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1、第9章 第4节多元复合函数求导法则1本讲稿第一页，共十七页一一.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则定理定理 如果函数如果函数 都在点都在点 可导可导,函数函数在点在点 处可微处可微,在点在点则复合函数则复合函数证证:设设 t 取增量取增量则相应中间变量有增量则相应中间变量有增量可导可导,且有链式法则且有链式法则2本讲稿第二页，共十七页令令 ,则有则有(全导数公式全导数公式)时时,根式前加根式前加“”号号)3本讲稿第三页，共十七页推广推广:1）中间变量多于两个的情形。例如）中间变量多于两个的情形。例如则则在它们都可微的条件下在它们都可微的条件下2）中间变量是多元函数的情形。例如）中间变
2、量是多元函数的情形。例如则则在它们都可微的条件下在它们都可微的条件下4本讲稿第四页，共十七页又如又如当它们都具有可微条件时，则有当它们都具有可微条件时，则有注意注意:这里这里表示表示固定固定 y 对对 x 求导求导表示表示固定固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀:连线相乘连线相乘,分线相加分线相加。与与不同不同5本讲稿第五页，共十七页例例1.设设求 .解解：6本讲稿第六页，共十七页例例2.求解解:7本讲稿第七页，共十七页例例 3.设 求全导数解解:8本讲稿第八页，共十七页解解令令记记同理有同理有9本讲稿第九页，共十七页于是于是10本讲稿第十页，共十七页11本讲稿第十一页，共十七页12本讲稿第十二页，共十七页解解13本讲稿第十三页，共十七页例例7:已知解解:14本讲稿第十四页，共十七页二二.复合函数的全微分复合函数的全微分设函数的全微分为这说明,无论 u,v 是自变量还是中间变量,其全微分表达式一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.则复合函数都可微,15本讲稿第十五页，共十七页例例8.解解:所以16本讲稿第十六页，共十七页17本讲稿第十七页，共十七页