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1、数学物理方法数学物理方法 保角变保角变换法换法第1页，共38页，编辑于2022年，星期六11.1 保角变换法求解定解问题保角变换法求解定解问题 在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学等）经常会遇到等）经常会遇到等）经常会遇到等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题尽管可尽管可尽管可尽管可
2、用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解决难，甚至不能解决难，甚至不能解决难，甚至不能解决对于复杂的边界形状对于复
3、杂的边界形状对于复杂的边界形状对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常，拉普拉斯方程定解问题常，拉普拉斯方程定解问题常，拉普拉斯方程定解问题常采用采用采用采用保角变换法求解保角变换法求解保角变换法求解保角变换法求解第2页，共38页，编辑于2022年，星期六 保角变换法解定解问题的基本思想：保角变换法解定解问题的基本思想：通过通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中已经学习过）解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中已经学习过）将将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的平面上具有简单
4、形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题边值问题，而后一问题的解易于求得于是再通过，而后一问题的解易于求得于是再通过逆变换逆变换就求得了原始定解问题的解就求得了原始定解问题的解这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解问题中的解析法问题中的解析法保角变换法保角变换法。第3页，共38页，编辑于2022年，星期六保角变换法保角变换法是解决这类是解决这类复杂边界的最有效方法复杂边界的最有效方法，特别适合于，特别适合于分分析平面场析平面场的问题。的问题。例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问题具有较
5、大的实用价值，所以有必要单独以一章的内题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内容进行介绍容进行介绍复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。介绍利用保角变换法求解定解问题。第4页，共38页，编辑于2022年，星期六11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系在复变函数论中我们已经知道，由解析函数在复变函数论中我们已经知道，由解析函数 实现的从实现的从Z平面到平面到W 平面的变换在平面的变换在 的点具有的点具有保保角性质角性质，因此这种变换称为，因此这种变换称为保
6、角变换保角变换下面我们主要讨论一一下面我们主要讨论一一对应的保角变换，即假定对应的保角变换，即假定 和它的反函数都是和它的反函数都是单值单值函数函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一黎曼面的一叶叶 第5页，共38页，编辑于2022年，星期六定理定理11.1.1 如果将由如果将由 到到 的的保角变换保角变换看成为二元（实变）函数看成为二元（实变）函数 的变换由的变换由 到到 的的变量代换变量代换，则，则 平面上的边界变成了平面上的边界变成了 平面上的边界我们能证明，如果平面上的边界我们能证明，如果 程程，则经过保角变换后得到的，则经过保角变
7、换后得到的 满足满足拉普拉斯方拉普拉斯方也满足也满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程第6页，共38页，编辑于2022年，星期六【证明】【证明】利用利用复合函数求导法复合函数求导法则有则有(11.1.1)同理同理第7页，共38页，编辑于2022年，星期六(11.1.2)两式相加得到两式相加得到（11.1.3）第8页，共38页，编辑于2022年，星期六利用解析函数利用解析函数 的的C-R条件条件 (11.1.4)以及解析函数的实部和虚部分别满足以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质拉普拉斯方程的性质 (11.1.5)将式（将式（11.1.4）和式（）和式（11.1.5）代入到式（）代入到式（1
