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1、数学的文化价值第1页，共48页，编辑于2022年，星期六 随随着着中中小小学学数数学学课课程程标标准准的的颁颁布布与与实实验验，基基础础数数学学教教育育无无论论从从基基本本理理念念、课课程程目目标标、内内容容标标准、教学及评价等方面均进行了一系列的变革。准、教学及评价等方面均进行了一系列的变革。在在课课程程性性质质、课课程程目目标标中中提提出出认认识识数数学学的的科学价值、科学价值、文化价值文化价值。内内容容分分为为必必修修；选选修修；数数学学探探究究、数数学学建建模、模、数学文化数学文化。教教材材编编写写中中提提出出：应应将将数数学学的的文文化化价价值值渗渗透在各部分内容中。透在各部分内容中
2、。作为数学教师应及时把握中小学作为数学教师应及时把握中小学数学教育改革的特点和动态数学教育改革的特点和动态第2页，共48页，编辑于2022年，星期六数学是人类文化的重要组成部分，对人类数学是人类文化的重要组成部分，对人类文明的发展有着举足轻重的作用，文明的发展有着举足轻重的作用，具有极具有极其重要的文化价值。其重要的文化价值。文化文化从从广义广义来说包括人类一切物质财富和来说包括人类一切物质财富和精神财富的积淀精神财富的积淀.但文化中更为复杂且具有但文化中更为复杂且具有决定作用的部分则在他的深层决定作用的部分则在他的深层:观念、信仰、观念、信仰、价值、假说、思维方式。价值、假说、思维方式。数学
3、的文化价值主要数学的文化价值主要体现在哪些方面？体现在哪些方面？第3页，共48页，编辑于2022年，星期六1.1.数学的认识价值数学的认识价值数学是研究从现实世界中抽象出来的数量数学是研究从现实世界中抽象出来的数量关系和空间形式的科学。（秩序、模式）关系和空间形式的科学。（秩序、模式）从哲学上看，任何事物都是量和质的统一从哲学上看，任何事物都是量和质的统一体，要获得对事物本质的体，要获得对事物本质的清晰认识清晰认识，就必，就必须对事物的量进行分析，而数学正是一门须对事物的量进行分析，而数学正是一门研究研究“量量”的科学的科学，因而必然成为人们，因而必然成为人们认认识世界的有力工具。识世界的有力
4、工具。(数学观念、数学意识、认识力数学观念、数学意识、认识力-五台山问五台山问题题)第4页，共48页，编辑于2022年，星期六五台山问题是指在黛螺顶一个供奉着十八罗汉的大殿里，五台山问题是指在黛螺顶一个供奉着十八罗汉的大殿里，从第一尊罗汉一次周期性地数起，数到等于你的岁数止，从第一尊罗汉一次周期性地数起，数到等于你的岁数止，所对应的罗汉即是你今年的保护神。一群老人在那里绕所对应的罗汉即是你今年的保护神。一群老人在那里绕着十八罗汉一圈一圈地数，在找各自的保护神。对于我着十八罗汉一圈一圈地数，在找各自的保护神。对于我们数学研究者，很快地直接地找到所对应的罗汉，并告们数学研究者，很快地直接地找到所对
5、应的罗汉，并告诉老人们。老人们听了，不相信！经过实际转圈数过后诉老人们。老人们听了，不相信！经过实际转圈数过后证实确实如此，于是老人们相信了我们，感觉很神奇，证实确实如此，于是老人们相信了我们，感觉很神奇，佩服得五体投地。实际上，这样的问题是简单的数学问佩服得五体投地。实际上，这样的问题是简单的数学问题，即就是找年龄除以题，即就是找年龄除以1818的余数的问题，但老人们不懂的余数的问题，但老人们不懂数学，于是才感觉到奇怪！这一故事意在说明数学是一数学，于是才感觉到奇怪！这一故事意在说明数学是一门研究门研究“量量”的科学，是人们认识世界的有力工具。揭的科学，是人们认识世界的有力工具。揭示了数学的
6、认识价值！示了数学的认识价值！第5页，共48页，编辑于2022年，星期六1.1 1.1 数学：科学的语言数学：科学的语言数学应用的广泛性：自然、社会、人文数学应用的广泛性：自然、社会、人文马克思：一门科学只有当它成功地运用到马克思：一门科学只有当它成功地运用到数学时，才算达到比较完善的地步（真正数学时，才算达到比较完善的地步（真正发展了）发展了）数学语言（数学语言（文字语言、符号语言、图形图文字语言、符号语言、图形图表语言）表语言）数学语言的单义性、确定性；（切、割、数学语言的单义性、确定性；（切、割、相似）相似）数学语言的简明性、清晰性。数学语言的简明性、清晰性。科学的、公共的通用语言，科学
