《祁晓东-有效效用函数及其判据fkex.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《祁晓东-有效效用函数及其判据fkex.docx（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、有 效 效 用用 函 数 及及 其 判 据据祁 晓 冬 北京科技报，通信地址：北京西城区大新开胡同3号，邮编：100009，电话: (010) 66129002E-mail: xd.qi（20002年77月277日初稿稿、9月月8日改改定）摘 要本文确立立了一个个标准用用以判断断一个实实值函数数是否能能被用来来构造有有效效用用函数，即即EUFF。EUUF是可可以导出出良性需需求函数数的直接接效用函函数的一一个通用用形式，它它摒弃了了传统经经济理论论中新古古典效用用函数强强加于效效用函数数的一些些不必要要的约束束，明确确地将对对部分商商品消费费的可满满足性接接纳为效效用函数数的一个个正式的的组成
2、部部分，从从而大大大地扩充充了现有有可用效效用函数数的家族族。EUUF概念念的基础础是“饱和定定律”：具有有局部不不满足性性偏好次次序的消消费者，在在预算约约束下的的最优选选择将不不会超出出有效区区域的范范围。有有效区域域是对每每一个偏偏好次序序唯一确确定的消消费集合合的一个个子集，其其内任意意点的任任何要素素都不超超过其相相应的饱饱和需求求。有效效效用函函数只考考虑偏好好在其有有效区域域内的信信息。经济文献献杂志分分类 (JELL Cllasssifiicattionn)：C6600, D1110关键词：饱和需需求，有有效区域域，良性性需求函函数，新古典典效用函函数（NNUF），有效效用函数
3、（EUF）。Effeectiive Utiilitty FFuncctioon aand Itss CrriteerioonBy XXiaoodonng QQi * This paper is originally written in English. The author is ready to send you an English version at your request.Address: No.3 Daxinkai HutongXicheng DistrictBeijing 100009, CHINATel: (8610) 66129002E-mail: xd.qiFirsst
4、 ddrafft: Junne 227, 20002Finaal rreviisioon: Sepptemmberr 8, 20002AbsttracctThiss paaperr seet aa crriteerioon ffor a rreall-vaalueed ffuncctioon tto bbe uusabble to connstrructt ann efffecctivve uutillityy fuuncttionn (EEUF), aa geenerral forrm oof ddireect utiilitty ffuncctioons thaat aare cappab
5、lle oof ggeneerattingg siinglle-vvaluued demmandd fuuncttionns ssatiisfyyingg Waalraas laww. AA EUUF ccan be useed iin pplacce oof aa neeocllasssicaal uutillityy fuuncttionn (NNUF) wiithoout lossingg annythhingg buut ssomee usseleess infformmatiion, whhichh arre uunneecesssarry rresttricctioons impp
6、oseed oon aa uttiliity funnctiion in thee trradiitioonall coonsuumerr thheorry. A EEUFeexplliciitlyy accceppts sattiattionn coonsuumpttionn foor ssomee buut aall commmodditiies a nnormmal parrt oof aan aacceeptaablee uttiliity funnctiion, annd ttherrefoore greeatlly eenlaargees tthe exiistiing fammi