8、1.1.3）化简后得到）化简后得到第9页，共38页，编辑于2022年，星期六注意到上式已经使用了：注意到上式已经使用了：对于保角变换对于保角变换 因而只要因而只要 满足拉普拉斯方程，则满足拉普拉斯方程，则）也满足）也满足拉拉 普拉斯方程普拉斯方程，即为，即为第10页，共38页，编辑于2022年，星期六（11.1.6）这样我们就有结论这样我们就有结论：如果在：如果在 平面上给定了平面上给定了 的拉普拉斯方程边值问题，的拉普拉斯方程边值问题，则利用则利用保角变换保角变换，可以将它转化为，可以将它转化为 平面上平面上 的的拉普拉斯方程边值问题拉普拉斯方程边值问题第11页，共38页，编辑于2022年，
9、星期六同理可以证明，在单叶解析函数同理可以证明，在单叶解析函数 变换下，变换下，泊松方程泊松方程 (11.1.7)仍然满足仍然满足泊松方程泊松方程（11.1.8）第12页，共38页，编辑于2022年，星期六 由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度电荷密度发生了变化发生了变化对于波动问题和输运问题，同理可以证明，对于波动问题和输运问题，同理可以证明，亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 (11.1.9)经变换后仍然服从经变换后仍然服从亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程(11.1.10)第13页，共38页，编辑于2022年，星期六注意到方程要比原先复杂，且注意到方程要比原先
10、复杂，且 前的系数可前的系数可 能能不是常系数不是常系数 保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决下面，在介绍用下面，在介绍用保角变换法来求解拉普拉斯方程之前，保角变换法来求解拉普拉斯方程之前，先介绍常用到的一些保角变换先介绍常用到的一些保角变换第14页，共38页，编辑于2022年，星期六11.1.2 常用的几种保角变换常用的几种保角变换(1)(1)
11、平移变换平移变换平移变换平移变换将将z平面上的图形整体平移一个矢量平面上的图形整体平移一个矢量a。第15页，共38页，编辑于2022年，星期六(2)(2)线性变换线性变换线性变换线性变换平移平移旋转旋转伸缩伸缩第16页，共38页，编辑于2022年，星期六(3)(3)反演变换反演变换反演变换反演变换保角性：保角性：保圆性：保圆性：保对称性：保对称性：Z平面内关于原点平面内关于原点O 对称点对称点P、Q 变换为变换为w 平面上的像平面上的像P、Q 也关于原点也关于原点O 对称。对称。OPQR第17页，共38页，编辑于2022年，星期六(4)(4)分式线性变换分式线性变换分式线性变换分式线性变换保圆
12、性；保圆性；保对称性；保对称性；上式可写成上式可写成其中：其中：第18页，共38页，编辑于2022年，星期六例题例题1i(-1,0)(1,0)第19页，共38页，编辑于2022年，星期六例题例题21/2上半平面上半平面第20页，共38页，编辑于2022年，星期六(5)(5)(5)(5)幂函数变换幂函数变换幂函数变换幂函数变换令令令令则则则则该变换的特点是把该变换的特点是把该变换的特点是把该变换的特点是把z z z z平面的圆周变换成平面的圆周变换成平面的圆周变换成平面的圆周变换成w w w w平面的平面的平面的平面的圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周圆周。特别
13、是单位圆周变换成单位圆周圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周 ；把以；把以；把以；把以原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角形域，但其张角为原来的的形域，但其张角为原来的的形域，但其张角为原来的的形域，但其张角为原来的的n n倍。倍。倍。倍。第21页，共38页，编辑于2022年，星期六 讨论变换讨论变换若均匀场在若均匀场在w w 平面上是具有平行于两坐标轴的直线族，平面上是具有平行于两坐标轴的直线族，则此变换将则此变换将w w平面的正实轴变换成平面的正实轴变换成z z平面上的
14、正实轴，平面上的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成其负实轴却因负值的方根变成z z平面上的正虚轴，这样平面上的正虚轴，这样w w平面的上半平面变换成平面的上半平面变换成z z平面的第一象限，如图所示。平面的第一象限，如图所示。反之亦然反之亦然.y xz平面W 平面第22页，共38页，编辑于2022年，星期六(6)(6)对数变换对数变换 对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换的逆变对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换的逆变换。先研究指数变换换。先研究指数变换令令 ，得得可知：可知：z平面上的直线平面上的直线x=常数变换到常数变换到w平面上的圆周平面上的圆周 常数，而直线常数，而直线
