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1、数学模型 第一章第1页，共18页，编辑于2022年，星期六 既然学习数学的目的是既然学习数学的目的是应用应用,那么那么,作为高等教育中作为高等教育中的数学教育就应该讲的数学教育就应该讲怎样用数学怎样用数学.我们这门课程的教学我们这门课程的教学目的正是如此目的正是如此.我们应该将这门课程当作一门我们应该将这门课程当作一门技术技术课程而不是课程而不是理论知理论知识识来学习来学习.数学理论是枯燥的数学理论是枯燥的,数学结论是完美的数学结论是完美的,数学应用数学应用是现代科学技术和社会发展所必须的是现代科学技术和社会发展所必须的.马克思曾经说过马克思曾经说过:“一门科学只有成功地运用了数一门科学只有成
2、功地运用了数学时学时,才算达到了完善的地步才算达到了完善的地步.”事实上事实上,在现代科学技术飞速发展的今天特别是信在现代科学技术飞速发展的今天特别是信息技术无处不在的时代息技术无处不在的时代,那么那么,数学就会无处不在数学就会无处不在.第2页，共18页，编辑于2022年，星期六 从从科学研究科学研究到到工程技术工程技术,从从工业生产工业生产到到农业发展农业发展,从从医药卫生医药卫生到到文化体育文化体育,从从经济基础经济基础到到政策法律政策法律,从从环境保环境保护护到到社会的可持续发展社会的可持续发展等等等等,数学随同计算机渗透到整个数学随同计算机渗透到整个社会的方方面面社会的方方面面.学好数
3、学学好数学,用好数学用好数学,将成为当代大学将成为当代大学生的必要条件之一生的必要条件之一.本课程的教材为本课程的教材为:数学模型数学模型:姜启源编姜启源编,高等教育出版社高等教育出版社 本课程的参考书本课程的参考书:数学实验数学实验:萧树铁等萧树铁等,高等教育出版社高等教育出版社运筹学运筹学:李维铮等编写李维铮等编写,清华大学出版社清华大学出版社高等数学实验高等数学实验:章栋恩等编章栋恩等编,高等教育出版社高等教育出版社第3页，共18页，编辑于2022年，星期六数学实验室数学实验室:M.H.College编编,白峰杉等译白峰杉等译,高等教育高等教育出版社出版社,Springer出版社出版社数
4、学的原理与实践数学的原理与实践:美国数学及其应用联合会美国数学及其应用联合会(COMAP)组组织编写织编写,申大维等翻译申大维等翻译,高等教育出版社高等教育出版社,Springer出版社出版社Mathematica应用指南应用指南:杨珏等编杨珏等编,人民邮电出版社人民邮电出版社第4页，共18页，编辑于2022年，星期六思维模型思维模型物理模型物理模型直观模型直观模型理想理想(抽象抽象)模型模型物质物质(形象形象,实物实物)模型模型数学模型数学模型符号模型符号模型模模型型的的分分类类二、数学模型二、数学模型第5页，共18页，编辑于2022年，星期六 或者描述为或者描述为:对于现实世界的一个对于现
5、实世界的一个特定问题特定问题,为了一个为了一个特定目的特定目的,根据特有的根据特有的内在规律内在规律,作出一些必要的作出一些必要的简化假简化假设设,运用适当的运用适当的数学工具数学工具,得到的一个得到的一个数学结构数学结构.数学建模数学建模(Mathematical Modeling):是指对一个特定是指对一个特定的现实问题的数学模型的获得、求解这一模型、用其解的现实问题的数学模型的获得、求解这一模型、用其解释现实问题、最终应用于实践的整个过程释现实问题、最终应用于实践的整个过程.数学模型数学模型(Mathematical Model):是由数字、字母、是由数字、字母、数学符号组成的数学符号组
6、成的,用来描述现实对象用来描述现实对象数量规律数量规律的数学公的数学公式、图形、算法式、图形、算法.第6页，共18页，编辑于2022年，星期六1.应用领域分类应用领域分类:如人口、交通、资源、经济等模型如人口、交通、资源、经济等模型;2.数学方法分类数学方法分类:如初等、几何、优化、图论等模型如初等、几何、优化、图论等模型;3.建模目的分类建模目的分类:如分析、预报、决策、控制的模型如分析、预报、决策、控制的模型;4.对模型的了解程度分类对模型的了解程度分类:白箱、黑箱、灰箱模型白箱、黑箱、灰箱模型;5.模型的数学特性分类模型的数学特性分类:确定性模型和随机性模型确定性模型和随机性模型;静态模
