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1、数字逻辑基础第二章数字逻辑基础第二章现在学习的是第1页，共33页教学基本要求教学基本要求1 1、熟悉熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式代数常用基本定律、恒等式和和规则。2、掌握、掌握逻辑代数的代数的变换和卡和卡诺图化化简法；法；现在学习的是第2页，共33页 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式代数的基本定律和恒等式2.1 逻辑代数代数2.1.3 逻辑函数的函数的变换及代数化及代数化简法法2.1.2 逻辑代数的基本代数的基本规则现在学习的是第3页，共33页2.1 逻辑代数代数逻辑代数又称布代数又称布尔代数代数。它是分析和它是分析和设计现代数字代数字逻辑电路不可缺路不可缺少的数学工具。少的数学工具
2、。逻辑代数有一系列的定律、定理和代数有一系列的定律、定理和规则，用于，用于对数学表达数学表达式式进行行处理，以完成理，以完成对逻辑电路的化路的化简、变换、分析和、分析和设计。逻辑关系指的是事件关系指的是事件产生的条件和生的条件和结果之果之间的因果关系。在数字的因果关系。在数字电路路中往往是将事情的条件作中往往是将事情的条件作为输入信号，而入信号，而结果用果用输出信号表示。条件和出信号表示。条件和结果的两种果的两种对立状立状态分分别用用逻辑“1”和和“0”表示。表示。现在学习的是第4页，共33页1 1、基本公式基本公式交交换律：律：A+B=B+AA B=B A结合律：合律：A+B+C=(A+B)
3、+C A B C=(A B)C 分配律：分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC A 1=AA 0=0A+0=AA+1=10、1律：律：A A=0A+A=1互互补律：律：2.2.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式代数的基本定律和恒等式现在学习的是第5页，共33页重叠律重叠律：A+A=AA A=A反演律：反演律：AB=A+B A+B=A B吸收律吸收律 其它常用恒等式其它常用恒等式 ABACBCAB+ACABACBCDAB+AC现在学习的是第6页，共33页2、基本公式的基本公式的证明明例例证明明，列出等式、右列出等式、右边的函数的函数值的真的真值表表(真真值表表证明法明法)0
4、11=001+1=00 01 1110=101+0=00 11 0101=100+1=01 00 1100=110+0=11 10 0A+BA+BA B A B现在学习的是第7页，共33页 2.1.2 逻辑代数的基本代数的基本规则 1.1.代入代入规则：在包含在包含变量量A逻辑等式中，如果用另一个函数式等式中，如果用另一个函数式代入式中所有代入式中所有A的位置，的位置，则等式仍然成立。等式仍然成立。这一一规则称称为代入代入规则。例例：B(A+C)=BA+BC，用用A+D代替代替A A，得得B(A+D)+C =B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入代入规则可以可以扩展所有基本公式或定律的展所有
5、基本公式或定律的应用范用范围现在学习的是第8页，共33页对于任意一个于任意一个逻辑表达式表达式L，若将其中所有的与（，若将其中所有的与（）换成或（成或（+），），或（或（+）换成与（成与（）；原）；原变量量换为反反变量，反量，反变量量换为原原变量；量；将将1换成成0，0换成成1；则得到的得到的结果就是原函数的反函数。果就是原函数的反函数。2.反演反演规则：例例2.1.1 试求求 的非函数的非函数解：按照反演解：按照反演规则，得，得 现在学习的是第9页，共33页对于任何于任何逻辑函数式，若将其中的与（函数式，若将其中的与（）换成或（成或（+），或），或（+）换成与（成与（）；并将）；并将1换成成
6、0，0换成成1；那么，所得的新的函；那么，所得的新的函数式就是数式就是L的的对偶式，偶式，记作作 。例例:逻辑函数函数 的的对偶式偶式为3.对偶偶规则：当某个当某个逻辑恒等式成立恒等式成立时，则该恒等式两恒等式两侧的的对偶式也相等。偶式也相等。这就是就是对偶偶规则。利用。利用对偶偶规则，可从已知公式中得到更多的，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律运算公式，例如，吸收律现在学习的是第10页，共33页“或或-与与”表达式表达式“与非与非-与非与非”表达式表达式“与与-或或-非非”表达式表达式“或非或非或非或非”表达表达式式“与与-或或”表达式表达式 2.1.3 逻辑函数的代数法化函数的