7、的、公共的通用语言，正展现出世界正展现出世界文化符号的风采文化符号的风采.(.(中国剩余定理中国剩余定理)第6页，共48页，编辑于2022年，星期六今有物不知其数，三三数之剩二今有物不知其数，三三数之剩二五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？（除以？（除以3余余2，除以，除以5余余3，除以，除以7余余2）宋代周密：三岁孩儿七十稀，五留二一事宋代周密：三岁孩儿七十稀，五留二一事尤其，七度上元重相会，寒食清明便得知尤其，七度上元重相会，寒食清明便得知明代数学家程大位：明代数学家程大位：三人同行七十稀，五树梅花二十一枝三人同行七十稀，五树梅花二十一枝七子团圆正月半
8、，除百零五便得知。七子团圆正月半，除百零五便得知。用用3的余数乘的余数乘70，5的余数乘的余数乘21，7的余数的余数乘乘15，用三积的和减，用三积的和减105的倍数便得知。的倍数便得知。第7页，共48页，编辑于2022年，星期六1.2 1.2 数学：适用的思想方法数学：适用的思想方法数学思想方法的重要性。数学思想方法的重要性。（米山国藏）（米山国藏）作为知识的数学，若不从事作为知识的数学，若不从事数学工作，通常是出校门后不到一两年，数学工作，通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的工作，那些深深地铭刻于头脑
9、中的数学的数学的精神、思想方法、研究方法、推理方法和精神、思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等着眼点等（若培养了这方面的素质的话）（若培养了这方面的素质的话）却随时随地发挥作用，使他们受益终身。却随时随地发挥作用，使他们受益终身。（农夫的故事）（农夫的故事）第8页，共48页，编辑于2022年，星期六已有的研究表明，已有的研究表明，大众数学实施的关键是数学思想方大众数学实施的关键是数学思想方法的大众化。法的大众化。中学数学课程标准中把体会和获得数学思中学数学课程标准中把体会和获得数学思想方法放到重要的位置。想方法放到重要的位置。（1）建立学科体系的思想）建立学科体系的思想-公理化思想公理化思想
10、几何几何近世代数近世代数概率概率（2)解决数学问题常用的基本思想解决数学问题常用的基本思想-化归思想化归思想烧开水的问题体现烧开水的问题体现数学家特有的思维方式数学家特有的思维方式。中学数学中的化归思想：代数中方程组方程、函数、中学数学中的化归思想：代数中方程组方程、函数、几何几何第9页，共48页，编辑于2022年，星期六(3)解决实际问题常用的思想解决实际问题常用的思想-数学模型数学模型化思想化思想（MMMM方法）方法）哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 第10页，共48页，编辑于2022年，星期六(4)建立映射，使问题间接得解的关系建立映射，使问题间接得解的关系-映射映射-反演原则（反演原则
11、（RMI原则）原则）男士刮胡子、女士化妆男士刮胡子、女士化妆（1 1）对数法）对数法 （2 2）换元法）换元法 （3 3）待定系数法）待定系数法（4 4）间接征法（反证法、逆否命题法、同）间接征法（反证法、逆否命题法、同一法）一法）头发根数问题头发根数问题第11页，共48页，编辑于2022年，星期六(5)建立学科联系的思想建立学科联系的思想-形数结合思想形数结合思想（一）形转化为数（一）形转化为数（1）解析法）解析法 （2）代数法）代数法（3）三角法）三角法 （4）几何变换法）几何变换法（5）向量法）向量法 （5）复数法）复数法（二）数转化为形（二）数转化为形例求例求15的三角函数值的三角函数
12、值第12页，共48页，编辑于2022年，星期六(6)建立部分与整体联系的常用策略建立部分与整体联系的常用策略-分类分类 讨论思想讨论思想(7)提出数学问题常用的思想提出数学问题常用的思想-合情推理合情推理的的 思想思想 (歌德、公鸡归纳法歌德、公鸡归纳法)演绎推理演绎推理合情推理合情推理性质判断（三段论）性质判断（三段论）关系判断关系判断归纳推理（不完全归纳）归纳推理（不完全归纳）类比推理类比推理直觉直觉第13页，共48页，编辑于2022年，星期六2.2.数学的智力价值数学的智力价值弗莱登塔尔对大学生做的测试弗莱登塔尔对大学生做的测试画家中最伟大画家中最伟大(老老)的诗人与诗人中最伟大的诗人与
