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1、数学特点与中学数学现在学习的是第1页，共83页第一节第一节对数学的认识对数学的认识n一、数学是什么一、数学是什么n数学数学研究现实世界的数量关系和空间研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。（恩格斯）形式的科学。（恩格斯）现在学习的是第2页，共83页n数量不仅是实数，而且是向量、张量，数量不仅是实数，而且是向量、张量，甚至是有代数结构的抽象集合中的元；甚至是有代数结构的抽象集合中的元；n空间也不是仅指三维空间，还有空间也不是仅指三维空间，还有n维、维、无穷维以及具有某种结构的抽象空间。无穷维以及具有某种结构的抽象空间。现在学习的是第3页，共83页对数学的不同认识n中国古代中国古代数学是术数学是
2、术n古希腊古希腊数学是一个公理体系数学是一个公理体系n数学是科学数学是科学n数学是一门创造的艺术数学是一门创造的艺术n数学是一种语言数学是一种语言n数学是一种文化数学是一种文化现在学习的是第4页，共83页从从哲学角度哲学角度看数学本质看数学本质n动态的：成长发展且不断变化的动态的：成长发展且不断变化的n静态的：数学是具有一整套已知的、确静态的：数学是具有一整套已知的、确定的概念、原理和技能体系。定的概念、原理和技能体系。n螺旋式上升螺旋式上升现在学习的是第5页，共83页历史上的三次数学危机历史上的三次数学危机数学发展史上有数学发展史上有三次三次数学危机。每数学危机。每一次一次数学危机数学危机，
3、都是数学的基本部分受，都是数学的基本部分受到到质疑质疑。实际上，也恰恰是这三次危。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的机，引发了数学上的三次思想解放三次思想解放，大大大大推动了数学科学的发展推动了数学科学的发展。现在学习的是第6页，共83页第一次数学危机第一次数学危机第一次数学危机是由第一次数学危机是由不能写成不能写成两个整数之比引发的两个整数之比引发的现在学习的是第7页，共83页这一危机发生在公元前这一危机发生在公元前5世纪，危机世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现数比，但突然发现不能表为整数比。不能表为整数比。其实质是：其
4、实质是：是无理数，全体整数之比构是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。（添加无理数。（毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派）现在学习的是第8页，共83页第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的内部提出的第二次数学危机则是由牛顿学派的第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿“无穷小量无穷小量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。现在学习的是
5、第9页，共83页1危机的引发危机的引发1）牛顿的）牛顿的“无穷小无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。也有逻辑上的问题。现在学习的是第10页，共83页微积分的一个来源，是想求运动微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的物体在某一时刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿。在牛顿之前，只能求一段时间内的之前，只能求一段时间内的平均速度平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。无法求某一时刻的瞬时速度。现在学习的是第11页，共83页比值比值是这段时间内物体的平均速度。是这段时间内物体的平均速度。牛顿设
6、想：牛顿设想：越小，这个平均速度应当越接近越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻物体在时刻的瞬时速度。当的瞬时速度。当越来越小越来越小（当然（当然也越来越小），最后成为无穷小，也越来越小），最后成为无穷小，将要变成将要变成0而还不是而还不是0的时候，的时候，两个无穷小两个无穷小之比之比,就是所要求的就是所要求的瞬时速度瞬时速度。现在学习的是第12页，共83页牛顿的这一方法很好用，解决了大量牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到指责。不严格，遭到指责。现在学习的是第13页，共83页2）贝克莱的发难）贝克莱的发难英国的贝克莱
