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1、数学两个变量的线性相关现在学习的是第1页，共31页2.3 变量间的相互关系变量间的相互关系基础知识框图表解基础知识框图表解变量间关系变量间关系函数关系函数关系相关关系相关关系 散点图散点图线性回归线性回归线性回归方程线性回归方程现在学习的是第2页，共31页知识拓析知识拓析:1、相关关系、相关关系（1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。的两个变量之间的关系叫相关关系。（2）相关关系与函数关系的异同点。）相关关系与函数关系的异同点。相同点：两者均是指两个变量间的关系。相同点：两者均是指两个变量间的关
2、系。不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；相关不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但可能是伴关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但可能是伴随关系）。随关系）。（3）相关关系的分析方向。）相关关系的分析方向。在收集在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，对大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，对它们的关系作出判断。它们的关系作出判断。现在学习的是第3页，共31页复习引入：n1、前面我们学习了现实生活中存在许多相关、前面我们学习了现实生活中存在许多相关关系：商品销售与广告、粮食生产与施肥量、关系：商品销售与广告、
3、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与年龄等等的相关关系人体的脂肪量与年龄等等的相关关系.2、通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，、通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断.3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以样本数、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以样本数据应较大，和有代表性据应较大，和有代表性.才能对它们之间的关系作出正确的才能对它们之间的关系作出正确的判断判断.现在学习的是第4页，共31页探究探究：.年龄脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028
4、.25329.65430.25631.45730.8年龄脂肪5833.56035.26134.6如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？之间有怎样的关系吗？现在学习的是第5页，共31页 从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄 人群的样本平均数人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、我们也可以对
5、它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断.下面我们以年龄为横轴，下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，角坐标系，作出各个点，称该图为称该图为散点图散点图。如图：O202530354045 50556065年龄脂肪含量510152025303540现在学习的是第6页，共31页从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关正相关。但有的两个变量的相关，如
6、下图所示：但有的两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。作出散点图发现，它们散作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车的载重和汽车每消耗车每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，称它们成平均路程，称它们成负相关负相关.注：可考虑让学生思考书注：可考虑让学生思考书P77的思考的思考.O现在学习的是第7页，共31页我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附我们再观察它的图像发现这些点大致分
7、布在一条直线附 近近,像这样，像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系关关系,这条直线叫做回归直线，该直线方程叫这条直线叫做回归直线，该直线方程叫回归方程回归方程。那么，我们该怎样那么，我们该怎样来求出这个回归来求出这个回归方程？方程？请同学们展开讨论，请同学们展开讨论，能得出哪些具体能得出哪些具体的方案？的方案？20253035404550556065年龄脂肪含量0510152025303540现在学习的是第8页，共31页.方案方案1、先画出一条直线，测
8、量出各点与它、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的的距离，再移动直线，到达一个使距离的 和最小时，测出它的斜率和截距，得回归和最小时，测出它的斜率和截距，得回归 方程。方程。20253035404550556065年龄脂肪含量0510152025303540如图如图：现在学习的是第9页，共31页.n方案方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧、在图中选两点作直线，使直线两侧 的点的个数基本相同。的点的个数基本相同。202530354045 50556065年龄脂肪含量0510152025303540现在学习的是第10页，共31页方案方案3、如果多取几对点，确定多条直
9、线，再求出、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。直线的斜率和截距。而得回归方程。如图如图n我们还可以找到我们还可以找到 更多的方法，但更多的方法，但 这些方法都可行这些方法都可行 吗吗?科学吗？科学吗？准确吗？怎样的准确吗？怎样的 方法是最好的？方法是最好的？20253035404550556065年龄脂肪含量0510152025303540我们把由一个变量的变化我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法去推测另一个变量的方法称为称为回归方法。回归方法。现在学习的是第11页，共31页我
10、们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期的实践与研究，已经找到了人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式计算回归方程的斜率与截距的一般公式:以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P89）现在学习的是第12页，共31页现在学习的是第13页，共31页一、相关关系的判断一、相关关系的判断例例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：个学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们是否有
11、相关关系。画出散点图，并判断它们是否有相关关系。解：解：数学成绩数学成绩由散点图可见，两者之间具有正相关关系。由散点图可见，两者之间具有正相关关系。现在学习的是第14页，共31页小结：用小结：用Excel作散点图的步骤如下作散点图的步骤如下：(结合软件边讲边练）结合软件边讲边练）（1）进入）进入Excel，在，在A1，B1分别输入分别输入“数学成绩数学成绩”、“物物理成绩理成绩”，在，在A、B列输入相应的数据。列输入相应的数据。（2）点击图表向导图标，进入对话框，选择）点击图表向导图标，进入对话框，选择“标准类标准类型型”中的中的“XY散点图散点图”，单击，单击“完成完成”。（3）选中）选中“
