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1、第第5章章 静定桁架和组合结构的受力分静定桁架和组合结构的受力分析析All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院本讲稿第一页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院 本章内容简介本章内容简介:5.1桁架的特点和组成桁架的特点和组成5.2静定平面桁架静定平面桁架 5.3三种平面梁式桁架受力性能比较三种平面梁式桁架受力性能比较 5.4*静定空间桁架静定空间桁架5.5静定组合结构静定组合结构5.6静定结构的特性静定结构的特性第第5章静定桁架和组合结构的受力分析章静定桁架和组合结构的受力分析本讲稿第二页，共六十九页Al
2、l Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.1桁架的特点和组成桁架的特点和组成a)屋架屋架160m80m16mb)桥梁桥梁c)水闸闸门水闸闸门本讲稿第三页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.1.1 关于桁架计算简图的三个假定关于桁架计算简图的三个假定1)各结点都是光滑的理想铰。各结点都是光滑的理想铰。2)各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。3)荷载和支反力都作用在结点上，且通过铰的中心。荷载和支反力都作用在结点上，且通过铰的中心。满足以上假定的桁架，称为满足以上假
3、定的桁架，称为理想桁架理想桁架。上弦杆上弦杆下弦杆下弦杆节间长度节间长度跨度跨度ldh 桁高桁高斜杆斜杆竖杆竖杆1212FNFNFQ1=0FQ2=05.1桁架的特点和组成桁架的特点和组成本讲稿第四页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.1.2 桁架的组成特点桁架的组成特点理想桁架是各直杆在两端用理想铰相连接而组成的几何不变体系理想桁架是各直杆在两端用理想铰相连接而组成的几何不变体系（格构式结构、链杆体系）。（格构式结构、链杆体系）。5.1.3 桁架的力学特性桁架的力学特性理想桁架各杆其内力只有轴力（拉力或压力）而无弯矩和剪力。理想桁架各杆
4、其内力只有轴力（拉力或压力）而无弯矩和剪力。上弦杆上弦杆下弦杆下弦杆节间长度节间长度跨度跨度ldh 桁高桁高斜杆斜杆竖杆竖杆1212FNFNFQ1=0FQ2=05.1桁架的特点和组成桁架的特点和组成本讲稿第五页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.1.4 主内力和次内力主内力和次内力按理想桁架算出的内力（或应力），称为按理想桁架算出的内力（或应力），称为主内力主内力（或主应力）；由于不符合（或主应力）；由于不符合理想情况而产生的理想情况而产生的附加内力附加内力（或应力），称为（或应力），称为次内力次内力（或次应力）。大量的（或次应力）。大
5、量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主应力占总的应力的工程实践表明，一般情况下桁架中的主应力占总的应力的80%以上，所以，以上，所以，主应力的确定是桁架中应力的主要部分。也就是说，桁架的内力主要是轴力。主应力的确定是桁架中应力的主要部分。也就是说，桁架的内力主要是轴力。5.1桁架的特点和组成桁架的特点和组成理想桁架各杆的两端轴力大小相等、方向相反、具有统一作用线，习理想桁架各杆的两端轴力大小相等、方向相反、具有统一作用线，习惯称为惯称为二力杆二力杆。本讲稿第六页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.1.5 静定平面桁架的分类静定平面桁架的
6、分类1.按桁架的几何组成方式分按桁架的几何组成方式分1)简单桁架简单桁架从一个基本铰结三角形或地基上，依次增加二从一个基本铰结三角形或地基上，依次增加二元体而组成的桁架。元体而组成的桁架。a)e)d)5.1桁架的特点和组成桁架的特点和组成本讲稿第七页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院2)联合桁架联合桁架由几个简单桁架按照两刚片或三刚片组成几何不变由几个简单桁架按照两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则构成的桁架。体系的规则构成的桁架。3)复杂桁架复杂桁架不是按上述两种方式组成的其它桁架。不是按上述两种方式组成的其它桁架。b)5.1桁架的特点
7、和组成桁架的特点和组成c)本讲稿第八页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院2.按桁架的外形分按桁架的外形分1)平行弦桁架。平行弦桁架。2)三角形桁架。三角形桁架。3)折弦桁架。折弦桁架。4)梯形桁架。梯形桁架。a)b)d)e)3.按支反力的性质分按支反力的性质分1)梁式桁架或无推力桁架。梁式桁架或无推力桁架。2)拱式桁架或有推力桁架。拱式桁架或有推力桁架。f)5.1桁架的特点和组成桁架的特点和组成本讲稿第九页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.2静定平面桁架静定平面桁架计算静定平面桁
8、架各杆轴力的基本方法，仍是隔离体平衡法。根据计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，仍是隔离体平衡法。根据截取隔离体方式的不同，又区分为截取隔离体方式的不同，又区分为结点法结点法和和截面法截面法。5.2.1 结点法结点法结点法结点法是截取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平衡是截取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平衡条件，求解各杆未知轴力的方法。条件，求解各杆未知轴力的方法。结点法最适合用于计算简单桁架。结点法最适合用于计算简单桁架。本讲稿第十页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院1.利用力三角形与长度三角形对应边的比例关系简化计