7、大主教发表文章猛烈英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。攻击牛顿的理论。贝克莱问道：贝克莱问道：“无穷小无穷小”作为一个作为一个量，究竟是不是量，究竟是不是0？现在学习的是第14页，共83页牛顿的这一套运算方法，就如同从牛顿的这一套运算方法，就如同从出发，两端同除以出发，两端同除以0，得出，得出5=3一样的荒一样的荒谬。谬。现在学习的是第15页，共83页贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱还讽刺挖苦说：即然和和都变都变成成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量，既了，而无穷小作为一个量，既不是不是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。这就是著名的这就是著
8、名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。现在学习的是第16页，共83页2危机的实质危机的实质第二次数学危机的实质是什么？第二次数学危机的实质是什么？实质上是缺少严密的极限概念和实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础极限理论作为微积分学的基础现在学习的是第17页，共83页第三次数学危机n1.危机的引发罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机现在学习的是第18页，共83页罗素悖论是：罗素悖论是：以以表示表示“是其本身成员的是其本身成员的所有集合的集合所有集合的集合”（所有异常集合的集合），（所有异常集合的集合），而以而以表示表示“不是它本身成员的所有集合的集不是它本身成员的所有集
9、合的集合合”（所有正常集合的集合），于是任一集合（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于或者属于，或者属于，或者属于，两者必居其一，且，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合只居其一。然后问：集合是否是它本身的是否是它本身的成员？（集合成员？（集合是否是异常集合？）是否是异常集合？）现在学习的是第19页，共83页罗素悖论的通俗化罗素悖论的通俗化“理发师悖理发师悖论论”：某村的一个理发师宣称，他给：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。脸。问：理发师是否给自己刮脸？问：理发师是否给自己刮脸？现在学习的是第20页，共83页如果他给自己刮脸
10、，他就属于自己给如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的人，按宣称的原则，理不给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。盾。现在学习的是第21页，共83页二、数学的价值二、数学的价值n数学的社会价值数学的社会价值n数学的文化价值数学的文化价值n数学的教育价值数学的教育价值现在学习的是第22页，共83页1、数学的社会价值n从社会功能
11、看，数学知识的四种形态：n作为符号系统的数学n作为形式系统的数学基础数学n作为算法系统的数学计算数学n作为模糊系统的数学应用数学现在学习的是第23页，共83页基础数学n基础数学基础数学是数学中的核心，也是最纯粹最抽是数学中的核心，也是最纯粹最抽象的部分。象的部分。n它大致由三个分支组成：分析、代数和几何。它大致由三个分支组成：分析、代数和几何。这三者又相互交叉和渗透，从而产生解析几何、这三者又相互交叉和渗透，从而产生解析几何、解析数论、代数几何等学科。解析数论、代数几何等学科。n此外研究随机现象的概率论、研究形式推理的此外研究随机现象的概率论、研究形式推理的数理逻辑等，也属于基础数学。数理逻辑