7、lyy off ussablle uutillityy fuuncttionns. Thee coonceept of EUFF iss baasedd onn thhe llaw of sattiattionn: unnderr a buddgett coonsttraiint, thhe ooptiimall chhoicce oof tthe connsummer witth aa loocallly nonn-saatiaatedd prrefeerennce wouuld nevver go beyyondd thhe eeffeectiive reggionn, aa unniqu
8、ue ssubsset of thee coonsuumpttionn seet ffor eacch ppreffereencee orrderr, iin wwhicch nno ccompponeent of anyy poointt exxceeeds thhe ccorrrespponddingg saatiaatedd waant. A EUFF onnly takkes intto aaccoountt thhe iinfoormaatioon wwithhin thee efffecctivve rregiion of a ppreffereencee orrderr.JELC
9、Classsifficaatioon: C6000, DD1100Keywwordds: efffecttivee reegioon, sattiatted wannt, welll-bbehaavedd deemannd ffuncctioon, neooclaassiicall uttiliity funnctiion (NUUF), annd eeffeectiive utiilitty ffuncctioon (EUFF).1. 导言本文的目目的是回回答这样样一个问问题：给给定一个个实值函函数，如如何判断断它是否否有资格格被用来来构造一一个能够够导出良良性需求求函数(welll-bbe
10、haavedd deemannd ffuncctioon)的的效用函函数。相关的研研究可以以追溯到到效用函函数的初初创时期期，然而而在最近近的半个个多世纪纪以来却却似乎很很少再有有人关注注这一问问题. (Arrroww和Entthovven，19661，Hiccks 19446)。在现代消消费者理理论中，人人们似乎乎已经达达成共识识，即一一个可以以接受的的效用函函数应当当是一个个连续可可微的实实值函数数，它要要么在整整个消费费集合内内严格递递增并严严格准凹凹（比如如CESS函数）；否则在在消费集集合的内内点上严严格递增增并严格格准凹，而而且所有有边界上上的点都都不优于于原点（比比如Coobb-
11、Douuglaas函数数）。我我们称这这样的函函数为新新古典效效用函数数（NUUF: neooclaassiicall uttiliity funnctiion，李李子江，119955）。价价格均衡衡理论要要求需求求函数是是良性的的：即单单值并满满足瓦尔尔拉斯定定律 尽管光滑性或可微性通常也是一个必要条件，本文将完全忽略这一事实，部分是由于论文篇幅的限制，部分是由于它不是有效效用研究的必要成份。本文假定这一要求已经得到满足。相关问题可参阅Mas-Colell (1985)。虽虽然一个个NUFF足以保保证导出出的需求求函数满满足这一一要求，然然而其限限制条件件却远非非必需。于于是，很很多良性性效
12、用函函数（即即那些不不满足NNUF限限定条件件，然而而事实上上能够导导出良性性或具有有良好数数学特性性的需求求函数的的效用函函数）被被判定为为不可用用。结果果是可用用的效用用函数的的数量变变得十分分有限，除除了CEES和CCobbb-Doougllas函函数之外外几乎很很难找到到其它真真正有意意义的形形式。问题的症症结在于于：要求求效用函函数在整整个消费费集合上上严格递递增完全全排除了了消费者者对某些些商品饱饱和需求求点存在在的可能能性。然然而在现现代消费费者行为为理论中中，不满满足性的的假定采采用了一一个相当当弱的形形式，即即局部不不满足(loccal nonn-saatiaatioon)。