9、算利用力三角形与长度三角形对应边的比例关系简化计算 为了便于计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力为了便于计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力FN，而是将其分解为水平分力，而是将其分解为水平分力Fx和和Fy先行计算。利用这个比例关系，就可以很简便地由其中一个力推算其它两个先行计算。利用这个比例关系，就可以很简便地由其中一个力推算其它两个力，而不需要使用三角函数进行计算。力，而不需要使用三角函数进行计算。FNFNFxFylxlyloxyBAa a(长度三角形长度三角形)(力三角形力三角形)5.2.1 结点法结点法5.2静定平面桁架静定平面桁架（5-1）本讲稿第十一页，共六十九页All Rights Res
10、erved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院用图示桁架为例，来说明结点法的应用。用图示桁架为例，来说明结点法的应用。首先，可由桁架的整体平衡条件，求出支反力，标注于图中。然后，首先，可由桁架的整体平衡条件，求出支反力，标注于图中。然后，即可截取各结点解算杆件内力。即可截取各结点解算杆件内力。15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN115kNFN12FN13Fx13Fy135.2.1 结点法结点法5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第十二页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学
11、院15153520120215202015315351520304050604606005152050304004560751206606045754512071204545120-15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN15kN15kN15kN123456-20-20-120201515255040300604575-456060+5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第十三页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院2.利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆利用结点平衡的特殊情况
12、，判定零杆和等力杆 (1)关于零杆的判断关于零杆的判断 在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为零杆零杆。2)T形结点：形结点：成成T形汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线的第三杆（又称形汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线的第三杆（又称单杆单杆）必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。）必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。1)L形结点：形结点：成成L形汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆皆为零杆。形汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆皆为零杆。L形结点形结点T 形结点形结点T形结点（推广）形结点（推广）F
13、N1=0FN2=0FN3=0(单杆单杆)FN2=FN1FN1FN1=FPFN2=0FP=5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第十四页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院(2)关于等力杆的判断关于等力杆的判断1)X形结点：形结点：成成X形汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此共线的杆件的形汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此共线的杆件的内力两两相等。内力两两相等。X形结点形结点FN1FN3FN2=FN1FN4=FN35.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第十五页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院2)
14、K形结点：形结点：成成K形汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在此直形汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载作用，则不共线的两杆内力大小相等而符线同侧且交角相等，若结点上无荷载作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。号相反。3)Y形结点：形结点：成成Y形汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且形汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相同。大小相等且符号相同。K形结点形结点Y形结点形结点FN1F