12、等，也属于基础数学。现在学习的是第24页，共83页应用数学n应用数学研究现实中具体的数学问题，它既采用应用数学研究现实中具体的数学问题，它既采用基础数学的成果，同时又反过来从实际中提炼问题、基础数学的成果，同时又反过来从实际中提炼问题、探讨新思想和新方法以丰富基础数学。探讨新思想和新方法以丰富基础数学。n数学应用的领域虽无边际，但大致也可分为三方面：数学应用的领域虽无边际，但大致也可分为三方面：经济建设（工、农、商等）；科学与技术（特别是高科经济建设（工、农、商等）；科学与技术（特别是高科技）；军事与国防。技）；军事与国防。运筹学、控制论与数理统计运筹学、控制论与数理统计等学科等学科中，大部分
13、内容属于应用数学；而中，大部分内容属于应用数学；而经济数学、生物数学经济数学、生物数学等，则是比较标准的应用数学学科。等，则是比较标准的应用数学学科。现在学习的是第25页，共83页应用举例n例1、采用可靠性方法，美国研制采用可靠性方法，美国研制MZMZ导弹的发射试验从导弹的发射试验从原来的原来的3636次减少为次减少为2525次，可靠性却从次，可靠性却从7272提高到提高到9393。n例2、海湾战争中，美国将大批人员和物资调运到位，海湾战争中，美国将大批人员和物资调运到位，只用了短短一个月时间。这是由于他们运用了运筹学和只用了短短一个月时间。这是由于他们运用了运筹学和优化技术。优化技术。现在学
14、习的是第26页，共83页n例例3、X射线计算机层析摄影仪（简称射线计算机层析摄影仪（简称CT）的问世是本世纪医学中的奇迹，其）的问世是本世纪医学中的奇迹，其原理是基于不同的物质有不同的原理是基于不同的物质有不同的X射线射线衰减系数。衰减系数。n 如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像。但通过维图像。但通过X X射线透射时，只能测量到人体的直线上的射线透射时，只能测量到人体的直线上的X X射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化。
15、值（依赖于某参数）也随之变化。现在学习的是第27页，共83页n能否通过此平均值以求出整个衰减系统的分布能否通过此平均值以求出整个衰减系统的分布呢？人们利用数学中的呢？人们利用数学中的RadonRadon变换解决了此问题，变换解决了此问题，RadonRadon变换已成为变换已成为CTCT理论的核心。理论的核心。现在学习的是第28页，共83页计算数学n计算数学偏重于计算，早期它致力于求出各计算数学偏重于计算，早期它致力于求出各种方程（代数方程、（偏）微分方程、微积分方种方程（代数方程、（偏）微分方程、微积分方程等）的数值解。程等）的数值解。n近近40年来，计算数学有了极其迅速的发展，这年来，计算数
16、学有了极其迅速的发展，这主要是由于电子计算机的出现。主要是由于电子计算机的出现。n计算机的高速计算使得许多过去无法求解的问题计算机的高速计算使得许多过去无法求解的问题成为可解，从而大大扩展了数学的应用范围。成为可解，从而大大扩展了数学的应用范围。现在学习的是第29页，共83页n例如，短期天气预报、高速运行器的控制，离开例如，短期天气预报、高速运行器的控制，离开计算数学和计算机是不可能的。计算数学和计算机是不可能的。n近期，由于计算机模拟、计算辅助证明（如四近期，由于计算机模拟、计算辅助证明（如四色问题的证实）在人工智能中的应用，以及计算力色问题的证实）在人工智能中的应用，以及计算力学、计算物理
17、、计算化学、计算几何、计算概率等学、计算物理、计算化学、计算几何、计算概率等新学科的诞生等等，使得计算数学雄风大振。新学科的诞生等等，使得计算数学雄风大振。现在学习的是第30页，共83页n今天，人们已把计算作为与理论、实今天，人们已把计算作为与理论、实验鼎足而立的第三种科学方法而引入科验鼎足而立的第三种科学方法而引入科学界。学界。现在学习的是第31页，共83页应用举例：石油勘探石油勘探n石油深藏地下，人们通过人工地震记下反向回石油深藏地下，人们通过人工地震记下反向回来的地震波，波形随着地层地质的不同而变化。来的地震波，波形随着地层地质的不同而变化。n 用计算机处理所得的波形数据可以提供地下岩用
18、计算机处理所得的波形数据可以提供地下岩层、岩性以及有关石油、天然气等的知识。层、岩性以及有关石油、天然气等的知识。n 19911991年年5 5月，美国壳牌石油公司应用计算技术于新奥尔良以月，美国壳牌石油公司应用计算技术于新奥尔良以南南3939公里的河流之下公里的河流之下930930公里处，探明了一个储量超过公里处，探明了一个储量超过1010亿桶亿桶的大油田。的大油田。现在学习的是第32页，共83页n基础数学、应用数学与计算数学既有各自的特点基础数学、应用数学与计算数学既有各自的特点又紧密相互联系。又紧密相互联系。n 一个重大的数学问题，特别是从实际中提出一个重大的数学问题，特别是从实际中提出