7、型和动态模型静态模型和动态模型;线性模型和非线性模型线性模型和非线性模型;离散模型和连续模型离散模型和连续模型.数学模型的分类数学模型的分类:第7页，共18页，编辑于2022年，星期六 航行问题航行问题:甲乙两地相距甲乙两地相距750公里公里,船从甲地到乙地顺水船从甲地到乙地顺水航行需要航行需要30小时小时,从乙地到甲地逆水航行需要从乙地到甲地逆水航行需要50小时小时,问船问船速和水流速各是多少速和水流速各是多少?用用x,y分别表示船速和水流速分别表示船速和水流速,依据问题的描述可以用依据问题的描述可以用二元一次方程组来描述二元一次方程组来描述,即即此式就是航行问题的数学模型此式就是航行问题的
8、数学模型,它将这个实际问题转化它将这个实际问题转化为一个纯粹的数学问题为一个纯粹的数学问题.其解法是大家熟知的其解法是大家熟知的,即即 x=20(公里公里/小时小时),y=5(公里公里/小时小时),这就是航行问题的答案这就是航行问题的答案.数学建模和数学模型数学建模和数学模型第8页，共18页，编辑于2022年，星期六 在高等数学的微分方程内容中我们介绍了在高等数学的微分方程内容中我们介绍了 两个实例两个实例,即即物体的自由振荡问题和串联电路的振荡问题物体的自由振荡问题和串联电路的振荡问题,分别得到了它们分别得到了它们的微分方程模型的微分方程模型:从实际从实际(物理物理)意义上看意义上看,这是两
9、个完全不同的问题这是两个完全不同的问题,但是从它们的数学模型来看但是从它们的数学模型来看,都是都是二阶常系数线性微分二阶常系数线性微分方程方程,数学意义上没有区别数学意义上没有区别.第9页，共18页，编辑于2022年，星期六1.模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性;2.模型的强健性模型的强健性(稳定性稳定性);3.模型的可推广性模型的可推广性(可转移性可转移性);4.模型的非预制性模型的非预制性;5.模型的局限性模型的局限性;6.建立模型的条理性建立模型的条理性;7.建立模型的渐进性建立模型的渐进性;8.建立模型的技艺性建立模型的技艺性.数学模型的特点数学模型的特点:第10页，共18页，编
10、辑于2022年，星期六 数学建模的具体过程数学建模的具体过程为为:从现实问题出发从现实问题出发,对其进行抽象、简化对其进行抽象、简化,建立符合建立符合该现实问题的数学模型该现实问题的数学模型,并利用相应的数学方法进行求并利用相应的数学方法进行求解解,进而对问题作出解释进而对问题作出解释,反复此过程反复此过程,直到对问题的直到对问题的解答满意后解答满意后,再进行推广应用于与此问题相关的一类问再进行推广应用于与此问题相关的一类问题题.这一点将在数学建模的过程中详细介绍这一点将在数学建模的过程中详细介绍.由于推广的需要由于推广的需要,有时需要对模型中的参数进行灵敏度分有时需要对模型中的参数进行灵敏度
11、分析析,即即,由于参数的变化模型对解的稳定性由于参数的变化模型对解的稳定性,这也是模型优劣这也是模型优劣的评价标准之的评价标准之 一一.三、数学建模的过程和方法三、数学建模的过程和方法第11页，共18页，编辑于2022年，星期六实际问题实际问题建立数学模型建立数学模型求解计算求解计算应用于实践应用于实践抽象抽象简化简化否否结束结束解释解释实际问题实际问题类类型型方方法法是是结果分析结果分析分析分析预报预报决策决策控制控制数学建模过程框图数学建模过程框图第12页，共18页，编辑于2022年，星期六建立数学模型的步骤建立数学模型的步骤 模型准备模型准备:了解背景了解背景,明确目的明确目的,搜集信息
12、搜集信息,弄清对象弄清对象的特征的特征,了解有关的专业知识了解有关的专业知识.模型假设模型假设:根据对象的特征和建模的目的根据对象的特征和建模的目的,进行必进行必要的、合理的简化要的、合理的简化,用精确的相关专业语言作出假设用精确的相关专业语言作出假设.发挥想象力、洞察力和判断力发挥想象力、洞察力和判断力,辨别主次因素辨别主次因素.模型构成模型构成:根据假设根据假设,分析因果关系分析因果关系,利用对象的内利用对象的内在规律和数学工具在规律和数学工具,构造各个量构造各个量(常量和变量常量和变量)之间的数之间的数学关系和学关系和(或或)数学结构数学结构.尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具
