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1、第七章后半部分改完第1页，本讲稿共21页将上述线性方程的根取为根的近似值，即将上述线性方程的根取为根的近似值，即该格式称为方程求根的该格式称为方程求根的Newton迭代格式。迭代格式。若若 ，过，过 处的切线方程为处的切线方程为该切线与该切线与X轴的交点为轴的交点为Newton法的几何意义法的几何意义 逐次用切线与逐次用切线与X轴的交点代替曲轴的交点代替曲线与线与X轴的交点。轴的交点。Newton法亦称为切线法法亦称为切线法第2页，本讲稿共21页2.局部收敛性与收敛的阶局部收敛性与收敛的阶定理定理 设设为为的根，在开区间内，连续且，则当 时，Newton迭代格式至少为二阶收敛。该定理说明该定理
2、说明Newton迭代格式：迭代格式：局部收敛性；局部收敛性；收敛收敛 阶至少为二阶；阶至少为二阶；适用于单根。适用于单根。证明 Newton迭代可以看作由迭代可以看作由的同解方程构造的不动点迭代。第3页，本讲稿共21页因此 故 由于在内连续，得在内连续，且 故由迭代局部收敛的充分条件知。Newton迭代法局部是收敛，且至少为二阶收敛。Remark 在Newton迭代中，当初值选的充分接近根，才能保证序列收敛，且迭代为二阶收敛。第4页，本讲稿共21页3 非局部收敛性定理 设，且满足：对，（,不变号）取，使则在内有唯一的根；Newton迭代格式产生的序列收敛于且第5页，本讲稿共21页证明：由在上连
3、续，且，知在内至少有一根。由（即不变号），知在内有唯一的根，且保证了该根为单根。条件和有四种情况。仅就的情况证明。由中值定理，存在使得因在上不变号，因而对即在上单调增。又由，可知第6页，本讲稿共21页又由又由 ，知，知 ，而而 ，得得又由又由 在在 的的Taylor展开式：展开式：其中其中 在在x与与 之间。之间。得得即即 故故第7页，本讲稿共21页一般地，设一般地，设 ，类似可得，类似可得 ，且且 即有即有 因因 单调递减且有下界，则必有极限单调递减且有下界，则必有极限 。对对 取极限，得取极限，得故故Newton迭代格式产生的序列收敛于迭代格式产生的序列收敛于 。由由，得，得故故Newto
4、n迭代具有二阶收敛性迭代具有二阶收敛性。第8页，本讲稿共21页更一般的更一般的非局部收敛定理非局部收敛定理如下：如下：定理定理 设设 在上连续，且在上连续，且对对 则对则对 ，Newton迭代序列迭代序列 收敛于收敛于 在在 内的唯一实根内的唯一实根 。标准牛顿迭代法仅适用于单根的情形。标准牛顿迭代法仅适用于单根的情形。第9页，本讲稿共21页二二 重根情形的牛顿迭代重根情形的牛顿迭代1 标准标准Newton法法设设 为为 的的m 根重根。根重根。在在 的某邻域内有的某邻域内有m阶连续导数，这时阶连续导数，这时 将将 在在 处展开，有处展开，有其中其中 介于介于 与与 之间。之间。第10页，本讲
5、稿共21页v由由Newton迭代函数迭代函数 得得第11页，本讲稿共21页由于由于 对于重根情形，标准牛顿迭代法仅具有局部线性收敛。对于重根情形，标准牛顿迭代法仅具有局部线性收敛。2 改进的改进的Newton法法若取若取 称为称为改进的改进的Newton法。法。可证：可证：改进的改进的Newton法是局部平方收敛的。法是局部平方收敛的。第12页，本讲稿共21页3 修正方法修正方法因因m未知，改进的未知，改进的Newton法使用比较困难。法使用比较困难。令令若若 是是 的的m重零点，则重零点，则 即即 是是 的单重零点。的单重零点。第13页，本讲稿共21页 修改方法：修改方法：将求将求f(x)的
6、零点问题转化为求的零点问题转化为求 单重零单重零点的问题。点的问题。取迭代函数取迭代函数即即则则为为局部平方收敛。局部平方收敛。缺点缺点：需要计算：需要计算 ，计算量稍大计算量稍大第14页，本讲稿共21页三三Newton下山法下山法 牛顿迭代法中，初值选取比较困难时，将对迭牛顿迭代法中，初值选取比较困难时，将对迭 代过程附加一项要求：代过程附加一项要求：要求迭代后，得到以要求迭代后，得到以0为下界的严格单调递减为下界的严格单调递减 序列序列 这样当这样当 时时 。从而。从而 可得可得 。若序列若序列 满足满足 则称则称 是是f(x)的一个下山序列。的一个下山序列。求下山序列的算法称为求下山序列
7、的算法称为下山法下山法第15页，本讲稿共21页由由得得 注意注意有有 若若 为为f(x)的单零点，当的单零点，当 时，有时，有 即即 于是当于是当k充分大时，充分大时，故收敛的牛顿序列除去有限点以外（前面有限个故收敛的牛顿序列除去有限点以外（前面有限个点）定为下山序列点）定为下山序列 第16页，本讲稿共21页引理引理 若若 ，且，且 则则存在存在 使得当使得当 时时证明证明 将将 在在x 处展开，得处展开，得故故 于是存在于是存在 得当得当 时，时，有有第17页，本讲稿共21页即即由由得得从而当从而当 时，有时，有表明：表明：是是f(x)在在x点的一个下山方向。点的一个下山方向。可以选择适当的
8、可以选择适当的 ，使得，使得 满足满足第18页，本讲稿共21页 在在Newton迭代法中引进下山因子迭代法中引进下山因子并将迭代格式改为并将迭代格式改为 则有则有 为保证为保证 是是f(x)的一个下山序列，则的一个下山序列，则 可能太小；可能太小；为保证牛顿法的高阶收敛性。希望为保证牛顿法的高阶收敛性。希望k充分大充分大时，时，即成为标准牛顿迭代法。，即成为标准牛顿迭代法。下山因子下山因子 的一种的一种 常用取法是取自集合：常用取法是取自集合：第19页，本讲稿共21页 将下山法和牛顿法结合起来使用的方法将下山法和牛顿法结合起来使用的方法 称为称为牛顿下山法牛顿下山法。步骤为：。步骤为：v选取初
9、始值选取初始值v取下山因子取下山因子t=1。v计算计算 及及v判断判断 是否成立。是否成立。(a)若若当当 时终止迭代，且取时终止迭代，且取当当 时，时，k增加增加1，即将，即将 作为新的作为新的 转转到到继续迭代继续迭代第20页，本讲稿共21页（b）若）若 当当 ，且，且 时令时令 即即将将t缩小一半，转到缩小一半，转到继续迭代。继续迭代。当当 ，且，且 ，终止迭代，取，终止迭代，取 。当当 而而 取取（为一适当增量），即取为一适当增量），即取 作为新的作为新的 转转到到 继续迭代。继续迭代。去国能定出去国能定出t使单调条件使单调条件 成成 立，则称立，则称“下山成功下山成功”。与此相反，则称。与此相反，则称“下山失败下山失败”第21页，本讲稿共21页