19、的数学问题，都需要上述三种数学的内容和方的数学问题，都需要上述三种数学的内容和方法。法。n 建立数学模型，寻求解题方法，需要基础建立数学模型，寻求解题方法，需要基础数学和应用数学，而使解题方法得以实现，则数学和应用数学，而使解题方法得以实现，则离不开计算数学。这三种数学互相补充，互相离不开计算数学。这三种数学互相补充，互相渗透，大大地促进了整个数学科学的发展。渗透，大大地促进了整个数学科学的发展。现在学习的是第33页，共83页2、数学的文化价值、数学的文化价值n(1)数学数学文化中的独特部分文化中的独特部分n数学教育家波耶说过：数学教育家波耶说过：“科学不仅是生活的工具，也科学不仅是生活的工具
20、，也是一种思想的习惯。而数学则不仅是一大堆算法，也是是一种思想的习惯。而数学则不仅是一大堆算法，也是文化的一个组成部分。文化的一个组成部分。现在学习的是第34页，共83页n数学确实是一种文化，它对人的影响无处不在，只是许多数学确实是一种文化，它对人的影响无处不在，只是许多人没有意识到人没有意识到n著名的美国著名的美国科学科学杂志特约主编斯蒂恩说得更清楚：杂志特约主编斯蒂恩说得更清楚：“数学数学在人类特性和人类的历史中，它的地位绝不亚在人类特性和人类的历史中，它的地位绝不亚于语言、艺术或宗教。于语言、艺术或宗教。”现在学习的是第35页，共83页n数学和其他科学、艺术一样，是人类共同的精神财富，数
21、学和其他科学、艺术一样，是人类共同的精神财富，数学是人类智慧的结晶。它表达了人类思维中生动活泼的意数学是人类智慧的结晶。它表达了人类思维中生动活泼的意念，表达了人类对客观世界深入细致的思考，以及人类追求念，表达了人类对客观世界深入细致的思考，以及人类追求完美和谐的愿望。完美和谐的愿望。现在学习的是第36页，共83页n早在古希腊时代，哲学家柏拉图把数学看作是文化的最高理想。他说：早在古希腊时代，哲学家柏拉图把数学看作是文化的最高理想。他说：“几何学可以将灵魂引向真理，并且创造出爱智的精神几何学可以将灵魂引向真理，并且创造出爱智的精神”。n数学家毕达哥拉斯认为数学家毕达哥拉斯认为“数统治宇窗数统治
22、宇窗”，即认为宇宙的本原是数。他们，即认为宇宙的本原是数。他们意识到，宇宙是有其自身规律的，而宇窗的规律可以用数学的方式来表现。意识到，宇宙是有其自身规律的，而宇窗的规律可以用数学的方式来表现。数学思想、方法可以成为人认识宇宙、表达客观规律的一种方式、一种途数学思想、方法可以成为人认识宇宙、表达客观规律的一种方式、一种途径。径。n近代有人把数学看作理性的音乐，把音乐看作感性的数学，恰近代有人把数学看作理性的音乐，把音乐看作感性的数学，恰如其分地道出了数学和音乐的共通之处。如其分地道出了数学和音乐的共通之处。现在学习的是第37页，共83页（2）数学）数学现代公民必须具备的文化素养现代公民必须具备
23、的文化素养n有利于培养严谨的思维方式有利于培养严谨的思维方式前苏联教育家加里宁说过，前苏联教育家加里宁说过，“数学是思想的体操数学是思想的体操”说的说的就是数学对培养严格的逻辑思维有非常重要的作用。尽管就是数学对培养严格的逻辑思维有非常重要的作用。尽管大多数学生将来不会成为数学家，但是条理性、逻辑性作大多数学生将来不会成为数学家，但是条理性、逻辑性作为一种文化素质对他们将来从事任何一种职业都是需要的。为一种文化素质对他们将来从事任何一种职业都是需要的。现在学习的是第38页，共83页n有利于培养学生的创新精神有利于培养学生的创新精神数学是人类理性文明高度发展的结晶，体现出人的巨数学是人类理性文明
24、高度发展的结晶，体现出人的巨大的创造力。同时，数学又是人类创新的锐利工具。无论数大的创造力。同时，数学又是人类创新的锐利工具。无论数学知识的应用或是数学知识的发展，都需要研究新问题，根学知识的应用或是数学知识的发展，都需要研究新问题，根据实际情况做出恰如其分的分析，并由此找到解决问题的途据实际情况做出恰如其分的分析，并由此找到解决问题的途径。这里没有现成的答案可循，需要某种程度上的创新。径。这里没有现成的答案可循，需要某种程度上的创新。n而这种创新能力的培养，正是我们的教育目的之一。学而这种创新能力的培养，正是我们的教育目的之一。学习数学知识，应用数学知识，正是一种培养学生创新精神的习数学知识
25、，应用数学知识，正是一种培养学生创新精神的有效途径。有效途径。现在学习的是第39页，共83页n有利于培养科学的审美观有利于培养科学的审美观数学教育有利于美育教育和科学教育相结合，培养科学数学教育有利于美育教育和科学教育相结合，培养科学的审美观。的审美观。n 而数学本身体现出的简洁美而数学本身体现出的简洁美(抽象美、符号美、统一美等抽象美、符号美、统一美等)、和谐美、和谐美(对称美、形式美等对称美、形式美等)、奇异美、奇异美(有限美、神秘美等有限美、神秘美等)会给学生以美的熏陶，数学所揭示的规律会加深学生对美的会给学生以美的熏陶，数学所揭示的规律会加深学生对美的理解，而学习数学的过程也会使学生体
