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1、第七章 矩阵特征值和特征向量的计算第1页，本讲稿共14页 自然科学和工程技术中的许多问题，如振动问题（桥梁或建筑物的振动、机械振动、电磁振动等），物理学中某些临界值的确定等，常常要归结为求矩阵的特征值和特征向量，即求满足 的数和非零列向量x其中数称为A的特征值，非零列向量x为A的与特征值对应的特征向量，第2页，本讲稿共14页计算n阶矩阵A的特征值，就是求特征方程的非零解，而齐次线性 用求解线性方程组的方法去求矩阵A的特征值只适用于低阶矩阵。当矩阵阶数较高时，计算稳定性较差，因此，必须寻求一些在计算机上计算矩阵的特征值和特征向量的较为稳定的数值方法。方程组 的非零解xi就是i对应的特征向量。第3
2、页，本讲稿共14页 幂法是求实矩阵A的主特征值（即矩阵A的按模最大的特征值）及其对应特征向量的一种迭代方法。幂法 幂法的基本思想：任取一个非零初始向量x(0)，由矩阵A构造一个向量序列x(0)，x(1)，x(2)，x(k)，满足以下条件 第4页，本讲稿共14页 上述向量称为迭代向量，因为各特征向量是线性无关，所以初始向量x(0)可表示 为矩阵A的特征向量vi的一个线性组合，即并假定10，于是（7-1）第5页，本讲稿共14页下面分几种情况讨论：1A有一个主特征值1，即当k充分大的时候，即第6页，本讲稿共14页由上面的讨论，得表示向量x(k)的第i个分量 因此Akx(0)可近似的表示矩阵A与1对应
3、的特征向量（特征向量可以相差一个常数因子）。第7页，本讲稿共14页当k很大时，2A的主特征值是二重根，第8页，本讲稿共14页3.两个主特征值互为相反数，当k充分大时，第9页，本讲稿共14页例：用幂法计算矩阵的主特征值及其对应的特征向量。第10页，本讲稿共14页解：取x(0)=1，1，1T，由迭代向量进行计算，计算结果如下：k1234567Akx 1(0)1262068232792Akx2(0)1-2-8-28-96-328-1120Akx3(0)1262068232792由上表可算得第11页，本讲稿共14页 可见第一个分量已趋于稳定，而对于第2、第3个分量：由此可得13.41，因为A7x(0)=(792，-1120，792)T。而特征向量可相差一个常数因子，所以取与主特征值1相对应的特征向量为第12页，本讲稿共14页讨论：可以看出，当时，Akx(0)的分量会趋于无穷大；当 时，Akx(0)的分量又会趋于零，因此在实际计算中需要做适当的规范化，避免发生计算机的上溢和下溢现象。幂法的收敛速度，虽然和初始向量x(0)的选取有关，但主要取决于比值的大小。由第13页，本讲稿共14页作业补充题：取x(0)=1,0T，用幂法计算矩阵的特征值和特征向量。第14页，本讲稿共14页