13、诗人中最伟大(老老）的画家）的画家若诗人中只有一个画家，画家中是否只有若诗人中只有一个画家，画家中是否只有一个诗人？一个诗人？大学数学、物理系学生回答此问题较文科大学数学、物理系学生回答此问题较文科学生大有长进。学生大有长进。第14页，共48页，编辑于2022年，星期六智力的核心是思维。数学是思维的科学。智力的核心是思维。数学是思维的科学。（三角形内角和）智力探险（三角形内角和）智力探险我们并不反对让学生动手，但动手能力主要靠理化生我们并不反对让学生动手，但动手能力主要靠理化生物实验科学来培养，物实验科学来培养，而数学应侧重培养动脑，培养智而数学应侧重培养动脑，培养智慧。数学中也需要实验（慧。
14、数学中也需要实验（实物实验、模型实验、思想实物实验、模型实验、思想实验实验）避免过分注重外部、表层操作而轻内部、深层思维的避免过分注重外部、表层操作而轻内部、深层思维的现象现象。（初中数学课例初中数学课例：三视图、位置、概率、平行三视图、位置、概率、平行四边形性质四边形性质）中学数学需要借助直观，但不能停留于直观，而应上中学数学需要借助直观，但不能停留于直观，而应上升到思维。升到思维。数学思维层次的交流数学思维层次的交流才是数学交流的才是数学交流的实质实质所所在。（量、画、做）在。（量、画、做）第15页，共48页，编辑于2022年，星期六3.3.数学的精神价值数学的精神价值数学作为一种创造性活
15、动，不断提高人类数学作为一种创造性活动，不断提高人类的精神境界，推动人类的精神文明。的精神境界，推动人类的精神文明。3.1 3.1 理性精神理性精神人们对外部客观世界与自身的人们对外部客观世界与自身的一种理智的、一种理智的、根本的看法或态度。根本的看法或态度。数学研究对象：数学研究对象：不依人的意识而独立存在，不依人的意识而独立存在，抽象思维的产物。抽象思维的产物。研究方法：逻辑的、理智的、定量的研究方法：逻辑的、理智的、定量的第16页，共48页，编辑于2022年，星期六欧几里德几何原本欧几里德几何原本13卷卷如何对零散的几何事实和经验进行系统整如何对零散的几何事实和经验进行系统整理，使其成为
16、一门学科。理，使其成为一门学科。公设、公理、定义的基础上，推导出几何公设、公理、定义的基础上，推导出几何的内容。的内容。（理性思维）（理性思维）几何学起源于古埃及，几何学起源于古埃及，但为什么在古希腊得到但为什么在古希腊得到辉煌的发展？辉煌的发展？第17页，共48页，编辑于2022年，星期六3.2 3.2 求实精神求实精神肯定命题肯定命题证明证明否定命题否定命题反例反例费尔马数费尔马数经过经过6868年欧拉否定了猜想。年欧拉否定了猜想。第18页，共48页，编辑于2022年，星期六提出问题提出问题：的末位数是否为的末位数是否为7 7？第19页，共48页，编辑于2022年，星期六尊重事实、尊重科学
17、、尊重规律、实事求尊重事实、尊重科学、尊重规律、实事求是、不迷信、不盲从。是、不迷信、不盲从。3.3 3.3 创造精神创造精神数学是创造性活动的精神产物。数学是创造性活动的精神产物。数学概念的建立（无理数、虚数、极限等）数学概念的建立（无理数、虚数、极限等）数学原理的发明、发现（公式、定理、体数学原理的发明、发现（公式、定理、体系等）系等）第20页，共48页，编辑于2022年，星期六4.4.数学的美学价值数学的美学价值历史上引人注目的现象（许多数学家兼具艺术才能）。历史上引人注目的现象（许多数学家兼具艺术才能）。欧拉，华罗庚，徐利治：数学使我愉快、数学使我健欧拉，华罗庚，徐利治：数学使我愉快、
18、数学使我健康、数学使我长寿。康、数学使我长寿。达芬奇关于人体美的文字说明：达芬奇关于人体美的文字说明：“叉开两腿使身高叉开两腿使身高降低十四分之一，在分举两手使中指端与头并齐，降低十四分之一，在分举两手使中指端与头并齐，此时脐眼恰是伸展的四肢端点的外接圆的圆心，又此时脐眼恰是伸展的四肢端点的外接圆的圆心，又两腿当中的空间构成一等边三角形两腿当中的空间构成一等边三角形”哪里有数，哪里就有美。数的和谐构成了宇宙的和哪里有数，哪里就有美。数的和谐构成了宇宙的和谐，美即从这一和谐中产生。谐，美即从这一和谐中产生。1 1，2 2，3 3（物有三态、（物有三态、天有三光、三教、军队，一季），天有三光、三教