13、这这一假定定只要求求消费者者对一种种商品的的需求具具有不满满足性(Takkayaama，19886)。为了消除除这一不不足，我我们将重重新引入入有效区区域的概概念(efffecttivee reegioon，Alllen 19334)，它它是消费费集合的的一个子子集，其其中任何何商品的的数量都都不超过过其相应应的饱和和需求(sattiatted wannt)。借助助重新定定义了的的有效区区域的概概念，我我们将证证明：在在一定的的预算约约束下，一一个具有有局部不不满足偏偏好的消消费者的的最优选选择不会会超出其其有效区区域。这这就是说说，从代代表了一一个局部部不满足足偏好次次序的效效用函数数导出的
14、的需求函函数的值值域是其其有效区区域的一一个子集集。为了了方便起起见，我我们将此此称为饱饱和定律律（thee laaw oof ssatiiatiion）。基于上述述观点，我我们在第第4节定定义了有有效效用用函数的的概念（EEUF: efffecctivve uutillityy fuuncttionn），它它是可用用效用函函数的一一个通用用形式，其其有效区区域之外外的特性性将被完完全忽略略。EUUF可以以取代传传统理论论中的NNUF的的概念，它它保留了了NUFF所具有有的所有有有用信信息，但但取消了了NUFF所强加加的一些些不必要要的约束束条件。然然后，我我们将给给出了一一个判据据，用以以判
15、断一一个函数数是否可可以被用用来构造造EUFF。第5节，我我们用两两个例子子来显示示EUFF的概念念对确定定一个良良性效用用函数的的有效性性。我们们可以看看到：EEUF概概念的引引入不仅仅使一些些被传统统判据所所排斥的的效用函函数成为为名正言言顺的可可用效用用函数的的家族成成员，而而且使一一些原本本不可用用的函数数变得可可用。2. 预备知知识在下面的的正文及及附录中中，我们们将用到到一些基基本的概概念和定定理，尽尽管它们们大部分分属于常常识性的的内容，为为了严格格起见，我我们还是是将其不不加证明明地集中中在本节节。所有有相关内内容可参参阅：BBartten和和Bhmm (119822)，DDe
16、brreu (19954，19559)，Mass-Coolelll (19885)，McKKenzzie (19957)，Menndellsonn (119622)，Radder(19663)，aand Takkayaama (19986)， JJehlle 和和Renny (20001)。定义2.1：如如果定义义在消费费集合上上的一个个偏好关关系“”满足下下列条件件：(自反性性)，(传递性性)，(完备性性)，并并且对于于任意的的，集合合和相对于于X是闭的的(连续性性)。则该该偏好关关系就被被称为一一个连续续的偏好好次序。说明：本本文假定定X有下界界，并且且是闭的的和凸的的。表示示l维欧基基理
17、德空空间。和和分别表表示的非非负及严严格正相相限。定义2.2：令令、及分别表表示预算算集、预算超超平面以以及从偏偏好次序序“”导出的的需求集集合。“p”和“m”分别表表示价格格夭量和和消费者者个人收收入。我我们有如如下三个个定义：(a) ;(b) ;(c) .定义2.3：令令u为代表表偏好次次序“”的一个个效用函函数。如如果对于于任意一一对（pp0并且且m0），由由“”导出的的需求集集合内只只存在唯唯一的元元素，则则被称为为由“”或u导出的的一个单单值需求求函数。同同时我们们也说：“”或u导出。定义2.4： 如果在在的任意意小的邻邻域V内内总是可可以找到到一个优优于x的点，即即存在满满足，则则
18、相应的的偏好次次序被称称为在xx是局部不不满足的的。定义2.5：如如果（或或）成立立，则偏偏好次序序“”（或效效用函数数u）在S是上严格格递增的的。说明：在在上述定定义中，表示，为指数集合，或分别代表x和y的第i个坐标分量。“”表示“对于集合S内任意两个彼此不同的元素x和y”。定义2.6：定定义在XX上的一一个偏好好次序“”称为是是严格凸凸的，如如果下式式成立：。定义2.7：称称为在凸凸集上是是严格准准凹的，如如果下式式成立：。如果在的的所有凸凸子集上上严格准准凹（不不一定是是凸集），则则称在上是严格格准凹的的。引理2.1：在在定义22.7中中，在上严格格准凹的的充分必必要条件件是加边边海赛因