15、N1FN3FN3FN2=FN1FN2=-FN1FN4 FN3a aa aa aa a5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第十六页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院【例【例5-1】试求图示桁架各杆的轴力。】试求图示桁架各杆的轴力。解：解：(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的支反力。的支反力。(2)判断零杆。判断零杆。(3)计算其余杆件的轴力。计算其余杆件的轴力。AABBCCDDEEEFPFPFPFP1.5aaaaa1.5a4FP/34FP/312345678910FNE1FNE2FxE2FyE2-4
16、 FP/3-4 FP/3-4 FP/3-4 FP/35FP/35FP/35FP/35FP/35.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第十七页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院【例【例5-2】试求图示桁架杆件】试求图示桁架杆件a的轴力。的轴力。解：首先，假设解：首先，假设FN14=FN，取结点，取结点1为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得 FN12=FN14=FNllllFP1234a14设设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFP5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第十八页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程
17、学院重庆大学土木工程学院然后，依次由结点然后，依次由结点2（属（属K形结点推广情况）和结点形结点推广情况）和结点3（属（属K形结点形结点情况），可判定情况），可判定 FN23=-FN12=-FNFN34=-FN23=FN llllFP1234a14设设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFP5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第十九页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院再取结点再取结点4为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得（拉力）（拉力）llllFP1234a14设设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFP5.2静定平面桁架静定平
18、面桁架本讲稿第二十页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院最后，再回到结点最后，再回到结点1，由，由 ，得，得（压力）（压力）llllFP1234a14设设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFP5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第二十一页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院上述这种解题方法，为我国学者所提出，习称上述这种解题方法，为我国学者所提出，习称通路法通路法（或（或初参数法初参数法）。通）。通路法实际上是结点法（或下面将介绍的截面法）再加上一路法实际上是结点法（或下面将介绍
19、的截面法）再加上一“通路边界的平衡条通路边界的平衡条件件”。通路法的具体作法是：通路法的具体作法是：1)选择一适当的通路（如本例从选择一适当的通路（如本例从1234再回到再回到1），要求回），要求回路要通畅，且愈短愈好。先设通路上一杆的轴力为路要通畅，且愈短愈好。先设通路上一杆的轴力为FN。2)由结点法（或截面法）依次求出通路上其它杆的轴力，表为初参数由结点法（或截面法）依次求出通路上其它杆的轴力，表为初参数FN的的函数。函数。3)最后，由结点平衡或取部分结构的平衡，利用通路边界的平衡条件，最后，由结点平衡或取部分结构的平衡，利用通路边界的平衡条件，求出求出FN，于是，整个桁架的计算即无困难。
20、，于是，整个桁架的计算即无困难。5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第二十二页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院由由 ，得，得1FPFPFPFPABCDEFGH2m22m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy25.2静定平面桁架静定平面桁架3.求解一个结点同时包含两个位置斜杆内力的简便方法求解一个结点同时包含两个位置斜杆内力的简便方法 本讲稿第二十三页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院可由比例关
21、系求得可由比例关系求得 1FPFPFPFPABCDEFGH2m22m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy25.2静定平面桁架静定平面桁架即即本讲稿第二十四页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.2.2 截面法截面法截面法截面法是截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离体，利用平面是截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件未知轴力的方法。截面法最适用一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件未知轴力的方法。截
