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1、定积分概念可积性性质第一页，讲稿共二十三页哦 Chap7 1 定积分的概念定积分的概念第二页，讲稿共二十三页哦Oa=x0 xn=bxyy=f(x)x1xi1xiixn1x2(1)分割分割 取分点a=x0 x1 xn=b,将a,b分为n个小区间xi1,xi(i=1,2,n),其长度记为xi=xi xi1.(2)作近似和作近似和 i xi1,xi,第i个小曲边梯形面积Si f(i)xi，故曲边梯形面积(3)取极限取极限 记 ,则曲边梯形面积一、一、曲边梯形面积曲边梯形面积第三页，讲稿共二十三页哦问题问题 一质点以速度v=v(t)Ca,b,作变速直线运动,如何求时刻a 到时刻b 质点经过的路程s？(
2、1)分割分割 取分点a=t0 t1 tn=b,将a,b分为n个小区间ti1,ti(i=1,2,n),其长度记为ti=ti ti1.(2)作近似和作近似和 i ti1,ti,质点在时段ti1,ti经过的路程si v(i)ti,故质点在a,b经过的路程(3)取极限取极限 记 ,则质点在时间a,b内的路程二、二、变速直线运动路程变速直线运动路程第四页，讲稿共二十三页哦三、定义三、定义定义定义 设f:a,b R.任取a,b的分划以及i xi1,xi(1,2,n=()称为分划下的介点集介点集),作和若总有则称 f 在a,b上可积可积,记为f Ra,b.I称为 f 在a,b上的定积分定积分，记为 分划分划
3、 :a=x0 x1 0),求极限 利用定积分求和式极限求和式极限:关键在于利用其中左式i取为左端点xi1,右式i取为右端点xi.第九页，讲稿共二十三页哦 Chap7 2 函数可积的条件函数可积的条件第十页，讲稿共二十三页哦一、必要条件一、必要条件定理定理1(必要条件必要条件)设 f Ra,b,则 f 在a,b上有界.有界是函数可积的必要不充分条件必要不充分条件.如D(x)有界,但不可积!二、充要条件二、充要条件定义定义 设f 在 a,b上有界，:a=x0 x1 0,分划:试一试试一试 f 在a,b上的上积分上积分 的定义！等价表述等价表述 0,分划:其中i=Mi mi 是 f 在xi1,xi上
4、的振幅振幅.第十三页，讲稿共二十三页哦 几何意义几何意义 思考思考 要，那么或者i 很小；或者虽i不小，但其对应的小区间长度和 很小！定理定理3(第第III充要条件充要条件)设 f 在a,b上有界,则f Ra,b 0,0,分划:，其中=i|i .定理定理4(第第I充要条件充要条件)设 f 在a,b上有界,则f Ra,b 第十四页，讲稿共二十三页哦定理定理5 若f Ca,b,则 f Ra,b.定理定理6 设 f 在a,b有界,且只有有限个间断点,则f Ra,b.定理定理7 设f 在a,b单调有界,则f Ra,b.三、充分条件三、充分条件n 分段连续函数分段连续函数 的可积性！命题命题 设 f 在
5、a,b有界,其间断点全体为xn,且则f Ra,b.例例 证明Riemann函数 在0,1上可积.第十五页，讲稿共二十三页哦 Chap7 3 定积分的性质定积分的性质第十六页，讲稿共二十三页哦一、运算性质一、运算性质 规定规定定理定理1(线性性线性性)若f,g Ra,b,R,则f gRa,b,且定理定理2(乘积可积性乘积可积性)若f,g Ra,b,则f g Ra,b.定理定理3(区间可加性区间可加性)设 f Ra,b,则对(2)c(a,b)有f Ra,cRc,b,且(1),a,b有f R,.第十七页，讲稿共二十三页哦定理定理4(保序性保序性)若f Ra,b,且f(x)0,则推论推论1 若f,g
6、Ra,b,且f(x)g(x),则推论推论2(估值不等式估值不等式)若f Ra,b,且m f(x)M,则推论推论3(绝对值不等式绝对值不等式)若f Ra,b,则|f|Ra,b,且问题问题 逆命题成立吗？即|f|Ra,b能否导出 f Ra,b？定义定义 设f:a,b R,若|f|Ra,b,则称 f 在a,b上绝对可积绝对可积.第十八页，讲稿共二十三页哦例例1 设 f Ca,b,f(x)0,且证明 f(x)0.若 f(x)0,且则 f(x)在连续点的取值为0.设 f Ra,b,f(x)0,则例例2(CauchySchwarz不等式不等式)设 f,gRa,b,则有例例3 设 f Ra,b,g(x)在a
7、,b上除有限点外与f(x)取值相同.证明：gRa,b,且第十九页，讲稿共二十三页哦二、积分第一中值定理二、积分第一中值定理定理定理5 设 f Ca,b,g在a,b上可积且不变号,则a,b:推论推论 设 f Ca,b,则a,b,使得Oabxyy=f(x)几何意义几何意义“化曲为方”！n f 在a,b上的平均值平均值第二十页，讲稿共二十三页哦例例5 证明例例4 设函数 f C0,1D(0,1),且证明：(0,1)使得第二十一页，讲稿共二十三页哦三、变限积分函数三、变限积分函数定义定义 若f Ra,b,对xa,b,是x的函数,即称之为f(x)在a,b上的变上限积分变上限积分(函数)定理定理6 若f Ra,b,则F(x)Ca,b.定理定理7 若f Ca,b,则F(x)Da,b,且F(x)=f(x),即第二十二页，讲稿共二十三页哦定理定理8(原函数存在性原函数存在性)若f Ca,b,则f 在a,b上存在原函数.变上限积分求导=被积函数在上限处的取值上限求导.变下限积分变下限积分例例6 求下列导数例例7 求极限第二十三页，讲稿共二十三页哦