19、因矩阵在在任意都都是负半半定的，即即，（）其中，。定义2.8：我我们称定定义在XX上的一一个连续续的偏好好次序“”为一个个新古典典偏好，如如果它满满足下列列条件：(a) “”在XX上严格格递增并并严格凸凸，否则则(b) “”在上上严格递递增和严严格凸并并且满足足。说明：表表示X的内点点，表示示X的下边边界。同同时在本本文中.定义2.9：代代表新古古典偏好好的效用用函数称称为新古古典效用用函数。引理2.2：为为一个新新古典效效用函数数的充分分必要条条件是：(a) f在X上上严格递递增并严严格准凹凹，否则则(b) f在上严严格递增增和严格格准凹，并并且满足足。说明：CCES和和Cobbb-DDou
20、gglass效用函函数是两两个典型型的新古古典效用用函数，它它们分别别满足上上述（aa）、（bb）两个个条件。定义2.10：集合的闭包是所所有象xx这样的的点的集集合：VV是x的一个个邻域意意味着。定义2.11：的一个个子集KK是紧致的当当且仅当当它是闭闭的和有界的。定理2.1：对对于任意意定义在在X上的连连续偏好好“”,存在在一个连连续的效效用函数数，满足足：。定理2.2：令令“”为一连连续偏好好，对于于任意pp0和m0我们们有：(a) ；(b) 如果“”在X上任意意点都是是局部不不满足的的，则（瓦瓦尔拉斯斯定律）；(c) 如果“”在X上是严严格凸的的，则包包含唯一一元素。定理2.3：如如果
21、非空空集合是是紧致的的，则连连续函数数在S上有极极大值和和极小值值，即。定理2.4：令令为一非非空开集集，为一一连续可可微的函函数。对对于任意意的，如如果且，则在在x的邻域域（）内存在在一个连连续且可可微的单单值函数数满足。说明：下下列符号号在本文文中通用用：，以及及。表示一一个，即即一个以以x为球心心，以为为半径的的一个开开球。定理2.5（拉拉哥朗日日定理）：令和为定义在上的连续可微的实值函数，令为在约束下的一个极植点，则存在唯一的使得下式成立：。3. 饱和定定律本节中，我我们将重重新引入入有效区区域的概概念，并并借此证证明饱和和定律：从一个个具有局局部不满满足性的的偏好次次序或效效用函数数
22、导出的的需求集集合是其其唯一有有效区域域的一个个子集。在现实中中，一个个人所拥拥有的任任何商品品一旦超超过一定定限度，即即他对此此物品的的饱和需需求，则则此后增增加的该该商品将将对此人人变得毫毫无用处处。如果果他花钱钱购买这这些商品品，则必必然导致致资源浪浪费，从从而不是是一个理理性的选选择。所所以，我我们可以以得出这这样的结结论：如如果消费费集内的的某点，其其中某个个要素的的数量超超过了消消费者对对该物品品的饱和和需求，则则此点一一定不在在需求集集合内。这这意味着着，消费费者在预预算约束束下的最最优选择择只能出出现在消消费集合合内一个个特定的的区域内内。换句句话说，在在一个消消费集内内有些点
23、点将永远远不会被被选择，而而不管这这个消费费者多么么富有。所所以说，在在某一预预算约束束下的消消费者的的最优选选择点的的集合将将是整个个消费集集合的一一个子集集，换句句话说，需需求函数数的值域域将仅仅仅是消费费集合的的一个子子集合，而而非全部部消费集集合。本节定义义和证明明，请参参考图11。图1定义3.1：令令为消费费集合内内任意一一点。位位于通过过a并且平平行于第第i个坐标标轴的半半直线上上的点的的集合称称为a在X的上的的第i个坐标子子集合，以以表示。定义3.2：如如果至少少于上的的任意一一点同样样好：，则则我们称称z是上的一一个相对对满意点点，则是一一个属于于的相对满满意需求求。定义3.3
24、：属属于的最最小满意意需求称称为属于于的相对饱饱和需求求，以表示: ，则称为为上的相对对饱和点点。如果果上不存存在相对对满意点点，则我我们说上上的饱和和需求点点不存在在或位于于无穷远远，即。说明：表表示集合合的极小小值。定义3.4：令令“”为一定定义在XX上的偏偏好次序序，为的第i个坐标标子集合合，为属属于的相相对饱和和需求。如如果，则则x一定位位于有效效区域内内，以或或E表示。就就是说：。的第i条上边边界定义义为：，从从而我们们也有了了的上边界界的定义义：。推论3.1：对对于任意意的偏好好次序，存存在唯一一的有效效区域。证明：可可从定义义3.44中直接接推出。证证毕定理3.1（饱和定定律）：