22、面法最适用于联合桁架的计算；以及简单桁架中少数指定杆件的内力计算。于联合桁架的计算；以及简单桁架中少数指定杆件的内力计算。1.选择适当的截面，以便于计算要求的内力选择适当的截面，以便于计算要求的内力 在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平衡方程及其投影轴或在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平衡方程及其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在适当的位置进行分解，就可以避免解联立方程，做矩心，并将杆件未知轴力在适当的位置进行分解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化。到一个平衡方程求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化。5.2静定平面桁架静定平
23、面桁架本讲稿第二十五页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院解：取解：取-截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平衡方程解截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平衡方程解出一个未知力。出一个未知力。由由 ，可得，可得 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,10【例【例5-3】试求图示桁架指定杆件】试求图示桁架指定杆件a、b的轴力。的轴力。5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第二十六页，共六十九页All Rights Reserved重庆
24、大学土木工程学院重庆大学土木工程学院由由 ，可得，可得 1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,105.2静定平面桁架静定平面桁架12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa本讲稿第二十七页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院2.选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力FPFPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFAyFAyFByFByaaABCCCABACxyFNaFNa00(矩心矩心)5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第二
25、十八页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院【例【例5-4】试求图示桁架指定杆件】试求图示桁架指定杆件1、2、3的轴力。的轴力。解：取截面解：取截面-左边部分为隔离体，只需注意选择适当矩心，分别列出左边部分为隔离体，只需注意选择适当矩心，分别列出相应的三个力矩平衡方程，即可求出所截开三杆的未知轴力。相应的三个力矩平衡方程，即可求出所截开三杆的未知轴力。FPACF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一矩心一)FPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二矩心二)FPAC1.5FP(矩心三矩心三)FN1FN3FN2F5
26、.2静定平面桁架静定平面桁架FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FP本讲稿第二十九页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院(1)求求FN3 在在 图图b中，由中，由 ，得，得 1.5FP4-FP2+Fx32=0 FPACF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一矩心一)5.2静定平面桁架静定平面桁架a)b)FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FP本讲稿第三十页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院(2)求
27、求FN2在图在图c中，由中，由 ，得，得 FPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二矩心二)5.2静定平面桁架静定平面桁架a)c)FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FP本讲稿第三十一页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院(3)求求FN1：在图：在图d中，由中，由 ，得，得 FPAC1.5FP(矩心三矩心三)FN1FN3FN2F5.2静定平面桁架静定平面桁架a)d)FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FP本讲稿第三十二页，共六十九页All Righ