26、验数学作为人类智慧理解，而学习数学的过程也会使学生体验数学作为人类智慧的结晶所洋溢出的精神美。的结晶所洋溢出的精神美。现在学习的是第40页，共83页3、数学的教育价值、数学的教育价值n数学科学的工具价值数学科学的工具价值n数学科学的认识价值数学科学的认识价值n数学科学的精神价值数学科学的精神价值n数学科学的美学价值数学科学的美学价值现在学习的是第41页，共83页数学科学的认识价值n数学是思维训练的体操，数学是思维训练的体操，数学方法数学方法是核心；是培养探索解决问题能力的最是核心；是培养探索解决问题能力的最经济的场地；是辩证思维的辅助工具和经济的场地；是辩证思维的辅助工具和表现形式表现形式现在
27、学习的是第42页，共83页例：头发根数的问题n几年前，曾经有人撰文提到，在上海城乡，至几年前，曾经有人撰文提到，在上海城乡，至少有少有100100个人在同一瞬间具有同样多的头发根数。个人在同一瞬间具有同样多的头发根数。此文发表后，作者收到大量读者来信，很多人此文发表后，作者收到大量读者来信，很多人表示疑义：你从哪里来的统计资料？如果没有表示疑义：你从哪里来的统计资料？如果没有可靠的资料，你岂能得出如此大胆的结论？可靠的资料，你岂能得出如此大胆的结论？现在学习的是第43页，共83页问题的解决n鸽巢原理：1010只鸽子飞回家，但是只有只鸽子飞回家，但是只有9 9个洞，个洞，那么必然有一个洞里至少要
28、飞进那么必然有一个洞里至少要飞进2 2只鸽子。只鸽子。现在学习的是第44页，共83页n人的头发根教不是无限的，而是有个人的头发根教不是无限的，而是有个“上限上限”的。的。医学专家指出，一般人的头发根数不会超过医学专家指出，一般人的头发根数不会超过10万。万。n上海城乡人口总数早已超过上海城乡人口总数早已超过1000万人。把头上有万人。把头上有0根头发的根头发的人（即全秃者）看作一个抽屉，有人（即全秃者）看作一个抽屉，有1根头发的人看作一个抽根头发的人看作一个抽屉，有屉，有2根头发的人也看作一个抽屉根头发的人也看作一个抽屉这样可以得到大这样可以得到大概概10万个抽屉。万个抽屉。n根据抽屉原理，把
29、根据抽屉原理，把1000万人放到万人放到10万个抽屉里，至少万个抽屉里，至少有有10000000100000=100（个）人属于同一个抽屉，也就（个）人属于同一个抽屉，也就是说这是说这100个人的头发根数是相同的。个人的头发根数是相同的。现在学习的是第45页，共83页n数学的精神价值数学的精神价值n数学作为一种创造性活动，不断提高人类数学作为一种创造性活动，不断提高人类的精神境界，推动人类的精神文明。的精神境界，推动人类的精神文明。3.1理性精神理性精神n人们对外部客观世界与自身的人们对外部客观世界与自身的一种理智的、一种理智的、根本的看法或态度。根本的看法或态度。n数学研究对象：数学研究对象
30、：不依人的意识而独立存在，不依人的意识而独立存在，抽象思维的产物。抽象思维的产物。n研究方法：逻辑的、理智的、定量的研究方法：逻辑的、理智的、定量的现在学习的是第46页，共83页n欧几里德欧几里德几何原本几何原本13卷卷n如何对零散的几何事实和经验进行系统如何对零散的几何事实和经验进行系统整理，使其成为一门学科。整理，使其成为一门学科。n公设、公理、定义的基础上，推导出几公设、公理、定义的基础上，推导出几何的内容。何的内容。（理性思维）（理性思维）几何学起源于古埃及，但几何学起源于古埃及，但为什么在古希腊得到辉煌为什么在古希腊得到辉煌的发展？的发展？现在学习的是第47页，共83页n3.2求实精
31、神求实精神n肯定命题肯定命题证明证明n否定命题否定命题反例反例n费尔马数费尔马数经过经过68年欧拉否定了猜想。年欧拉否定了猜想。现在学习的是第48页，共83页n尊重事实、尊重科学、尊重规律、实事求尊重事实、尊重科学、尊重规律、实事求是、不迷信、不盲从。是、不迷信、不盲从。n3.3创造精神创造精神n数学是创造性活动的精神产物。数学是创造性活动的精神产物。n数学概念的建立（无理数、虚数、极限等）数学概念的建立（无理数、虚数、极限等）n数学原理的发明、发现（公式、定理、体数学原理的发明、发现（公式、定理、体系等）系等）现在学习的是第49页，共83页美学价值1、统一美统一美2、简洁美、简洁美3、匀称美