25、令“”为一连连续偏好好次序，而而且在XX上任意意点上局局部不满满足。则则对于任任意的pp0和m0，我我们有。证明：附附录I推论3.2：令令“”为一在在其有效效区域内内局部不不满足的的的偏好好次序，u为代表“”的效用函数。令为从u导出的需求函数，其值域为。则。证明：定定理3.1的一一个明显显结论。证证毕评论：推推论3.2说，从从一个局局部不满满足偏好好次序导导出的需需求函数数的值域域是其有有效区域域的一个个子集。所所以，需需求函数数的值域域只有当当有效区区域扩展展到整个个消费集集合时才才会覆盖盖消费集集合。在在此情形形下，所所有商品品都是不不可满足足的。而而这恰恰恰是新古古典偏好好或者相相应的N
26、NUF所所唯一允允许的情情形。传传统消费费者理论论因此而而忽略了了大量包包含了可可满足性性的情形形。4. 有效效效用函数数及其判判据有效区域域的概念念使我们们可以构构建一个个有效效效用函数数（EUUF），该该函数明明确接纳纳了对于于某些物物品存在在饱和需需求的可可能性。EEUF的的概念为为效用函函数确立立了一个个比原有有的由NNUF提提供的判判据弱得得多的新新的标准准。一般而言言，如果果一个效效用函数数能够导导出一个个单值且且满足瓦瓦尔拉斯斯定律的的需求函函数（我我们称之之为良性性需求函函数），它它就应该该是一个个可用的的效用函函数。在在传统消消费者理理论中，为为了保证证效用函函数可用用，通常
27、常要求效效用函数数为一个个NUFF，即要要么在整整个消费费集合上上严格递递增和严严格准凹凹；要么么在消费费集合的的内点上上严格递递增和严严格准凹凹，同时时所有边边界点不不优于原原点（引引理2.2）。然然而上述述限定条条件远非非必要。他他们完全全排斥了了对某些些物品存存在饱和和需求的的可能性性，从而而使一些些能够导导出良性性需求函函数的效效用函数数看上去去却不可可接受。饱和定律律说明，从从一个局局部不满满足偏好好导出的的需求函函数的值值域是其其有效区区域的一一个子集集。这意意味着消消费者预预算约束束下的最最优选择择只能出出现在其其有效区区域内部部。所以以，需求求函数将将仅仅由由导出此此需求函函数
28、的效效用函数数在其有有效区域域内部的的特性所所决定。而而效用函函数在其其有效区区域外的的特性将将不会对对由之导导出的需需求函数数的特性性产生任任何影响响。这意意味着一一个良性性需求函函数有可可能从一一个在其其有效区区域外并并非严格格递增或或严格准准凹的效效用函数数导出。基于上述述观点，我我们来建建立有效效效用函函数（EEUF）的的概念。这这是一个个忽略了了其有效效区域外外所有信信息的可可接受效效用函数数的一个个通用形形式。定义4.1：令令为一代代表偏好好“”的效用用函数，E是该偏好、因而也是的有效区域。我们称为一有效效用函数，如果它能够导出一个良性需求函数。在下文中，为了方便起见，我们将一个E
29、UF简写成。不用说EE也是的有有效区域域。我们们称为的一个个真实原原函数。任任意函数数被称为为的一个个原函数数，当且且仅当成成立。表表示“”在E上的限限制。显显然，一一个EUUF的原原函数的的数量是是无限的的，因为为在E外可以以具有任任何形式式。一个真实实原函数数与一个个原函数数的区别别在于：前者一一定对应应了一个个以E为有效效区域的的真实偏偏好，而而后者则则不必如如此。比比如，如如果代表表了偏好好次序“”，则对对于这样样的点但但，一定不不成立。然然而这样样的约束束对某个个EUFF的原函函数是无无效的，因因为完全全没有必必要要求求在整个个消费集集合上代代表一个个真实的的偏好次次序，我我们只关关
30、心它在在一个EEUF有有效区域域上的性性质。因因此，EEUF将将不仅使使那些本本应可接接受但却却被传统统的NUUF判据据判定为为不可用用的那一一部分效效用函数数变得名名正言顺顺，而且且使某些些正常情情况下不不能接受受的函数数变得有有用。我我们将在在第5节节给出这这种效用用函数的的一个例例子。为了判定定一个函函数能否否被用来来构造EEUF，我我们只需需考虑其其有效区区域内的的特性。定定理4.1将给给出成为为EUFF的一个个原函数数所必需需具备的的条件。我我们首先先建立定定理4.1将用用到的边边界函数数的概念念。定义4.2：令令为一连连续可微微函数，如如果l-1元元函数满满足下列列条件：，并且且对