28、ts Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院3.截面法求解联合桁架截面法求解联合桁架截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴力。截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴力。作作-截面并取左边（或右边）为隔离体，由截面并取左边（或右边）为隔离体，由 求出求出FNa。FPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFByAABCCDEDaFNa(联系杆联系杆)5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第三十三页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院可作一封闭截面可作一封闭截面-，截取隔离体如图，截取隔离体如图b所示
29、，由所示，由可求出可求出FNb；由；由 ，可求出，可求出FNa；由；由 ，可求出，可求出FNc（由于（由于FN1、FN2均成对出现，计算中有关项相互抵消）。均成对出现，计算中有关项相互抵消）。FPFPFAyFByABCDabc12FPFByFNbFNaFNcFPFN1FN1FN2FN25.2静定平面桁架静定平面桁架a)b)本讲稿第三十四页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.2.3 结点法与截面法的联合运用结点法与截面法的联合运用【例【例5-5】试求图示桁架指定杆件】试求图示桁架指定杆件a、b、c的轴力。的轴力。解：解：(1)求求FNa：
30、取截面：取截面-上边部分为隔离体上边部分为隔离体 5.2静定平面桁架静定平面桁架FP12abc2m2m2m4m4m3m+-本讲稿第三十五页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.2静定平面桁架静定平面桁架(2)求求FNb：取结点：取结点1为隔离体为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-本讲稿第三十六页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.2静定平面桁架静定平面桁架(3)求求FNc：取结点：取结点2为隔离体为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-本讲稿第三十七页，
31、共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院【例【例5-6】试求示桁架指定杆件】试求示桁架指定杆件a、b、c的轴力。的轴力。解：解：(1)求求FNa：取截面：取截面-左边为隔离体左边为隔离体 由由，求得，求得FNa 1234567891011121314abcF1yF12yFP123F1y46FNa(矩心一矩心一)5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第三十八页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院(2)求求FNb：取截面：取截面-左边为隔离体左边为隔离体 由，求出由，求出Fxb，从而按比例求得从而按
32、比例求得FNb。1234567891011121314abcF1yF12yFPF1y1234567FNaFNb(矩心二矩心二)FxbFyb5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第三十九页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.2静定平面桁架静定平面桁架(3)求求FNc：取结点：取结点5为隔离体为隔离体,该结点属于该结点属于K形结点形结点 FNc=-FNb 1234567891011121314abcF1yF12yFP5FNc=-FNbFNb本讲稿第四十页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院
33、【例【例5-7】试求图示桁架指定杆件】试求图示桁架指定杆件a、b的轴力。的轴力。解：解：(1)取结点取结点6为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得由由 ，得，得 12345678ab2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN5.2静定平面桁架静定平面桁架660kN-60kN-60kNFN76=60kN本讲稿第四十一页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院(2)取截面取截面-左边为隔离体，由左边为隔离体，由 ，得，得再由再由 ，得，得 12345678ab2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN573960kN
34、80kNFN76=60kNFNbFN13FN38(矩心一矩心一)(矩心二矩心二)5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第四十二页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院(3)取结点取结点8为隔离体，属于为隔离体，属于X形结点，可知形结点，可知 12345678ab2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN8FNaFN38FN18FN845.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第四十三页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.2.4 对称桁架的计算对称桁架的计算5.2静定平面桁架静