32、、匀称美4、奇异美、奇异美现在学习的是第50页，共83页一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式x=(加、减、乘、除、乘方、开方）六种代数运算统加、减、乘、除、乘方、开方）六种代数运算统一一在同一公式在同一公式中。中。把把1，0（算术数）、（算术数）、i(代数）、代数）、(几何）、几何）、e(分分析）统一起来。析）统一起来。统一美统一美现在学习的是第51页，共83页简洁美n数学符号的引入即是简洁美的体现。数学符号的引入即是简洁美的体现。现在学习的是第52页，共83页乘法的引入即是避免重复相加乘法的引入即是避免重复相加。在初等几何中要求公理系统中的公理简洁、自明，本身在初等几何中要求公理系统
33、中的公理简洁、自明，本身即追求简洁美。即追求简洁美。二进制即是从逻辑关系简洁考察中得到的结果。二进制即是从逻辑关系简洁考察中得到的结果。化归方法之所以有广泛应用，主要在于通过化归，化归方法之所以有广泛应用，主要在于通过化归，使问题化难为使问题化难为易易、化繁为、化繁为简简。方程组方程方程组方程分式分式整式整式空间空间 平面平面（消元降次）（消元降次）无理无理有理化有理化面面、线面面面、线面 线线线线现在学习的是第53页，共83页匀称美n黄金分割比：黄金分割比：智慧女神雅典娜，太阳神智慧女神雅典娜，太阳神阿波罗的身段比接近黄金分割比。阿波罗的身段比接近黄金分割比。n球、圆、轴对称、中心对称，给人
34、美观舒适之感球、圆、轴对称、中心对称，给人美观舒适之感n微分、积分、正、负、分、整、有理数、无理数、微分、积分、正、负、分、整、有理数、无理数、实数实数n到虚数等数的扩张是追求匀称美的突破到虚数等数的扩张是追求匀称美的突破现在学习的是第54页，共83页杨辉三角形杨辉三角形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 1现在学习的是第55页，共83页三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式圆内接四边形面积圆内接四边形面积现在学习的是第56页，共83页奇异美n奇异、新颖、出乎意料而引起人们的赞奇异、新颖、出乎意料而引起人们的赞美美现在学习的是第57页，共83页例子n亲和数亲和数220和和
35、284的关系体现奇异美。的关系体现奇异美。n亲和数是一对数，其中每一个数是另一个数的因数之和。毕达哥亲和数是一对数，其中每一个数是另一个数的因数之和。毕达哥拉斯学派得到过非平凡的发现，即拉斯学派得到过非平凡的发现，即220和和284是亲和数。是亲和数。220的因数是的因数是1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它们的和是，它们的和是284；另；另一方面，一方面，284的因数是的因数是1，2，4，71，142，它们的和是，它们的和是220。这一对数这一对数220和和284被认为是友谊的象征。马丁被认为是友谊的象征。马丁加德纳加德纳(MartinGardner)的书的书数学魔
36、术数学魔术(MathematicalMagic)中谈到过中世纪出售的中谈到过中世纪出售的一种护身符，这种护身符上刻有这两个数字，其理由是佩戴这种护身符能一种护身符，这种护身符上刻有这两个数字，其理由是佩戴这种护身符能促进爱情。有一种习俗，就是在一只水果上刻下促进爱情。有一种习俗，就是在一只水果上刻下220这个数字，在另一只这个数字，在另一只水果上刻下水果上刻下284，然后将第一只吃下，将第二只送给所爱的人吃。，然后将第一只吃下，将第二只送给所爱的人吃。现在学习的是第58页，共83页n学习了两数差的平方公式后，引导学生研究如学习了两数差的平方公式后，引导学生研究如下问题下问题n98=（100-2
37、）=9604n998=（1000-2）=996004n999.8=999.6000.4n97，997，.是否有类似的规律呢？是否有类似的规律呢？n99，999，.规律又如何？规律又如何？呢？呢？现在学习的是第59页，共83页n数学教师：数学教师：教师体味教师体味挖掘挖掘渗透渗透学生领略学生领略外在美外在美内在美内在美现在学习的是第60页，共83页第二节中学数学的特点n一、作为科学的数学的特点n二、中学数学的特点与教学现在学习的是第61页，共83页一、作为科学的数学的特点n1、高度抽象性高度抽象性：n任何学科都具有抽象性，只是数学学科与其他学科相比较，任何学科都具有抽象性，只是数学学科与其他学科
