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1、第7讲 微分方程本讲稿第一页，共三十一页实验目的实验目的实验内容实验内容2、学会用、学会用Matlab求微分方程的数值解求微分方程的数值解.1、学会用、学会用Matlab求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.1 1、求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.4 4、实验作业、实验作业.2、求微分方程的数值解、求微分方程的数值解.3、数学建模实例数学建模实例 本讲稿第二页，共三十一页求微分方程的数值解求微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义（二）建立数值解法的一些途径（二）建立数值解法的一些途径（三）用（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解软件
2、求常微分方程的数值解返 回本讲稿第三页，共三十一页1、目标跟踪问题一：导弹追踪问题、目标跟踪问题一：导弹追踪问题 2、目标跟踪问题二：慢跑者与狗、目标跟踪问题二：慢跑者与狗3、地中海鲨鱼问题、地中海鲨鱼问题返 回数学建模实例数学建模实例本讲稿第四页，共三十一页微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量)To Matlab（ff1）结 果：u=tg(t-c)本讲稿第五页，共三十一页 解解 输入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为:
3、y=3e-2xsin（5x）To Matlab（ff2）本讲稿第六页，共三十一页解解 输入命令：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t)；x=simple(x)%将x化简 y=simple(y)z=simple(z)结 果 为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To Matlab（ff3）返 回本讲稿第七页，共三十一页微分方程的数值解微分方程
4、的数值解（一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。返 回本讲稿第八页，共三十一页（二）建立数值解法的一些途径（二）建立数值解法的一些途径1、用差商代替导数、用差商代替导数 若步长h较小，则有故有公式：此即欧拉法欧拉法。本讲稿第九页，共三十一页2、使用数值积分、使用数值积分对方程y=f(x,y),两边由xi到xi+1积
5、分，并利用梯形公式，有：实际应用时，与欧拉公式结合使用：此即改进的欧拉法改进的欧拉法。故有公式：本讲稿第十页，共三十一页3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格龙格-库塔法库塔法、线性多步法线性多步法等方法。4、数值公式的精度、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式阶公式。k越大，则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。返 回本讲稿第十一页，共三十一页（三）用（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常
6、微分方程的数值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.本讲稿第十二页，共三十一页 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m
7、-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意注意:本讲稿第十三页，共三十一页解解:令 y1=x，y2=y11、建立m-文件vdp1000.m如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);2、取t0=0，tf=3000，输入命令：T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0);plot(T,Y(:,1),-)3、结果如图To Matlab（ff4）本讲稿第十四页，共三十一页解解 1、
8、建立m-文件rigid.m如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令：T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图To Matlab（ff5）图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.返 回本讲稿第十五页，共三十一页导弹追踪问题导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的
9、乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一解法一（解析法）本讲稿第十六页，共三十一页由(1),(2)消去t整理得模型:To Matlab(chase1)轨迹图见程序chase1本讲稿第十七页，共三十一页解法二解法二(数值解)1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：x0=
10、0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0);plot(x,y(:,1),b.)hold on y=0:0.01:2;plot(1,y,b*)结论结论:导弹大致在（导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰）处击中乙舰To Matlab(ff6)令y1=y,y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组。本讲稿第十八页，共三十一页解法三解法三(建立参数方程求数值解)设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t)，导弹的坐标为(x(t)，y(t).3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t本讲稿第十九页，共三十一页4.解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件
11、eq2.m如下：function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：t,y=ode45(eq2,0 2,0 0);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,-)，hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)To Matlab(chase2)本讲稿第二十页，共三十一页5.结果见图1导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰，与前面的结论一致.图1图2返 回 在chase
12、2.m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0.5,0.25,直到tf=0.21时，得图2.结论：时刻结论：时刻t=0.21时，导弹在（时，导弹在（1，0.21）处击中乙舰。）处击中乙舰。To Matlab(chase2)本讲稿第二十一页，共三十一页慢跑者与狗慢跑者与狗 一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为:x=10+20cost,y=20+5sint.突然有一只狗攻击他.这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹.1.模型建立设时刻t慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t)，狗的坐标为(x(t)，y(t
13、).则X=10+20cost,Y=20+15sint,狗从(0,0)出发,与导弹追踪问题类似，建立狗的运动轨迹的参数方程:本讲稿第二十二页，共三十一页2.模型求解(1)w=20时时,建立m-文件eq3.m如下:function dy=eq3(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建
14、立主程序chase3.m如下：t0=0;tf=10;t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,-)hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)在chase3.m，不断修改tf的值,分别取tf=5,2.5,3.5,至3.15时,狗刚好追上慢跑者.To Matlab(chase3)本讲稿第二十三页，共三十一页建立m-文件eq4.m如下:function dy=eq4(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+
15、20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase4.m如下：t0=0;tf=10;t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,-)hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)在chase3.m，不断修改tf的值,分别取tf=20,40,80,可以看出,狗永远追
16、不上慢跑者.To Matlab(chase4)(2)w=5时时返 回本讲稿第二十四页，共三十一页地中海鲨鱼问题地中海鲨鱼问题 意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.本讲稿第二十五页，共三十一页 该 模型反映了在没有人工捕获
17、的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型.本讲稿第二十六页，共三十一页首先，建立m-文件shier.m如下：function dx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);其次，建立主程序shark.m如下：t,x=ode45(shier,0 15,25 2);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*)plot(x(:,1),x(:,2)To Matlab(shark)本讲稿第二十七页，共三十一页求解结果
18、：左图反映了x1（t）与x2（t）的关系。可以猜测：x1（t）与x2（t）都是周期函数。本讲稿第二十八页，共三十一页模型（二）考虑人工捕获 设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e设战前捕获能力系数e=0.3,战争中降为e=0.1,则战前与战争中的模型分别为:本讲稿第二十九页，共三十一页模型求解:1、分别用m-文件shier1.m和shier2.m定义上述两个方程2、建立主程序shark1.m,求解两个方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 x2(t)/x1(t)+x2(t)To Matlab(shark1)实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！返 回本讲稿第三十页，共三十一页实实 验验 作作 业业 1.一个小孩借助长度为a的硬棒，拉或推某玩具.此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹.2.讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.（2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果.返 回本讲稿第三十一页，共三十一页