35、定平面桁架若桁架的几何形状、支承形式和杆件刚度（截面尺寸及材料）都若桁架的几何形状、支承形式和杆件刚度（截面尺寸及材料）都关于某一轴线对称，则称此桁架为关于某一轴线对称，则称此桁架为对称桁架对称桁架。FPFPFPFP本讲稿第四十四页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院所谓所谓对称荷载对称荷载，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载；而其作用线重合且方向相同的荷载；而反对称荷载反对称荷载，则是指位于对称轴两边大小，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结
36、构沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。1.对称桁架的基本特性对称桁架的基本特性(1)在对称荷载作用下，对称杆件的内力是对称的，即大小相等，且拉压一致。在对称荷载作用下，对称杆件的内力是对称的，即大小相等，且拉压一致。(2)在反对称荷载作用下，对称杆件的内力是反对称的，即大小相等，但在反对称荷载作用下，对称杆件的内力是反对称的，即大小相等，但拉压相反。拉压相反。(3)在任意荷载作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对称荷载两组，在任意荷载作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对称荷载两组，分别计算出内力后再叠加。分别计算出内力后再叠加
37、。5.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第四十五页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院【例【例5-8】试利用比较简捷的方法计算图】试利用比较简捷的方法计算图5-21a所示桁架各杆的轴力。所示桁架各杆的轴力。解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一般荷载解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算，如图所示。然后，分解为对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算，如图所示。然后，将各对应杆的轴力叠加将各对应杆的轴力叠加。计算过程从略。计算过程从略。1 12 23 34 45 52
38、 2FP3FP/2FP/2aaaaaFP/23FP/2-FPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFP-FP-FP-12345=+5.2静定平面桁架静定平面桁架1FP/2FP/2FP/2-FP/2FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2-+2345本讲稿第四十六页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院+=【例【例5-9】利用对称性重新计算【例】利用对称性重新计算【例5-2】中图示桁架杆件】中图示桁架杆件a的轴力。的轴力。解：解：(1)将荷载与支反力一起分解为对称荷载和反对称荷载，如图所示。将荷载与支反力一起分解为对称荷载和反对称荷载，如图所示。
39、(2)求在对称荷载作用下杆件求在对称荷载作用下杆件a的轴力的轴力FNa1：FNa1=-FP。FPFPFP/2FP/2allll12345671234567FP/2FP/2FP/2FP/200FP/2FP/2FP/2FP/2-FP+FP/2FP/21 12 23 34 45 56 67 7FP/2FP/2FP/2FP/25.2静定平面桁架静定平面桁架本讲稿第四十七页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院(3)求在反对称荷载作用下杆件求在反对称荷载作用下杆件a的轴力的轴力FNa2：FNa2=0(4)将对称荷载作用与反对称荷载作用下杆件将对称荷载作
40、用与反对称荷载作用下杆件a的轴力叠加，即可得出的轴力叠加，即可得出图示杆件的轴力为图示杆件的轴力为 FNa=FNa1+FNa2=(-FP)+0=-FP+5.2静定平面桁架静定平面桁架FPFPFP/2FP/2allll12345671234567FP/2FP/2FP/2FP/200FP/2FP/2FP/2FP/2-FP+=FP/2FP/21 12 23 34 45 56 67 7FP/2FP/2FP/2FP/2本讲稿第四十八页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院2.利用对称性判定桁架零杆利用对称性判定桁架零杆1）在对称荷载作用下，位于对称轴）
41、在对称荷载作用下，位于对称轴处的处的K形结点，若无外力作用，则两斜杆形结点，若无外力作用，则两斜杆轴力为零。轴力为零。2）在反对称荷载作用下，位于对称轴上且与对称轴线垂直的横杆或与对称）在反对称荷载作用下，位于对称轴上且与对称轴线垂直的横杆或与对称轴线重合的竖杆轴力均为零。轴线重合的竖杆轴力均为零。FP/2FP/21 12 23 34 45 56 67 7FP/2FP/2FP/2FP/2FPFPFPFPFPFPFPFPFPFP-FP-FP-123455.2静定平面桁架静定平面桁架1FP/2FP/2FP/2-FP/2FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2-+2345本讲稿第四十九页，共六十九页
42、All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.3三种平面梁式桁架受力性能比较三种平面梁式桁架受力性能比较5.3.1 梁式桁架的受力特点梁式桁架的受力特点FPFPFPFPFPFP/2FP/23FP3FPABCDEFGddddddr=dABCEG2.5FP d2.5FP d4FP d4FP d4.5FP dM0图图本讲稿第五十页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院1）平行弦桁架上下弦杆轴力公式（也适用于三角形桁架和抛物线形桁架）平行弦桁架上下弦杆轴力公式（也适用于三角形桁架和抛物线形桁架）为为 M0为相当简支