38、相比较，抽象程度更高。数学的抽象只保留了量的关系而舍弃一切质抽象程度更高。数学的抽象只保留了量的关系而舍弃一切质的特点的特点;只保留了一定的形式、结构，而舍弃内容。这样，只保留了一定的形式、结构，而舍弃内容。这样，就得到纯粹状态下的以抽象形式出现的量与量的关系，成为就得到纯粹状态下的以抽象形式出现的量与量的关系，成为一种思想材料的符号化、形式化抽象，这是一种极度抽象。一种思想材料的符号化、形式化抽象，这是一种极度抽象。n教学：层次性和阶段性教学：层次性和阶段性现在学习的是第62页，共83页例“除非它们都能站起来！”n这是发生在这是发生在2020世纪世纪6060年代的一个真实故事：当时年代的一个
39、真实故事：当时“新数运动新数运动”作为风靡全球的改革运动正处于高潮作为风靡全球的改革运动正处于高潮之中，其核心思想就是认为应当用现代数学思想对之中，其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造，由于集合的概念在现代传统的数学教育作出改造，由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的出现就无足为奇了。出现就无足为奇了。现在学习的是第63页，共83页n在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲：在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲：“我们今天学了我们今天学了集集合合！”n父亲：父亲：“老师是怎么教的？老师是怎么教的？”n女儿：女
40、儿：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，黑人孩子的集合，最后，教师问全班：最后，教师问全班：大家是否都懂大家是否都懂了？了？她得到了肯定的答复。她得到了肯定的答复。”现在学习的是第64页，共83页n父：父：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？土豆组成一个集合
41、？”迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答：迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答：n“不行！除非它们都能站起来！不行！除非它们都能站起来！”现在学习的是第65页，共83页n2、严谨的逻辑性严谨的逻辑性：n数学要求逻辑上无懈可击，结论要精确，数学要求逻辑上无懈可击，结论要精确，n数学真理的发现：合情数学真理的发现：合情逻辑证明逻辑证明数学的逻辑严谨性是相对的，局部的、片段式和阶段式的数学的逻辑严谨性是相对的，局部的、片段式和阶段式的教学：逐步发展适度和适量的逻辑严谨性能力教学：逐步发展适度和适量的逻辑严谨性能力3、广泛的应用性广泛的应用性数学广泛的应用性是由数学高度抽象性和严谨的逻辑性决定的。近数
42、学广泛的应用性是由数学高度抽象性和严谨的逻辑性决定的。近半个世纪以来，数学更加成功地运用于经济、管理、通讯、资源开发半个世纪以来，数学更加成功地运用于经济、管理、通讯、资源开发和环境保护、医学、军事与国防等领域。和环境保护、医学、军事与国防等领域。教学：用数学解决实际问题教学：用数学解决实际问题现在学习的是第66页，共83页二、中学数学的特点与教学n（一）现实背景与形式模型互相统一n数学学科虽然具有高度的抽象性和概括性，但数学学科虽然具有高度的抽象性和概括性，但这种抽象的思想材料却不能完全脱离现实背景，中这种抽象的思想材料却不能完全脱离现实背景，中学数学更是这样。学数学更是这样。n现实现实抽象
43、抽象应用应用现在学习的是第67页，共83页n（二）解题技巧与程序训练相结合n解决问题是数学的灵魂解决问题是数学的灵魂，其特点在于技巧性和，其特点在于技巧性和程式化。数学中的数量变化问题，必须用灵巧的思程式化。数学中的数量变化问题，必须用灵巧的思维和繁复的计算程序去解决，即一方面需要灵活机维和繁复的计算程序去解决，即一方面需要灵活机动的动的创造性思维创造性思维，另一方面需要，另一方面需要固定的计算公固定的计算公式式，二者缺一不可。根据这一特点，教师应当注意，二者缺一不可。根据这一特点，教师应当注意教材中形式推演背后的生动思想，避免重复的单纯教材中形式推演背后的生动思想，避免重复的单纯模仿和套公式
44、。模仿和套公式。现在学习的是第68页，共83页n（三）简约的数学语言与丰富的数学思（三）简约的数学语言与丰富的数学思想相交融想相交融n公理化方法、代数思想、解析几何观点、统计与概率公理化方法、代数思想、解析几何观点、统计与概率思想、微积分思想等是宏观数学思想。思想、微积分思想等是宏观数学思想。n函数观点、向量表示、参数方法、恒等变形、同解函数观点、向量表示、参数方法、恒等变形、同解变形等是中型的数学观念。变形等是中型的数学观念。n素数与合数、负负得正、尺规作图、任意角与周期素数与合数、负负得正、尺规作图、任意角与周期性、算术根等是微观的数学问题。性、算术根等是微观的数学问题。现在学习的是第69
