数学美在生活中幻灯片.ppt

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1、数学美在生活中第1页，共26页，编辑于2022年，星期六一、什么是数学美一、什么是数学美二、二、对正整数的美学审视对正整数的美学审视三、三、对非有理数的美学品味对非有理数的美学品味四、四、数学美的主要表征数学美的主要表征五、五、结束语结束语第2页，共26页，编辑于2022年，星期六一、一、什么是数学美什么是数学美 美是人类创造性实践活动的产物，是人类文明进步的产物。一般地说，美是人类直觉的感性形式，是人类本质力量的感性表现。通常所说的美包括自然美、社会美和艺术美，而我们这里是谈数学美。什么是数学美？历史上许多文学家、艺术家、数学家、学者对数学美从不同侧面作过生动的阐述。亚里士多德说：“虽然数学

2、没有明显地提到善和美，但善和美不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。”达芬奇认为：“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上。”第3页，共26页，编辑于2022年，星期六 彭加勒说：“数学家把重大意义与他们的方法和他们的结果的美联系起来。给我们以美感的是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡。总而言之，就是引入秩序，给出统一，容许我们同时清楚地观察和理解整体与细节的东西”。维纳认为：“数学实质上是艺术的一种。”认真研究上述看法，从美学与数学角度进行总结，可以这么说，数学美是科学本质力量的感性与理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的

3、数学思维结构的呈现。它是一种真实的美，是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。数学美不仅有表现的形式美，而且有内容美与严谨美；不仅有具体的公式、定理美，而且有结构美与整体美；不仅有语言精巧美，而且有方法美与思路美；不仅有逻辑抽象美，而且有创造美与应用美。第4页，共26页，编辑于2022年，星期六二、对正整数的美学审视二、对正整数的美学审视 每个人最初接触的是正整数。那么，我们每个人就可以首先问自己：对正整数的感觉如何？很多的人可能说“没有什么感觉。”然而，正整数曾引起过无数人的兴趣和喜好，而且是一个长盛不衰的论题。（一）完美数（一）完美数 我们不妨要问：你喜欢哪个数？许多人未曾思索过，一时

4、答不上。稍加思考，也觉得1，2，3，4，好像没有什么差别。当然，根据我们汉语的发音，有人喜欢8，因为那似乎意味着“发”；也有人喜欢6，因为那意味着顺利。但这并不是出自对数本身性质的原因而产生的喜好。我们还是再看一看1、2、3、4、5、6、7这几个数字，它们本身就具有一种和谐美，代表不同的七个音阶，就能谱出优美动人和谐的乐曲，让世人在音乐中陶醉。第5页，共26页，编辑于2022年，星期六 数有许多不同的性质，人们可能不会因其有某种性质而一定喜欢它，但是一些奇妙的性质则很可能引起人们的兴趣。奇妙的性质也不少，人们对数的兴趣也可能各不相同，也可能有多方面的兴趣。6这个数的因数有1，2，3，6（暂约定

5、1和6自身亦算其因数），其和恰为12，6的两倍；如果不计6自身，则其因数之和恰是它自己。28也具有这样的性质，其因数是1，2，4，7，14之和恰好等于28，这是第二个具有这种性质的正整数。496，仔细看看，1，2，4，8，16，31，62，124，248是它的因数，它们的和也正等于496。第四个具有这种性质的数稍难找一些，它是8128。可是，一千八百多年之前就知道8128具有其各因数之和恰为它自己（不计它自己）的性质。第6页，共26页，编辑于2022年，星期六 人们把这种数称之为完完美美数数，即各因数之和为它的两倍或不计它自己时恰等于它的那种数叫完完美美数数。6，28，496，8128便是很久