19、、军队，一季），4 4（四季，四方、（四季，四方、四大洋），四大洋），5 5（约数之首、五谷、五岳、五更）（约数之首、五谷、五岳、五更）7 7（巴（巴比伦人留下的计时制，七色，七音符、七夕，伊朗、比伦人留下的计时制，七色，七音符、七夕，伊朗、穆斯林）穆斯林）第21页，共48页，编辑于2022年，星期六正像雕刻的美正像雕刻的美（冷而严肃的美。理性的美）（冷而严肃的美。理性的美）没有绘画或音乐那样华丽的装饰，他可以纯净到崇高没有绘画或音乐那样华丽的装饰，他可以纯净到崇高的地位，达到只有伟大的艺术才能显示的那种完美境的地位，达到只有伟大的艺术才能显示的那种完美境地。地。M克莱因：音乐能激发或抚慰情怀
20、；绘画使人赏心悦克莱因：音乐能激发或抚慰情怀；绘画使人赏心悦目；诗歌能动人心弦；哲学使人获得智慧；科技可以目；诗歌能动人心弦；哲学使人获得智慧；科技可以改善物质生活，但数学可以提供以上的一切。改善物质生活，但数学可以提供以上的一切。感受到自然界和人类的美丽：感受到自然界和人类的美丽：用美丽的语言去讴歌用美丽的语言去讴歌诗歌诗歌；用美丽的色彩和笔调；用美丽的色彩和笔调描述描述绘画绘画；用美丽的音符和旋律表现；用美丽的音符和旋律表现音乐音乐；用理智引导下的证明去表现用理智引导下的证明去表现数学数学。第22页，共48页，编辑于2022年，星期六1、统一美在数学中的体现统一美在数学中的体现无数形状、大
21、小不一的三角形，无数形状、大小不一的三角形，s=ah适用于所有三角适用于所有三角形。形。椭圆、双曲线、抛物线有种种不同性质，图形差异较椭圆、双曲线、抛物线有种种不同性质，图形差异较大，统一于第二定义。极坐标系下有大，统一于第二定义。极坐标系下有 =平几中的相交弦定理、割线定理、切线定理统平几中的相交弦定理、割线定理、切线定理统一于圆幂定理。一于圆幂定理。第23页，共48页，编辑于2022年，星期六一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式x=x=(加、减、乘、除、乘方、开方）六种代数运算统加、减、乘、除、乘方、开方）六种代数运算统一在同一公式中。一在同一公式中。把把 1 1，0 0（算术数）
22、、（算术数）、i (i (代数）、代数）、(几何）、几何）、e(e(分析）统一起来。分析）统一起来。第24页，共48页，编辑于2022年，星期六二次三项式二次三项式一元二次方程一元二次方程二次函数二次函数有两实根有两实根和和x轴有两交点轴有两交点有两等根有两等根和和x轴有一交点轴有一交点在实数范围不能在实数范围不能因式分解因式分解无实根无实根和和x轴无交点轴无交点第25页，共48页，编辑于2022年，星期六第26页，共48页，编辑于2022年，星期六即是为了保持运算法则的有效性。即是为了保持运算法则的有效性。和差化积（形象、系统）。和差化积（形象、系统）。第27页，共48页，编辑于2022年，
23、星期六第28页，共48页，编辑于2022年，星期六2 2、简洁美在数学中的体现、简洁美在数学中的体现自然界原本就是简洁的。光是直线方向传播。大雁迁徙时排成自然界原本就是简洁的。光是直线方向传播。大雁迁徙时排成的人字形，一边与飞行方向夹角为的人字形，一边与飞行方向夹角为 ，从空气动力学角度看阻力最小。在体积一定下，从空气动力学角度看阻力最小。在体积一定下，蜂房构造最省材料。蜂房构造最省材料。数学中所谓美的解答是一个困难，复杂问题的解答简洁数学中所谓美的解答是一个困难，复杂问题的解答简洁回答。在解决问题中，解法繁琐时，促使我们寻求更简回答。在解决问题中，解法繁琐时，促使我们寻求更简洁的方法。洁的方
24、法。（简单自然）（简单自然）数学符号的引入即是简洁美的体现。数学符号的引入即是简洁美的体现。第29页，共48页，编辑于2022年，星期六乘法的引入即是避免重复相加乘法的引入即是避免重复相加。哥德巴赫猜想表为（哥德巴赫猜想表为（1+11+1）。）。在初等几何中要求公理系统中的公理简洁、自明，在初等几何中要求公理系统中的公理简洁、自明，本身即追求简洁美。本身即追求简洁美。二进制即是从逻辑关系简洁考察中得到的结果。二进制即是从逻辑关系简洁考察中得到的结果。化归方法之所以有广泛应用，主要在于通过化归，使问化归方法之所以有广泛应用，主要在于通过化归，使问题化难为题化难为易易、化繁为、化繁为简简。方程组方
