPeriiod andd Frrequuenccy，PPhasse oof SSimpple harrmonnic Vibbrattionn现在我们们讨论简简谐振动动运动学学方程xx=Accos(t+)中中的A、tt+、的物理理意义。它它们分别别是描述述谐振动动的特征征量：振振幅、频频率和周
13、周期、相相位和初初相。振幅、周周期和相相位等都都是描述述简谐运运动的物物理量。一、振幅幅A(AAmpllituude)反映振振动幅度度的大小小引入：在在简谐运运动的表表达式中中，因为为余弦或或正弦函函数的绝绝对值不不能大于于1，所所以物体体的振动动范围为为+A与-A之间间。定义：作作简谐运运动的物物体离开开平衡位位置的最最大位移移的绝对对值。说明：(1)AA恒为正正值，单单位为米米(m); (2)振幅的的大小与与振动系系统的能能量有关关，由系系统的初初始条件件确定。二、周期期T(PPeriiod)与频率率(Frrequuenccy) 反映映振动的的快慢1周期期Perriodd定义：物物体作一一
14、次完全全振动所所需的时时间，用用T表示，单单位为秒秒(s)。考虑到余余弦函数数的周期期性，有有 因而有 2频率率Freequeencyy定义：单单位时间间内物体体所作的的完全振振动的次次数，用用表示，单单位为赫赫兹(HHz)。3圆频频率Anngullar Freequeencyy定义：物物体在22秒时间间内所作作的完全全振动的的次数，用用表示，单单位为弧弧度/秒秒(raad. s-11或s-1)。说明：1）简谐谐运动的的基本特特性是它它的周期期性；2）周期期、频率率或圆频频率均有有振动系系统本身身的性质质所决定定，故称称之为固固有周期期、固有有频率或或固有圆圆频率。3）对于于弹簧振振子，。4）
15、简谐谐运动的的表达式式可以表表示为三、相位位(Phhasee)反映振振动的状状态1相位位质点在某某一时刻刻的运动动状态可可以用该该时刻的的位置和和速度来来描述。对对于作简简谐运动动的物体体来说，位位置和速速度分别别为x=Accos(wt+j)和v=-Asiin(wtt+j)，当振振幅A和和圆频率率给定时时，物体体在t时刻的的位置和和速度完完全由wtt+j来确定定。即wtt+j是确定定简谐运运动状态态的物理理量，称称之为相相位。相位（t+）是决决定谐振振子运动动状态的的重要物物理量t+，和A，一起决定定t时刻物物体运动动状态，即即位移xx,速度度v，和加加速度aa. 在一次次全振动动中，谐谐振子
16、有有不同的的运动状状态，分分别与002p 内的一一个相位位值对应应。例如如：txvwt+j0A00T/40-wAp/2T/2-A0pTA02p2初相相位在t=00时，相相位为，称为为初相位位，简称称初相，它它是决定定初始时时刻物体体运动状状态的物物理量。对对于一个个简谐运运动来说说，开始始计时的的时刻不不同，初初始状态态就不同同，与之之对应的的初相位位就不同同，即初初相位与与时间零零点的选选择有关关。结论：对对于一个个简谐运运动，若若A、已知，就就可以写写出完整整的运动动方程，即即掌握了了该运动动的全部部信息。因因此，我我们把AA、叫做描描述简谐谐运动的的三个特特征量。3相位位差：定义：两两个
17、振动动在同一一时刻的的相位之之差或同同一振动动在不同同时刻的的相位之之差。对于同频频率简谐谐运动、同同时刻的的相位差差相位差 即两个同同频率的的简谐运运动在任任意时刻刻的相位位差是恒恒定的。且且始终等等于它们们的初始始相位差差。说明：1） 质点点2的振振动超前前质点11的振动动 质点22的振动动落后质质点1的的振动2），同相（步步调相同同），反相相（步调调相反）小结：对对于一个个简谐运运动，若若振幅、周周期和初初相位已已知，就就可以写写出完整整的运动动方程，即即掌握了了该运动动的全部部信息，因因此我们们把振幅幅、周期期和初相相位叫做做描述简简谐运动动的三个个特征量量。四、积分分常数AA和的确定
18、定：简谐运动动运动学学方程为为 x=Accos(wt+j)其中圆频频率是由由系统本本身的性性质确定定的，积积分常数数A和是求解解简谐运运动的微微分方程程是引入入的，其其值有初初始条件件（即在在t=0时物物体的位位移与速速度）来来确定。将将t=0代代入位移移和速度度的公式式，即得得物体在在初始时时刻的位位移x0和初速速度v0：由此可解解得说明：1）一般般来说的取值值在和(或00和2)之间间；2）在应应用上面面的式子子求时，一一般来说说有两个个值，还还要有初初始条件件来判断断应该取取哪个值值；3）常用用方法：由求AA，然后后由两者者的共同同部分求求。例1：一一弹簧振振子系统统，弹簧簧的劲度度系数为
19、为k=0.72NN/m，物物体的质质量为mm=200g。今今将物体体从平衡衡位置沿沿桌面向向右拉长长到0.04mm处释放放。求振振动方程程。解：要确确定弹簧簧振子系系统的振振动方程程，只要要确定AA、和即可。由题可知知，k=0.72NN/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v00，代入公式式可得又因为xx0为正，初初速度vv00，可可得因而简谐谐运动的的方程为为：例2已已知某质质点作简简谐运动动，振动动曲线如如图所示示，试根根据图中中数据写写出振动动表达式式。解：设振振动表达达式为由图可见见：A=2m，当当t=0时，有有 （1） （22）由（1）可可得，由由（2）可可知，所所以只能能取。当t=11s时， （3） （44）由（3）可可得，由由（4），取，因而可得所以振动动方程为为 16