6、以前知道的4个最小的完美数。看来，完美数不多，已可初步看到，前八千多个正整数中才4个！物以稀为贵，完美数稀罕。完美数，人们用美来形容数。顺便看一下汉语里以“美”字组词的情况。美好，把美与善联系在一起；美妙，把美与奇异联系在一起；美满，把美与情感联系在一起；美言、美谈、美味、用美来形容一些行为和感觉。又有壮美、俊美、秀美、完美、对不同性质的美的区分。汉语有关美的丰富词汇本身反映了在我们文化中对美的多方面的准确理解。用完美来形容6、28、496、这一类数也很恰当。这种数的完美，一方面表现在它稀罕、奇妙，一方面表现在它的完满，各因数和不多不少等于它自己。第7页，共26页，编辑于2022年，星期六 第

7、五个完美数在哪里？很不容易寻找。在距离发现第四个完美数之后一千多年，于公元1538年才发现第五个完美数33 550 336。又过了50年才发现第六个是：8 589 869 056。寻找这种数那么难，却还是有人去寻找，到现在为止也还只发现二十多个。为什么去寻找呢？是因为这种数在现实生活中有什么特别的用途吗？目前确实还没有发现，是它的奇导和美丽吸引了许多的人。（二）数的谐声借意（二）数的谐声借意 人的智商是有差异的，其中最重要的表现在记忆力的强弱上。有人过目不忘，但有人苦于无法记住，我们可以借用数的谐声来强化对数的记忆。第8页，共26页，编辑于2022年，星期六 上海市出租汽车公司的电话号码为25

8、800000，该公司的宣传广告语“让我拨五个零”。就是借助上海方言对数的谐声让能牢记住这个号码。又如众所周知的火警电话号码为“119”，数的谐声就是“要要救”。美国纽约的火警电话号码为“911”，恐怖分子制造了“9.11事件“，就是利用这个号码来统一行动。祖冲之算出了精确的圆周率，造福于后人。我曾经编了一个顺口溜，让我的学生记住了小数点后19位的圆周率。山巅一寺一壶酒，尔乐，气死我，把酒吃，吃不死，乐而乐。第9页，共26页，编辑于2022年，星期六三、对非有理数的美学品味三、对非有理数的美学品味 古希腊的数学十分繁荣，那时的自然科学与艺术、哲学紧密联系的。古希腊哲学（例如毕达哥拉斯流派）对数与

9、对世界的思考几乎是不可分割的。他们的哲学观或世界观是：万物皆数。而1是最神圣的，一切盖源于1，并且天下只有数（即正整数）及其比（又称可比数，即今称之为有理数）。数生成万物，数的规律支配着万物。中国古代有一生二、二生三、三生万物的说法，与万物皆数的观点相似。古希腊时数学观与哲学观的和谐被数学自身的发展打破了。一种无法用两整数之比来表达的数就被信奉那种哲学观的流派中的成员自己发现了，这就是非有理数的发现。这种发现甚至导致了一场数学危机。然而，与其说是数学危机，不如说是数学与哲学的共同危机。危机何在？原有和谐被打破了，原有美感被动摇了，原有的理论被震撼了。第10页，共26页，编辑于2022年，星期六

10、 正方形的对角线与其边长之比就无法用两整数之比来表示，这个今日之任何一名中学生都知道的事实竟是当年发生震撼作用的源头。同时发现的是：正五边形对角线长与其边长之比也无法由一个可比数（即有理数）来表示（正六边形对角线长与其边长之比是2，引起麻烦的是正方形、正五边形）。现在，我们大家都知道了这两个数分别是 这两个数都是无理数。说它们是无理数，不是说它们没有道理，是因为这类数的发现是在有理数之后。无理数之美，我们来仔细品味。是正五边形对角线长与边长之比，而边长与对角线长之比则为 。这两个 数之积为1，这两个数之差也为1。因此它们是方程第11页，共26页，编辑于2022年，星期六因此称它们为代数无理数。

11、比值 特别被人注意，它 人是自然界长期发展的产物，人体美在自然中具有最强的完整性。大诗人莎士比亚曾经赞颂道：“人类是一件多么了不得的杰作！宇宙的精华、万物的灵长。”其实，莎士比亚也许不知道，人体相关各部分之间是符合黄金分割率的，肚脐是黄金分割的黄金点。在躯干部分，乳房位置的上下长度比；咽喉至头顶和至肚脐之比；膝盖至脚后跟和至肚脐之比等，都是黄金分割数0.618的近似数。如果人体上述部分比例均符合黄金律的话，就显得协调匀称。古希腊断臂维纳斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼达，其体型结构比例完全符合黄金律，美妙绝伦。x(1+x)=1 或 x2+x 1=0 的 解，的近似值是0.618（即 ），这是一个