31、于任任意的不不存在象象这样的的点使得得，则我我们称为为的第i个边界界函数。说明：。如如果，则则独立于于，从而而第i个边界界函数可可能不存存在，或或者仅仅仅包含象象这样一一些点使使得成立立。显然然是单值值的，并并且它是是满足的的位于最最下端的的函数。引理4.1：在在定义44.2中中，如果果成立，那那么在S上连续续。证明：隐隐函数定定理（定定理2.4）的的直接推推论。证证毕定理4.1（EUFF判据）：令连续可微，并且为其第i个边界函数，我们定义E及其上边界如下：，。如果满足下列条件，则就是一个EUF：(1) 对于任任意的，要要么（aa）在X上处处处连续，或或者（bb）包含含原点且且在上处处处连续续
32、，对于于任意的的（表示X的下边边界），与同时成立意味着属于的相对饱和需求为0。即对任意：(a) ，否则则(b)，并且，并且;(2)上上不存在在临界点点：;(3)在在上严格格递增：;(4) 在上严格格准凹（定定义2.7）。证明：附附录III。说明：所所有上述述4个条条件都可可以被直直观地理理解，不不过其中中一些条条件，特特别是第第一个条条件需要要作进一一步的解解释。我我们先处处理相对对比较简简单的第第2个条条件，然然后再解解释复杂杂一些的的第一个个条件。条条件（33）和（44）的意意义是明明显的。在上不存存在任何何临界点点（crritiicall poointt）确保保了在上上边界、从从而也在在
33、整个有有效区域域上不存存在饱和和点。在在条件11下，它它也意味味着有效效区域是是连通的的和无界界的（参参阅第55节）。尽管条件件1看上上去十分分复杂，其其做含义义却是简简单的。就就是说，第第i个上边边界要么么在整个个消费集集上处处处连续（CCES函函数是这这类函数数当时的的特例）；否则包包含原点点且在XX的内点点上处处处连续，而而对于那那些位于于包含了了第i坐标轴轴（比如如图2中中的轴）的的下边界界内的点点中，只只有一些些第j坐标轴轴（，比比如图22中的）上上的点位位于有效效区域内内（Coobb-douuglaas函数数是这类类函数当当时的特特例）。为了使条条件1的的含义更更加明确确，我们们给
34、出一一个3维维效用函函数的例例子。图图2绘出出了该效效用函数数的一个个等效用用曲面，其其中虚线线表示不不在有效效区域内内的点。以每一个个变量对对求偏导导并令其其为零：我们可以以获得该该函数的的三个相相应的上上边界：从而我们们得到有有效区域域：和显然处处处连续续。在上不存存在，这这是因为为。然而而当时，因此此包含原原点以及及其它轴轴上的点点。图2从图2可可以看出出，对于于任意XX下边界界内的点点，比如如，如果果和同时成成立，则则必定有有。因此此满足定定理4.1中的的条件11。条件1保保证预算算约束下下的最优优点不会会出现在在X的下边边界内，换换句话说说，的约约束极大大值将一一定出现现在有效效区域
35、内内部而不不会是在在有效区区域的开开的下边边界上。这这将确保保从导出出的需求求集合非非空（参参阅附录录II（22）。5. 两个例例子由EUFF确立的的新的判判据在现现实中的的应用比比定理44.1表表面看上上去要容容易得多多，尤其其是在只只存在两两种商品品的情况况下。本本节我们们通过两两个具体体实例来来展示新新的标准准是如何何被应用用的。严格地说说，如果果我们要要按照NNUF或或EUFF的标准准来判断断一个函函数是否否合适作作为一个个可接受受的效用用函数，我我们首先先要通过过代数运运算来检检验其单单调性和和凹性。这这就是说说，我们们不得不不计算所所有的偏偏导数以以及加边边海赛因因矩阵的的主子式式
36、（引理理2.11）来确确定引理理2.22或定理理4.11中的相相应条件件是否被被满足。当当的形式式比较复复杂时，这这个过程程也将变变的异常常艰巨。幸运的是是，随着着计算机机技术的的高速发发展，现现在我们们只需通通过几次次简单的的键盘敲敲击，就就能在屏屏幕上描描绘出一一个函数数的直观观图形。这这样我们们就可以以直接观观察到函函数的单单调性和和凹性。尽尽管这不不是一个个可以接接受的严严格的证证明方法法，然而而我们眼眼下的目目的仅在在于说明明问题，因因此也就就不必太太过苛求求严谨。在在本节中中，尽管管代数证证明完全全是可能能的，但但出于简简单直观观的考虑虑，我们们将尽可可能地借借助图形形来说明明函数