25、程方程组方程 分式分式 整式整式 空间空间 平面平面（消元降次）（消元降次）无理无理 有理化有理化 面面、线面面面、线面 线线线线第30页，共48页，编辑于2022年，星期六哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，公元家，公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach)(Goldbach)写信给当写信给当时的大数学家欧拉时的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想:(a)(a)任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成
26、两个奇质数之和。数之和。(b)(b)任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。数之和。这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。注意。200200年过去了，没有人证明它。到了年过去了，没有人证明它。到了2020世纪世纪2020年年代，才有人开始向它靠近。代，才有人开始向它靠近。第31页，共48页，编辑于2022年，星期六19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun)(Brun)证明了证明了“9+9”“9+9”。19241924年，德国的拉特马赫年，德国的拉特马赫(Rademacher
27、)(Rademacher)证明了证明了“7+7”“7+7”19321932年，英国的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼(Estermann)(Estermann)证明了证明了“6+6”“6+6”19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei)(Ricei)先后证明了先后证明了“5+7”,“4+“5+7”,“4+9”,“3+15”9”,“3+15”和和“2+366”“2+366”。1938 1938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了“5+5”“5+5”19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byx
28、wrao)证明了证明了“4+4”“4+4”。19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈牙利的瑞尼(Renyi)(Renyi)证明了证明了“1+c”“1+c”，其中，其中c c是一很大的是一很大的自然数。自然数。19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了“3+4”“3+4”。19571957年，中国的王元先后证明了年，中国的王元先后证明了“3+3”“3+3”和和“2+3”“2+3”。19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)(BapoaH)证明了证明了 “1+5”“1+5”，中国的王元证明了中国的王元证明了“1+4”“1+4”。19
29、65 1965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)和小维诺格拉多夫和小维诺格拉多夫(BHHopappB)(BHHopappB)，及，及 意大利的朋比利意大利的朋比利(Bombieri)(Bombieri)证明了证明了“1+3”“1+3”19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了“1+2”“1+2”。而而1+11+1，这个，这个哥德巴赫猜想中的最难问题，还有待解决。哥德巴赫猜想中的最难问题，还有待解决。第32页，共48页，编辑于2022年，星期六目前最佳的结果是中国数学家陈景润于目前最佳的结果是中国数学家陈景润于19661966年证明的