13、,便便于应用和推广于应用和推广.第13页，共18页，编辑于2022年，星期六 模型求解模型求解:采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计特别是计算机技术算机技术.模型分析模型分析:对模型的解进行数学上的分析对模型的解进行数学上的分析,分析变分析变(常常)量间的依赖关系和稳定状况量间的依赖关系和稳定状况,有时需要给出数学上有时需要给出数学上的最优决策、预报或控制的最优决策、预报或控制.要进行误差分析、模型对数要进行误差分析、模型对数据的稳定性分析或灵敏性分析据的稳定性分析或灵
14、敏性分析.模型检验模型检验:把数学结果翻译回实际问题把数学结果翻译回实际问题,与实际的现象或与实际的现象或数据相比较数据相比较,检验模型的合理性和适用性检验模型的合理性和适用性.模型应用模型应用:它取决于问题的性质和建模的目的它取决于问题的性质和建模的目的.第14页，共18页，编辑于2022年，星期六建立数学模型的方法建立数学模型的方法 机理分析机理分析:根据对现实对象特性的认识根据对现实对象特性的认识,分析其因果分析其因果关系关系,找出反映内部机理的规律找出反映内部机理的规律.由此建立的数学模型由此建立的数学模型常有明确的现实意义常有明确的现实意义.测试分析测试分析:将研究对象视为将研究对象
15、视为“黑箱黑箱”系统系统,不直接不直接寻求内部机理寻求内部机理,利用测试系统的输入输出数据利用测试系统的输入输出数据,运用统运用统计分析的方法计分析的方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合最好的模型出一个与数据拟合最好的模型.这种方法也称为这种方法也称为系统识系统识别别.往往这两种方法同时使用往往这两种方法同时使用:用机理分析建立模型的用机理分析建立模型的结构结构,用系统识别确定模型的参数用系统识别确定模型的参数.第15页，共18页，编辑于2022年，星期六 1.有一定的数学基础知识和运算能力有一定的数学基础知识和运算能力,如微积分、解析如微
16、积分、解析几何、几何、(常常)微分方程、线性代数、概率统计、数值分析、运微分方程、线性代数、概率统计、数值分析、运筹学等筹学等,及其相关的解及其相关的解(算算)法法.2.有严密的逻辑思维和推理能力有严密的逻辑思维和推理能力;3.充分发挥想象力和洞察力充分发挥想象力和洞察力;4.掌握科学的方法掌握科学的方法:如类比法、递归法、理想化方如类比法、递归法、理想化方法等法等;5.具有一定的直觉和灵感具有一定的直觉和灵感.培养数学建模的能力培养数学建模的能力:第16页，共18页，编辑于2022年，星期六 与数学建模密切相关的问题是与数学建模密切相关的问题是数学模拟数学模拟,由于这种模拟由于这种模拟是以计
17、算机为重要工具进行的是以计算机为重要工具进行的,所以又称为所以又称为计算机模拟计算机模拟(Computer Simulation).随着计算机模拟技术的发展随着计算机模拟技术的发展,特别是微型计算机的普及特别是微型计算机的普及,数学教育工作者们发现数学教育工作者们发现,沿沿着着定义定义假设假设证明证明推论推论这么一条演绎的道路进行的数学教育完全可以从一条用这么一条演绎的道路进行的数学教育完全可以从一条用归纳方法和实验手段进行归纳方法和实验手段进行,即即,实例实例上机实验上机实验发现规律发现规律提出猜想提出猜想论证证明论证证明应用于实践应用于实践这就是数学实验这就是数学实验.四、数学实验四、数学
18、实验第17页，共18页，编辑于2022年，星期六 数学建模与数学实验是新的教育思想的产物数学建模与数学实验是新的教育思想的产物.数学数学实验课程在国外有二十多年的时间实验课程在国外有二十多年的时间,在国内进行较早的在国内进行较早的院校也有近二十年了院校也有近二十年了.在教学中为大家提供一个数学软件包在教学中为大家提供一个数学软件包Mathematica,供大家学习使用供大家学习使用,并可能在今后的学习、设计以及在并可能在今后的学习、设计以及在将来的工作中发挥作用将来的工作中发挥作用.如果真能达到这一目的如果真能达到这一目的,我们我们为此课程工作的教师们会感到高兴为此课程工作的教师们会感到高兴.数学实验步入数学教育领域产生了数学教育思想的数学实验步入数学教育领域产生了数学教育思想的重大改革重大改革.第18页，共18页，编辑于2022年，星期六