37、的的特性。由引理22.2可可知，一一个NUUF至少少在上是是严格递递增和严严格准凹凹的。这这类函数数的无差差异曲线线具有在在整个XX上处处处凸向原原点的形形状，图图3左图图是这种种形状的的经典样样式。在在这样的的标准下下，下面面的函数数被排斥斥了：Equation Chapter 1 Section 5(5.1)其中是一一个可以以改变性性状的参参数。图3右图图为（55.1）式式当时的的无差异异曲线。图 3右图左上上和右下下角标出出的箭头头代表效效用在阴阴影部分分增加的的方向，交交叉阴影影部分低低于原点点。显然然，这一一函数在在阴影部部分即不不严格递递增，也也不严格格准凹，从从而不能能满足NNU
38、F对对效用函函数的单单调性及及凹性的的要求。然然而，如如果我们们仔细观观察在非非阴影区区的形状状，我们们将发现现，对于于任意的的和，总能能在此区区域内找找到一个个最优选选择。从从图中我我们可以以清晰地地看到：希克斯斯需求函函数 (Hiccks, 19946)永远不不会超出出非阴影影区域，和分别给出了当和两个极端情形下的预算约束线。现在我们们使用定定理4.1给出出的标准准来判断断（5.1）是是否有资资格成为为一个EEUF的的原函数数。首先令的的所有一一阶偏导导数等于于零，然然后解方方程并得得到的两两个上边边界函数数：以及及。从和，我我们分别别获得了了两条上上边界和和：和由此我们们找到了了（5.1
39、）式式的有效效区域：两条边界界函数显显然在XX上是处处处连续续的，从从而满足足了条件件1。下面，我我们来检检验条件件2，即即在上是是否存在在临界点点。如果果c是上的一一个临界界点，则则和必然同同时成立立，这意意味着cc是下面面的联立立方程的的一个解解：解方程，显然，当当时联立立方程无无解，从从而临界界点不存存在；当当时，存存在唯一一的临界界点(66, 66)，当当时，总总是存在在两个临临界点。图图4绘出出了（55.1）式式当（左左）和（右右）时的的无差异异图形，临临界点分分别以，和表示。从左右两两图的无无差异曲曲线的形形状上不不难看出出，在有有效区域域（非阴阴影部分分）内是是严格递递增和严严格
40、准凹凹的。根根据定理理4.11，我们们知道：如果在在上没有有临界点点，则（55.1）就就有资格格成为一一个EUUF的原原函数，这这就是说说：只要要，就是一一个EUUF。图 4通过仔细细的图形形分析，我我们可以以发现：在上边边界上存存在临界界点可能能导致有有效区域域内部的的不连通通。图44右图的的有效区区域显然然是不连连通的。然然而左图图中有效效区域的的两个部部分仅由由一个单单一的临临界点相相连。因因为同时时位于两两条上边边界上，在在下没有有内点存存在，从从而有效效区域的的内点依依然是不不连续的的。不存存在临界界点条件件的另一一个含义义是有效效区域必必需是无无界的。这这是因为为如果有有效区域域有
41、界，则则由定理理4.11第一个个条件决决定的上上边界的的连续性性特性要要求在其其上存在在饱和点点，从而而临界点点也将变变得不可可避免。细心的读读者会发发现，在在上述例例子中，如如果我们们直接使使用而不不是将其其有效区区域外的的部分指指定为-，我们们将得到到同样的的一个良良性需求求函数。于于是自然然会产生生这样一一个疑问问：为什什么我们们要采用用形式，而而不是直直接使用用？下面面的例子子将回答答这一问问题。请看下面面的二元元函数：(5.2)图5绘出出了上式式的等高高线，虚虚线表示示这些点点不在有有效区域域（非阴阴影区）内内，从三三维等高高图中我我们可以以直接观观察到的的单调性性以及与与效用水水平
42、相对对应的无无差异曲曲线。预算线HH与无差差异曲线线相切于于、两点。这这意味着着在H约束下下有两个个最优选选择，因因此由导导出的需需求函数数不满足足单值要要求。这这就是说说，不能能导出一一个良性性需求函函数，然然而，我我们将证证明：事事实上完完全可以以成为一一个EUUF的原原函数。图 5我们首先先令的所所有一阶阶偏导等等于0：(5.3)我们看到到，所以以第2条条上边界界除了在在原点之之外的任任何地方方都不存存在，因因为只有有在原点点，换句句话说，只包含一个点，即原点。由于，所以可写成，其中2.02876（定义4.1），显然，除点之外，处处连续。我们由此可以得到有效区域：. 如果(5.2)代表一