45、页，共83页n数学语言的教学：数学语言的教学：n自然语言自然语言符号化符号化完全形式化完全形式化n数学思想：数学思想：n函数与方程、数形结合、分类与整合、函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般化归与转化、特殊与一般有限与无限、或然与必然有限与无限、或然与必然现在学习的是第70页，共83页例例“找规律找规律”n“师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里，我师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里，我们把第一个音唱做们把第一个音唱做咚咚，第二个音唱做，第二个音唱做哒哒，第三个音唱做，第三个音唱做啦啦，所以这个乐句就变成，所以这个乐句就变成咚咚哒啦哒啦咚咚哒啦哒啦咚咚哒啦哒啦n“请想一想：
46、第请想一想：第16个音符是什么？为了能让别人看个音符是什么？为了能让别人看得一清二白，请你在草稿本上用一种合适的方式表得一清二白，请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来，可以写一写、画一画、算一算。示出来，可以写一写、画一画、算一算。”现在学习的是第71页，共83页n方法一：用图形表示方法一：用图形表示n方法二：用数字表示方法二：用数字表示1231231231231231现在学习的是第72页，共83页n（四）数学智育和德育相统一（四）数学智育和德育相统一n数学智育和德育相统一主要是针对过去过分强调数学智育和德育相统一主要是针对过去过分强调“数学是思维训练的体操数学是思维训练的体操”而言的而言的
47、现在学习的是第73页，共83页n在过去，我们过分重视数学的程式性和技巧性，而淡化在过去，我们过分重视数学的程式性和技巧性，而淡化了数学生成过程中鲜活的思想、生动而有趣的变化以及由此带了数学生成过程中鲜活的思想、生动而有趣的变化以及由此带给人的美感和理性精神追求带给人的愉悦。给人的美感和理性精神追求带给人的愉悦。n数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。的产物，也是推动社会发展的动力。现在学习的是第74页，共83页第三节中学数学与数学前沿n一、现代数学前沿一、现代数学前沿n1997年3月，国家自然科学基金委提出了我国
48、未来数学发展课题，涉及以下数学前沿问题：n（1）核心数学。它是应用数学的基础，重要方向有：解析数论、代数数论与代数几何，群与代数及其表示理论，流形与复形几何学，整体微分学，经典分析的前沿问题，随机分析和无穷维分析。现在学习的是第75页，共83页n（2）非线性问题的数学理论和方法。非线性问题的数学理论和方法。非线性现象和纯粹数学各分支交叉形成的许多生长点非线性现象和纯粹数学各分支交叉形成的许多生长点n重要的科学问题和研究方向有：非线性偏微分方程，重要的科学问题和研究方向有：非线性偏微分方程，变分理论和几何分析，动力系统，经典和量子系统的数学变分理论和几何分析，动力系统，经典和量子系统的数学问题，
49、随机系统的数学问题。问题，随机系统的数学问题。现在学习的是第76页，共83页n（3）金融和高科技中的数学建模、计金融和高科技中的数学建模、计算和运筹决策。算和运筹决策。n主要包括：主要包括：数学物理的高性能计算，高维流体力学的数学物理的高性能计算，高维流体力学的计算方法，数学机械化与现代数学组合方法，高维、定计算方法，数学机械化与现代数学组合方法，高维、定性和不完全数据的统计方法，经济和高科技中的统计建性和不完全数据的统计方法，经济和高科技中的统计建模、推断与计算，大规模、高复杂性问题的最优化方法，模、推断与计算，大规模、高复杂性问题的最优化方法，金融财政重点数学问题。金融财政重点数学问题。现
50、在学习的是第77页，共83页n（4）复杂系统的建模、分析控制与优复杂系统的建模、分析控制与优化。化。n它包括：它包括：复杂系统的建模，随机系统的控制和适应控复杂系统的建模，随机系统的控制和适应控制，非线性现象的分析、控制与应用，无穷系统的控制，复制，非线性现象的分析、控制与应用，无穷系统的控制，复杂系统分析的优化和控制，大规模多层次系统的优化理论和杂系统分析的优化和控制，大规模多层次系统的优化理论和方法。方法。现在学习的是第78页，共83页n20世纪90年代以来，“高技术本质上是一种数学高技术本质上是一种数学技术技术”的观点已得到人们的普遍认同，这一观点道出了高技术与现代数学问题的内在联系。高