15、y常数变换成射线常数变换成射线 常数。常数。第23页，共38页，编辑于2022年，星期六因此，指数变换的特点是：把水平的带形因此，指数变换的特点是：把水平的带形城城 变换成角形变换成角形z(W平面)w(z平面)第24页，共38页，编辑于2022年，星期六对于对数变换对于对数变换对于对数变换对于对数变换取极坐标系取极坐标系取极坐标系取极坐标系 则则则则故故故故可见：在可见：在可见：在可见：在w w w w平面上平面上平面上平面上 常数的直线在常数的直线在常数的直线在常数的直线在 z 平面表示平面表示平面表示平面表示一族圆；常数表示一族径向射线。一族圆；常数表示一族径向射线。第25页，共38页，编
16、辑于2022年，星期六例例1 试求平面静电场的电势分布试求平面静电场的电势分布，其中，其中【解】解】变换变换使上半使上半平面平面变变成成平面上的平面上的带带形域形域,然的，类似于上面定解问题的结果然的，类似于上面定解问题的结果,则则本定解问题可归结为本定解问题可归结为而在带形域上的解是显而在带形域上的解是显11.1.3 保角变换法求解定解问题典型实例保角变换法求解定解问题典型实例第26页，共38页，编辑于2022年，星期六第27页，共38页，编辑于2022年，星期六而而 所以所以于是，于是，作反变换便可求得所求问题的解作反变换便可求得所求问题的解为为第28页，共38页，编辑于2022年，星期六
17、试试用保角用保角变换变换法求解一半径法求解一半径为为的无限的无限长导长导体体圆圆柱壳柱壳内的电场分布情况内的电场分布情况【解】解】即求解定解问题即求解定解问题例例 2 若把柱面充电到若把柱面充电到 第29页，共38页，编辑于2022年，星期六作如下的保角变换作如下的保角变换(1)作变换作变换 把原图象缩小为把原图象缩小为 倍即将倍即将任意的圆周变换为单位圆任意的圆周变换为单位圆(2)再作变换再作变换 把把 变换为变换为，其边界的变换是，其边界的变换是将下将下半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴第30页，共38页，编辑于2022年，星期六（3）
18、再作变换）再作变换 把把平面的上半平面平面的上半平面变变成成平面上平行于平面上平行于实轴实轴，宽为宽为 的一个带形区域，其边界的的一个带形区域，其边界的 第31页，共38页，编辑于2022年，星期六变换变换是将是将平面的正半平面的正半实轴变换为实轴变换为平面的平面的实轴实轴，平面的平面的负负半半实轴变换为实轴变换为平面的平行于平面的平行于实轴实轴的直的直线线所以，在变换所以，在变换之下，之下，定解问题变换为定解问题变换为第32页，共38页，编辑于2022年，星期六定解问题的解定解问题的解（仿上例）为（仿上例）为将将变变量回到量回到平面，平面，则则第33页，共38页，编辑于2022年，星期六化成
19、极坐标形式，则上式又改写成化成极坐标形式，则上式又改写成第34页，共38页，编辑于2022年，星期六从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界所围成的区域变换成上半平面的带形域所围成的区域变换成上半平面的带形域 问题就容易解决了问题就容易解决了第35页，共38页，编辑于2022年，星期六解：用保角变换法解：用保角变换法解：用保角变换法解：用保角变换法由于等势面为圆，故可采用对数函数变换来进行计算。由于等势面为圆，故可采用对数函数变换来进行计算。yx例
20、例3 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径分别为分别为R1、R2，电势分别为，电势分别为 、。求导体内。求导体内任一点的电势。任一点的电势。第36页，共38页，编辑于2022年，星期六将将将将z z平面上的圆变成平面上的圆变成平面上的圆变成平面上的圆变成w w平面上的直线区域，平面上的直线区域，其宽度为其宽度为其宽度为其宽度为 。其间的电势满足。其间的电势满足。其间的电势满足。其间的电势满足所以，利用平行板电容器计算公式，得单所以，利用平行板电容器计算公式，得单所以，利用平行板电容器计算公式，得单所以，利用平行板电容器计算公式，得单位长度的电容为位长度的电容为位长度的电容为位长度的电容为其中其中其中其中第37页，共38页，编辑于2022年，星期六例4 4 用保角变换法求解下列定解问题：作业：作业：p376，1，2，6（1）、（）、（2）这是最后一次作业，全部作业务于下周六交齐，过期这是最后一次作业，全部作业务于下周六交齐，过期不候！不候！第38页，共38页，编辑于2022年，星期六