43、梁上对应于矩心的弯矩；为相当简支梁上对应于矩心的弯矩；r为弦杆轴力对矩心的力臂。为弦杆轴力对矩心的力臂。FP/2FP3FPADCFE4FP-4FP-1.5FPr=d5.3三种平面梁式桁架受力性能比较三种平面梁式桁架受力性能比较ABCEG2.5FP d2.5FP d4FP d4FP d4.5FP dM0图图（5-2）本讲稿第五十一页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院2）平行弦桁架腹杆（包括竖杆和腹杆）轴力公式为）平行弦桁架腹杆（包括竖杆和腹杆）轴力公式为 5.3三种平面梁式桁架受力性能比较三种平面梁式桁架受力性能比较FP/2FP3FPADC
44、FE4FP-4FP-1.5FPr=dABCEG2.5FP d2.5FP d4FP d4FP d4.5FP dM0图图（5-3）式中，式中，FNy为竖杆的轴力或斜杆轴力的竖向分力；为竖杆的轴力或斜杆轴力的竖向分力；为相当简支梁为相当简支梁与竖杆或斜杆所在荷载弦节间对应的剪力与竖杆或斜杆所在荷载弦节间对应的剪力。本讲稿第五十二页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.3.3 桁架外形对内力分布的影响桁架外形对内力分布的影响5.3.2 桁架内力变化的依据桁架内力变化的依据荷载，是桁架内力变化的外部条件；而桁架的外形和腹杆指向，则荷载，是桁架内力变
45、化的外部条件；而桁架的外形和腹杆指向，则分别是影响桁架内力分布和内力符号的内部依据。分别是影响桁架内力分布和内力符号的内部依据。5.3三种平面梁式桁架受力性能比较三种平面梁式桁架受力性能比较1.平行弦桁架平行弦桁架 1）上、下弦杆对其矩心的力臂为一）上、下弦杆对其矩心的力臂为一常数，因此，弦杆内力与弯矩常数，因此，弦杆内力与弯矩M0的变化的变化规律相同，即两端小，中间大。规律相同，即两端小，中间大。111110.50.502.54-3-2.5-4-4.53.542.52.121.50.71-1d本讲稿第五十三页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工
46、程学院2）腹杆内力的变化规律与相当简）腹杆内力的变化规律与相当简支梁剪力的变化规律相同，即两端大，支梁剪力的变化规律相同，即两端大，中间小。中间小。111110.50.502.54-3-2.5-4-4.53.542.52.121.50.71-1d5.3三种平面梁式桁架受力性能比较三种平面梁式桁架受力性能比较2.三角形桁架三角形桁架 1）各弦杆对应的力臂从两端向）各弦杆对应的力臂从两端向中间按直线增加，其增加的速度快于中间按直线增加，其增加的速度快于按抛物线规律变化的弯矩值增加的速按抛物线规律变化的弯矩值增加的速度，因而弦杆的内力两端大，中间小。度，因而弦杆的内力两端大，中间小。2）利用以端结点
47、为矩心的力矩方程或由结点法计算可以看出，腹杆的内力）利用以端结点为矩心的力矩方程或由结点法计算可以看出，腹杆的内力为两端小，中间大为两端小，中间大。111110.50.5d7.57.56-4.74-6.32-7.910-1.580.5-1.82r1r2r3本讲稿第五十四页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院3.抛物线形桁架抛物线形桁架 1）各下弦杆内力及各上弦杆的水平分力对其矩心的力臂，即为各竖杆的）各下弦杆内力及各上弦杆的水平分力对其矩心的力臂，即为各竖杆的长度。而竖杆的长度与弯矩一样都是按抛物线规律变化的，由式（长度。而竖杆的长度与弯矩
48、一样都是按抛物线规律变化的，由式（5-2）可知，）可知，各下弦杆内力与各上弦杆水平分力的大小（绝对值）都相等，从而各上弦杆各下弦杆内力与各上弦杆水平分力的大小（绝对值）都相等，从而各上弦杆的内力也近于相等。的内力也近于相等。2）根据截面法由每一节间截面的水平投影方程）根据截面法由每一节间截面的水平投影方程 可知，可知，各斜杆内力均为零，并可推知各竖杆的内力也等于零（荷载上承）各斜杆内力均为零，并可推知各竖杆的内力也等于零（荷载上承）或等于下弦结点上的荷载（荷载下承）。或等于下弦结点上的荷载（荷载下承）。111110.50.5d4.54.54.5-4.53-4.75-5.1500000r1r2r
49、3l=6d5.3三种平面梁式桁架受力性能比较三种平面梁式桁架受力性能比较本讲稿第五十五页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院5.3.4 桁架腹杆指向对内力符号的影响桁架腹杆指向对内力符号的影响当结点都承受相同荷载时，平行弦杆和梯形弦杆（坡度当结点都承受相同荷载时，平行弦杆和梯形弦杆（坡度i1/9）之间的各式）之间的各式桁架，凡下斜指向跨度中心（桁架，凡下斜指向跨度中心（N形）的斜杆受拉，反之（反形）的斜杆受拉，反之（反N形）的斜杆受压；结点在形）的斜杆受压；结点在抛物线上的弦杆和三角形弦杆之间的各式桁架，凡下斜指向跨度中心的斜杆受压，反之抛
50、物线上的弦杆和三角形弦杆之间的各式桁架，凡下斜指向跨度中心的斜杆受压，反之受拉。受拉。5.3三种平面梁式桁架受力性能比较三种平面梁式桁架受力性能比较本讲稿第五十六页，共六十九页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院3）三角形桁架的内力分布也不均匀，弦杆内在两端最大，且端结点处夹）三角形桁架的内力分布也不均匀，弦杆内在两端最大，且端结点处夹角甚小，但构造布置较为困难。但是其两斜面符合屋顶构造需要，故只在屋角甚小，但构造布置较为困难。但是其两斜面符合屋顶构造需要，故只在屋架中采用。架中采用。5.3.5 几点结论几点结论1）平行弦桁架内力分布不均匀）平行弦桁架