12、数值数值X轴轴”，单击右键选中，单击右键选中“坐标轴格式坐标轴格式”中中的的“刻度刻度”，把，把“最小值最小值”、“最大值最大值”、“刻度刻度主要单位主要单位”作相应调整，最后按作相应调整，最后按“确定确定”。y轴方法相同。轴方法相同。现在学习的是第15页，共31页二、求线性回归方程二、求线性回归方程例例2：观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程解解1：列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149计
13、算得计算得:现在学习的是第16页，共31页所求回归直线方程为所求回归直线方程为 y=x小结：求线性回归直线方程的步骤：小结：求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表第一步：列表 ；第二步：计算第二步：计算 ；第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b,a的值；的值；第四步：写出直线方程。第四步：写出直线方程。现在学习的是第17页，共31页解解2：用：用Excel求线性回归方程，步骤如下求线性回归方程，步骤如下:.（1）进入）进入Excel作出散点图。作出散点图。（2）点击）点击“图表图表”中的中的“添加趋势线添加趋势线”，单击单击“类型类型”中的中的“线性线性”，单击单击“确定确定”，得到回归方
14、程。，得到回归方程。（3）双击回归直线，弹出）双击回归直线，弹出“趋势线格式趋势线格式”，单击单击“选选项项”，选定，选定“显示公式显示公式”，最后，最后单击单击“确定确定”。现在学习的是第18页，共31页例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：杯数与当天气温的对比表：摄氏温度摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93
15、76 54(1)画出散点图；画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律；般规律；(3)求回归方程；求回归方程；(4)如果某天的气温是如果某天的气温是 C,预测这天卖出的热饮杯数。预测这天卖出的热饮杯数。三、利用线性回归方程对总体进行估计三、利用线性回归方程对总体进行估计现在学习的是第19页，共31页解解:(1)散点图散点图(2)气温与热饮杯数成负相关气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。卖出去的热饮杯数越少。温度温度热饮杯数热饮杯数现在学习的是第20页，共31页(3)从散点图可以看出，这些点
16、大致分布在一从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。条直线附近。Y=-2.352x+147.767（4）当）当x=2时，时，y=143.063,因此，这天大因此，这天大约可以卖出约可以卖出143杯热饮。杯热饮。现在学习的是第21页，共31页例例1 下列两个变量之间的关系下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系哪个不是函数关系().A.角度和它的余弦值角度和它的余弦值B.正方形边长和面积正方形边长和面积C.正正n边形的边数和内角度数之和边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高人的年龄和身高D例例2 5个学生的数学和物理成绩如下表个学生的数学和物理成绩如下表:画出散点图画出散点图,并判
17、断它们是否有相关关系并判断它们是否有相关关系.学生学生学科学科 A B C D E 数学数学 80 75 70 65 60 物理物理 70 66 68 64 62画图1练习：练习：现在学习的是第22页，共31页 小结：小结：（1）判断变量之间有无相关关系，简便方）判断变量之间有无相关关系，简便方法就是画散点图。法就是画散点图。（2）当数字少时，可用人工或计算器，求回）当数字少时，可用人工或计算器，求回归方程；当数字多时，用归方程；当数字多时，用Excel求回归方程。求回归方程。（3）利用回归方程，可以进行预测。）利用回归方程，可以进行预测。现在学习的是第23页，共31页2、两个变量的线性相关、
18、两个变量的线性相关（1）回归分析）回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。（2）散点图）散点图A、定义；、定义；B、正相关、负相关。、正相关、负相关。3、回归直线方程、回归直线方程注注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则这两则这两个变量之间不具有相关关系个变量之间不具有相关关系.现在学习的是第24页，共31页例例3 下表是某地的年降雨量与年平均气温下表
19、是某地的年降雨量与年平均气温,判断两者是判断两者是相关关系吗相关关系吗?求回归直线有意义吗求回归直线有意义吗?年均气年均气温温(c)12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05年降雨年降雨量量(mm)748542507813574701432画图2现在学习的是第25页，共31页例例4 观察两相关量得如下数据观察两相关量得如下数据:x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程.解：列表：解：列表：i12345678910 x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379xiyi914
20、1512551512149计算得：计算得：现在学习的是第26页，共31页所求回归直线方程为所求回归直线方程为注意：求回归直线方程的步骤：注意：求回归直线方程的步骤：第一步：列表第一步：列表第二步：计算：第二步：计算：第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b，a的值的值第四步：列出直线方程。第四步：列出直线方程。现在学习的是第27页，共31页4、利用回归直线方程对总体进行估计、利用回归直线方程对总体进行估计例例5 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。如冶炼
21、时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量X与冶炼时间与冶炼时间y（从炉料熔（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：x（0.01%）104180190177147134150191204121Y（min）100200210185155135170205235125（1）作出散点图，找规律。）作出散点图，找规律。（2）求回归直线方程。）求回归直线方程。（3）预测当钢水含碳量为）预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？时，应冶炼多少分钟？现在学习的是第28页，共31页画图3解解:(1)作散点图
22、作散点图从图可以看出从图可以看出,各点分布在一条直线附近各点分布在一条直线附近,即它们线形相关即它们线形相关.(2)列出下表列出下表,并计算并计算i12345678910 xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125现在学习的是第29页，共31页设所求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为其中其中a,b的值使的值使的值最小的值最小.所以回归直线的方程为所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51(3)当当x=160时时,1.267.160-30.51=172现在学习的是第30页，共31页练习：书P94A组1、3n作业：P94A组2现在学习的是第31页，共31页