7、代数法化简1、逻辑函数的最函数的最简与与-或表达式或表达式在若干个在若干个逻辑关系相同的与关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与或表达式中，将其中包含的与项数数最少，且每个与最少，且每个与项中中变量数最少的表达式称量数最少的表达式称为最最简与与-或表达式。或表达式。DCCA+=现在学习的是第11页，共33页2、逻辑函数的化函数的化简方法方法 化化简的主要方法：的主要方法：公式法（代数法）公式法（代数法）图解法（卡解法（卡诺图法）法）代数化代数化简法：法：运用运用逻辑代数的基本定律和恒等式代数的基本定律和恒等式进行化行化简的方法。的方法。并并项法法:现在学习的是第12页，共33页吸收法：吸收法
8、：A+AB=A 消去法消去法：配配项法法：A+AB=A+B现在学习的是第13页，共33页)例例2.1.7 已知已知逻辑函数表达式函数表达式为，要求：（要求：（1）最）最简的与的与-或或逻辑函数表达式，并画出相函数表达式，并画出相应的的逻辑图；（2）仅用与非用与非门画出最画出最简表达式的表达式的逻辑图。解：解：)现在学习的是第14页，共33页例例2.1.8 试对逻辑函数表达式函数表达式进行行变换，仅用或非用或非门画出画出该表达式的表达式的逻辑图。解：解：现在学习的是第15页，共33页2.2 逻辑函数的卡函数的卡诺图化化简法法2.2.2 逻辑函数的最小函数的最小项表达式表达式2.2.1 最小最小项
9、的定的定义及性及性质2.2.4 用卡用卡诺图化化简逻辑函数函数2.2.3 用卡用卡诺图表示表示逻辑函数函数现在学习的是第16页，共33页1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求程要求对所所有公式熟有公式熟练掌握；掌握；2.代数法化代数法化简无一套完善的方法可循，它依无一套完善的方法可循，它依赖于人的于人的经验和灵活性；和灵活性；3.用用这种化种化简方法技巧方法技巧强，较难掌握。特掌握。特别是是对代数化代数化简后得到的后得到的逻辑表达式是否是最表达式是否是最简式判断有一定困式判断有一定困难。卡卡诺图法可以比法可以比较简便地得到最便地得到最简的的逻辑表达式。表
10、达式。代数法化代数法化简在使用中遇到的困在使用中遇到的困难：现在学习的是第17页，共33页n个个变量量X1,X2,Xn的最小的最小项是是n个因子的乘个因子的乘积，每个，每个变量量都以它的原都以它的原变量或非量或非变量的形式在乘量的形式在乘积项中出中出现，且，且仅出出现一次。一般一次。一般n个个变量的最小量的最小项应有有2n个。个。、A(B+C)等等则不是最小不是最小项。例如，例如，A、B、C三个三个逻辑变量的最小量的最小项有（有（23）8个，即个，即、1.最小最小项的意的意义2.2.1 最小最小项的定的定义及其性及其性质现在学习的是第18页，共33页对于于变量的任一量的任一组取取值，全体最小，
11、全体最小项之和之和为1。对于任意一个最小于任意一个最小项，只有一，只有一组变量取量取值使得它的使得它的值为1；对于于变量的任一量的任一组取取值，任意两个最小，任意两个最小项的乘的乘积为0；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三个三个变量的所有最小量的所有最小项的真的真值表表2、最小最小项的性的性质现在学习的是第19页，共33页3、最小最小项的的编号号三个三个变量的所有最小量的所有最小项的真的真值表表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小最小项的表示：通常用
12、的表示：通常用mi表示最小表示最小项，m 表示最小表示最小项,下下标i为最小最小项号。号。0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001现在学习的是第20页，共33页 2.2.2 逻辑函数的最小函数的最小项表达式表达式 l为“与或与或”逻辑表达式；表达式；l在在“与或与或”式中的每个乘式中的每个乘积项都是最小都是最小项。例例1 将将化成最小化成最小项表达式表达式=m7m6m3m5 逻辑函数的最小函数的最小项表达式：表达式：现在学习的是第21页，共33页 例例2 将将
13、 化成最小化成最小项表达式表达式 a.去掉非号去掉非号b.去括号去括号现在学习的是第22页，共33页2.2.3 用卡用卡诺图表示表示逻辑函数函数1、卡卡诺图的引出的引出卡卡诺图：将：将n变量的全部最小量的全部最小项都用小方都用小方块表示，并使具有表示，并使具有逻辑相相邻的的最小最小项在几何位置上也相在几何位置上也相邻地排列起来，地排列起来，这样,所得到的所得到的图形叫形叫n变量的卡量的卡诺图。逻辑相相邻的最小的最小项：如果两个最小：如果两个最小项只有一个只有一个变量互量互为反反变量，那量，那么，就称么，就称这两个最小两个最小项在在逻辑上相上相邻。如最小如最小项m6=ABC、与与m7=ABC 在