43、个真实的偏好次序，则有效区域将覆盖整个，因为不存在任何饱和点。借助于图图5及（55.3）式式不难看看出，原原点是下下边界上上唯一位位于有效效区域内内的点。与与此同时时，对于于任意一一，、（）均成成立，而而且。由由于有效效区域饱饱含原点点，所以以（5.3）满满足定理理4.11中条件件1的要要求。由由于原点点是（55.3）式式的唯一一解，因因而上不不存在在在临界点点，从而而满足了了条件22。从图图4我们们可以直直接观察察到在其其有效区区域内（非非阴影区区域）严严格递增增且严格格准凹。根根据定理理4.11，是一一个EUUF。无论(55.1)（当时）或或(5.2)都都是合格格的EUUF的原原函数，唯唯
44、一不同同的是前前者是一一个真实实原函数数，从而而代表了了一个真真实的良良性偏好好，而后后者则不不能代表表一个真真实的良良性偏好好次序。显显然，这这一区别别对两者者作为EEUF原原函数的的有用性性不产生生任何影影响。6. 结论本文给出出了饱和和定律的的一个正正式证明明，并且且建立了了有效效效用函数数的概念念，它可可以取代代新古典典效用函函数而作作为可用用直接效效用函数数的一个个通用形形式。定定理4.1给出出了判断断一个函函数是否否有资格格被用于于构建EEUF的的判据。本文首次次明确确确立了某某些物品品的可满满足性在在可用的的效用函函数中的的合法位位置。因因此，EEUF概概念的引引入大大大地扩大大
45、了现有有可用效效用函数数的家族族，使得得NUFF成为这这一新家家族的一一个当有有效区域域覆盖整整个消费费集合时时的一个个子集。它它不仅使使那些有有效区域域小于全全体消费费集合的的良性效效用函数数变得合合法，而而且使一一些原本本不可用用的函数数也能被被用来构构建足以以保证一一个良性性需求函函数的EEUF。EUF，进进而整个个有效效效用研究究的重要要意义在在于这样样一个事事实：在在经济理理论中，需需求函数数是一个个必不可可少、然然而却十十分不便便的描述述消费者者个体经经济行为为的工具具，它完完全依赖赖于一个个良性效效用函数数的存在在。随着着计算机机技术的的高速发发展，我我们有可可能期待待一个可可计
46、算的的均衡模模型，对对现实经经济系统统给出尽尽可能逼逼真的描描述(Ammaan 119977)。要要想实现现这一目目标，我我们必需需对个体体消费者者的行为为给出一一个比CCES或或Cobbb-DDougglass效用函函数更加加清晰的的描述。换换句话说说，除非非我们拥拥有能够够更加逼逼真地对对消费者者行为进进行描述述的效用用函数，我我们将不不可能走走得很远远。EUUF恰恰恰正是实实现这一一目标的的必要手手段。事事实上，有有效区域域的概念念包含了了大量有有关消费费者偏好好的信息息，而这这些信息息在传统统理论中中几乎被被完全地地忽略了了。有鉴鉴于此，EUF使我们有可能建立一些具有充分现实意义的效用
47、函数（祁晓冬1996，1997，1998，2001）。所以说，EUF概念的引入，无论是大是小，都将成为消费者行为从模糊向清晰发展的一个实实在在的步骤。Mas-Colell（1985）曾说：“我们的目标不仅仅是要证明需求函数的存在，我们要求它们是光滑的。”我们将比这走得更远，我们说：仅仅光滑是不够的，我们要求需求函数最终能够描述现实中个体消费者的行为，就象物理学中那些能够精确描述客观世界中物体运动的函数一样。就此而言，为了最终发展出一个能够精确模拟现实经济现象的可计算一般均衡模型，有效效用研究是一个必不可少的步骤。附录I。定理理3.11的证明明：证明（参参考图66）：令，根据据定理22.2bb：。首首先假定定，由定定义3.4：不不成立，即即。不失失一般性性，我们们假定，令令，即x是上的相相对饱和和点，则则有。由由于pp0并且且m0，所所以，这这意味着着，但。然然而，以以及意味味着，从从而要求求必需成成立。这这与前面面的结果果相矛盾盾。所以以必然为为真，的的任意性性使得成成立。证证毕图 6II. 定理44.1的的证明：我们首先先证明一一个在后后面的证证明中要要用到的的引理。引理A.1：令令为由导出出的需求求函数，满足定理4.1的所有条件。则对于任意的和，的值域不包含