12、有理数，人们称其为 黄金黄金分割比值分割比值。它被认为是最美的数值，具有很高的美学价值。第12页，共26页，编辑于2022年，星期六 科学家和艺术家普遍认为，黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为0.618，你会因此比例协调而赏

13、心悦目。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守0.618之处；二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的0.618处。最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得第13页，共26页，编辑于2022年，星期六 不少植物叶，相邻的两片在与茎垂直的平面上的投影夹角为13728，自然，圆周角的另一部分是36013728=22232。然而，又恰有“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。正因为黄金比体现了美与适用，沟通了人与自然，所以在某些名曲中，乐章的高潮出现在全曲的0.618处。并且

14、，这个角度对于植物叶子的通风、采光而言，都是最佳的，从而最有利于植物的生长。=0.618第14页，共26页，编辑于2022年，星期六四、数学美的主要表征四、数学美的主要表征 人们对美的本身有许多形容，有壮美、俊美、秀美、柔美、优美等，不同的形容方式反映了人们对美丽的不同理解和感受，反映了美的多样性。数学美也有其多样性，也可以适当加以分类，我认为数学美可以表征为和谐美、简洁美、对称美和奇异美。下面在这四方面作一些简单分析。（一）和谐美（一）和谐美 数学的和谐美前面已经涉及很多，不妨作一归纳。整数和分数统一为有理数，有理数和无理数统一在实数内，而复数又包含着实数与虚数。在这些数系之中，1是最简单的

15、数，但同时可以说一切又起源于1。由1演变第15页，共26页，编辑于2022年，星期六为所有自然数 2，3，4，后来又有它的相反数-1，-2，-3，之后又加进 0，再就是两个整数所表示的分数，这样就构成有理数系，而南北朝时期，祖冲之就已经在计算 的值，无理数也早出现了。i 在几百年前就有，i 可表示成 0+i。实数、虚数中的1，0，i 都有其独特的地位，超越无理数中，和 又是相当独特的，这5个数1，0，i，都融合在一个奇妙式子中，这就是一种和谐美、统一美。几何中的和谐美也到处体现，它们使你赏心悦目。简单的点、线段、三角形、矩形、正方形就能构造出美丽的图案，平面的、立体的，让人美不胜收。矩阵、行列

16、式在数学中起多方面作用，它在几何研究中也起作用。它把几何图形的某些内在联系提示得更清楚，从而也使人更易看清它们之间的和谐、统一。这是代数与几何和谐、统一的进一步表现。e+1=0ee第16页，共26页，编辑于2022年，星期六 平面上过点(x1,y1),(x2,y2)，的直线方程是：x y 1x1 y1 1x2 y2 1=0 平面上过(x1,y1),(x2,y2)和(x3,y3)点的圆（只要三点不共线，这种圆就存在）的方程是：这些式子确实十分整齐，十分和谐，十分美观。第17页，共26页，编辑于2022年，星期六 （二）（二）简洁美简洁美 简洁美无处不在。图案设计、国画艺术、标志性建筑、新校区的概

17、念性设计都要求简洁，数学更是以简洁著称。人们在日常生活中，常以“成千上万”来形容多，再多就是“百万”、“千万”了，更多则是“亿万”。可是，数学 能 作 出 更 简 洁也更明确、更有力的表示，比如说，1025 这样巨大的数字，一般语言就说不太清楚了。更不要说10221以及244 497，286 243这样大的数字了。从微观来说，日常语言之中，“失之毫厘，谬以千里”，用一毫一厘来形 容微小，还有形容体积之小的，时间之短的，距离之近的。但是，没有比10-15，1010-45-45这样一些表达更能说明问题，它也更简洁、更明了。第18页，共26页，编辑于2022年，星期六 另外，许多不同的自然现象又常用