14、在逻辑上相上相邻m7m6现在学习的是第23页，共33页AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三三变量卡量卡诺图四四变量卡量卡诺图两两变量卡量卡诺图m0m1m2m3ACCBCA m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB2、卡卡诺图的特点的特点:各小方格各小方格对应于各于各变量不同的量不同的组合，而且上下合，而且上下左右在几何上相左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差的方格内只有一个因子有差别，这个重要特个重要特点成点成为卡卡诺图化化简逻辑函
15、数的主要依据函数的主要依据。现在学习的是第24页，共33页3.已知已知逻辑函数画卡函数画卡诺图当当逻辑函数函数为最小最小项表达式表达式时，在卡，在卡诺图中找出和表达式中中找出和表达式中最小最小项对应的小方格填上的小方格填上1，其余的小方格填上，其余的小方格填上0（有（有时也可也可用空格表示），就可以得到相用空格表示），就可以得到相应的卡的卡诺图。任何。任何逻辑函数都函数都等于其卡等于其卡诺图中中为1的方格所的方格所对应的最小的最小项之和。之和。例例1：画出：画出逻辑函数函数L(A,B,C,D)=(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)的卡的卡诺图现在学习的是第25页，共33页例例2
16、画出下式的卡画出下式的卡诺图00000解解1.将将逻辑函数化函数化为最小最小项表达式表达式2.填写卡填写卡诺图现在学习的是第26页，共33页 2.2.4 用卡用卡诺图化化简逻辑函数函数 1、化、化简的依据的依据现在学习的是第27页，共33页2、化、化简的步的步骤用卡用卡诺图化化简逻辑函数的步函数的步骤如下：如下：(4)将所有包将所有包围圈圈对应的乘的乘积项相加。相加。(1)将将逻辑函数写成最小函数写成最小项表达式表达式(2)按最小按最小项表达式填卡表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小，凡式中包含了的最小项，其其对应方格填方格填1，其余方格填，其余方格填0。(3)合并最小合并最小项，即将相，即将相
17、邻的的1方格圈成一方格圈成一组(包包围圈圈)，每一，每一组含含2n个方格，个方格，对应每个包每个包围圈写成一个新的乘圈写成一个新的乘积项。本。本书中包中包围圈用虚圈用虚线框表示。框表示。现在学习的是第28页，共33页画包画包围圈圈时应遵循的原遵循的原则：（1）包）包围圈内的方格数一定是圈内的方格数一定是2n个，且包个，且包围圈必圈必须呈矩形。呈矩形。（2）循循环相相邻特性包括上下底相特性包括上下底相邻，左右，左右边相相邻和四角相和四角相邻。（3）同一方格可以被不同的包同一方格可以被不同的包围圈重复包圈重复包围多次，但新增多次，但新增的包的包围圈中一定要有原有包圈中一定要有原有包围圈未曾包圈未曾
18、包围的方格。的方格。（4）一个包一个包围圈的方格数要尽可能多圈的方格数要尽可能多,包包围圈的数目要可能少。圈的数目要可能少。现在学习的是第29页，共33页例例 :用卡用卡诺图法化法化简下列下列逻辑函数函数（2）画包）画包围圈合并最小圈合并最小项，得最，得最简与与-或表达式或表达式 解：解：(1)由由L 画出卡画出卡诺图(0，2，5，7，8，10，13，15)现在学习的是第30页，共33页011 1111111111110例例:用卡用卡诺图化化简011 1111111111110圈圈0圈圈1现在学习的是第31页，共33页2.2.5 含无关含无关项的的逻辑函数及其化函数及其化简1、什么叫无关、什么
19、叫无关项：在真在真值表内表内对应于于变量的某些取量的某些取值下，函数的下，函数的值可以是任意的，可以是任意的，或者或者这些些变量的取量的取值根本不会出根本不会出现，这些些变量取量取值所所对应的最的最小小项称称为无关无关项或任意或任意项。在含有无关在含有无关项逻辑函数的卡函数的卡诺图化化简中，它的中，它的值可以取可以取0或取或取1，具体取什么具体取什么值，可以根据使函数尽量得到，可以根据使函数尽量得到简化而定。化而定。现在学习的是第32页，共33页例例:要求要求设计一个一个逻辑电路，能路，能够判断一位十判断一位十进制数是奇数制数是奇数还是偶数，当十是偶数，当十进制数制数为奇数奇数时，电路路输出出为1，当十，当十进制数制数为偶数偶数时，电路路输出出为0。1111 1110 1101 1100 1011 101011001010001011100110101010010010011000101000100000LABCD解解:(1)列出真列出真值表表(2)画出卡画出卡诺图(3)卡卡诺图化化简现在学习的是第33页，共33页