18、一个数学公式加以描述，如弦振动、电磁波的传播和超音速定常流动等都可以用双曲型方程：描述，可谓精美，简洁而且优美动人。（三三）对称美对称美 在日常生活中，举目就可以看到对称物。有对称图 案、对称建筑物、对称文学作品等。为什么讲求对称？因为它美。数学中的对称更是它的一种美丽。第19页，共26页，编辑于2022年，星期六 在几何图形中，有所谓点对称，线对称，面对称。毕达哥拉斯有句名言：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”。而圆和球形正是几何中对称美的杰出体现，圆是关于圆心对称的，也是关于过圆心的任一条直线对称的。球形既是点对称，又是线对称，还是面对称的。正是由于几何图形中有这些

19、点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。是不是只有几何中才有对称美呢？就已经体现出对称美。第20页，共26页，编辑于2022年，星期六下列是对称的杨辉三角形。美吗？当然。下列是对称的杨辉三角形。美吗？当然。1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 对称是数学中常见的形式之一，但它是否给人以形式美的感觉，对称是数学中常见的形式之一，但它是否给人以形式美的感觉，又总是与内容相联系的又总是与内容相联系的?当然是当然是!第21页，共26页，编辑于2022年，星期六（四）（四）奇异

20、美奇异美 平淡中无新奇，奇异中才有艺术。数学中的奇异是吸引许多人喜欢数学的重要原因，峰回路转，柳暗花明，这也正是数学的魅力、数学的奇异美。把分数化成小数是一件极简单的事,化成小数，得到0.166 6；化成小数得0.142 857 142 857；现在看看一个分子分母都比较大的分数 ，只要 耐心一点，也可把它化成小数：8.000 000 072 900 000 663 390 006 036 849 054 935 326 399 114 702 39，小数点后一下子有7个0，间隔3位数后是5个0。很有规律，0出现的个数依次是7、5、3、1。再看中间那个3位数的非第22页，共26页，编辑于202

21、2年，星期六 很令人惊奇的是 =8，因而零的729，它是9的3次方，即729=93，再往后看那个5位数、7位数：66 339=9391，6 036 84993912，=8+然而，=于是有：=8+第23页，共26页，编辑于2022年，星期六 奇异的东西引起人们的兴趣，也引起人们研究它的兴趣，又从研究之中看到奇异深处隐藏的东西，这样，你就会更喜欢它，就更可能产生美感。曾几何时，代数与几何被认为是平行发展的，两者的关系并非十分密切。到了17世纪，曾被研究了数千年的漂亮的圆锥曲线可以由一个简单的二次方程：所包罗无遗，这正是我们然悉的解析几何中点的运动轨迹。颇有一点“出乎意料”和“令人震惊”的意味，这是

22、一个惊奇的发现，这里有无穷的奇异美。给出一个圆形“O”，有人说它是鸡蛋，有人说它是苹果，还有人说它是月亮，我说它是一个圆。我这种说法本身就是一种奇异，不同的角度，不同的理解，不同的感悟，不同的审美情趣，我们要学会在美中学习，在学习中享受美。第24页，共26页，编辑于2022年，星期六五、五、结束语结束语 马克思曾经指出：“一门科学只有在成功地应用数学时，才能达到真正完美的地步。”无论是学理工的，还是学经济的，不管是学法律的，还是学语言文学的，也不管你是学美术的，还是学体育的，都是一个接受科学训练的过程。在这个过程中，作为与科学对话的语言数学，发挥着十分重要的作用，我们可以用数学美去描绘自然美。在现实社会中，正如著名数学家华罗庚先生所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”尤其是在数学美的结晶计算机进入居民家庭的今天，世人已经意识到，数学是强者翅膀，数学美是最高境界的美。国人已经感悟到，能否运用数学观念定量思维正在成为衡量一个民族文化素质的重要标志，用数学的方法去欣赏数学美、应用数学美、发现数学美、创造数学美，是中华民族对美的认识的升华!第25页，共26页，编辑于2022年，星期六第26页，共26页，编辑于2022年，星期六