30、，称为陈氏定理年证明的，称为陈氏定理(Chens(Chens Theorem)Theorem)。“任何充份大的偶数都是一个任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。个质数的乘积。”通常都简称这个结果为通常都简称这个结果为大偶数可表示为大偶数可表示为“1+2”“1+2”的形式。的形式。第33页，共48页，编辑于2022年，星期六3 3、匀称美在数学中的体现、匀称美在数学中的体现 人体外形显示出左右对称。五官端正即指五官人体外形显示出左右对称。五官端正即指五官的比例合度、匀称。达芬奇曾研究过五官的比例，的比例合度、匀称。达芬奇曾研
31、究过五官的比例，他认为耳朵应与鼻子一样长，两只眼睛的距离要等他认为耳朵应与鼻子一样长，两只眼睛的距离要等于一只眼睛的大小，若鼻子与嘴巴太近，或两眼挤于一只眼睛的大小，若鼻子与嘴巴太近，或两眼挤在一起，就有点其貌不扬了。在一起，就有点其貌不扬了。体现体现黄金分割比例黄金分割比例的事物给人以美感。许多名画的主体的事物给人以美感。许多名画的主体在画面的黄金分割点处，不少著名的高潮在全曲的在画面的黄金分割点处，不少著名的高潮在全曲的0.6180.618处。处。演员站在舞台上的黄金分割点处给观众的感觉、音响效果等演员站在舞台上的黄金分割点处给观众的感觉、音响效果等较好。人的肚脐是身长的黄金分割点，膝盖又
32、是肚脐以下部较好。人的肚脐是身长的黄金分割点，膝盖又是肚脐以下部分体长的黄金分割点。人对气温的分体长的黄金分割点。人对气温的适宜程度适宜程度228228，第34页，共48页，编辑于2022年，星期六中华人民共和国的国旗中华人民共和国的国旗智慧女神雅典娜，太阳神阿波罗的身段比接近黄金分智慧女神雅典娜，太阳神阿波罗的身段比接近黄金分割比。割比。给人美感的书、装饰品、立体家电等给人美感的书、装饰品、立体家电等黄黄金三角形：金三角形：顶角为顶角为3636的等腰三角形的等腰三角形 黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为3636，每个底角为每个底角为72.72.它的腰
33、与它的底成黄金比当底它的腰与它的底成黄金比当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形这两三角形之一相似于原两个较小的等腰三角形这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线第35页，共48页，编辑于2022年，星期六球、圆、轴对称、中心对称，给人美观舒适之感。球、圆、轴对称、中心对称，给人美观舒适之感。逆运算的建立（加、减、乘、除、乘方、开方、函数、逆运算的建立（加、减、乘、除、乘方、开方、函数、反函数、映射、逆映射等）反函数、映射、逆映射等）微分、积分、正、负、分、整
34、、有理数、无理数、实数微分、积分、正、负、分、整、有理数、无理数、实数到虚数等数的扩张是追求匀称美的突破。到虚数等数的扩张是追求匀称美的突破。杨辉三角形杨辉三角形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 1三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式第36页，共48页，编辑于2022年，星期六圆内接四边形面积圆内接四边形面积自然对数中自然对数中e的引进的引进lg1=0 lg10=1lg100=2第37页，共48页，编辑于2022年，星期六4 4、奇异美在数学中的体现、奇异美在数学中的体现奇异、新颖、出乎意料而引起人们的赞美。奇异、新颖、出乎意料而引起人们的赞美。蒲丰投针问题：针的长度
35、为平行线间的距离的一半。共投蒲丰投针问题：针的长度为平行线间的距离的一半。共投22122212次，次，其中与任一平行线相交其中与任一平行线相交704704次，宣布二者之比即为圆周率次，宣布二者之比即为圆周率 的的值。值。阿达姆斯的幻六角形把阿达姆斯的幻六角形把1-191-19的数均匀分布，给人一种奇异的数均匀分布，给人一种奇异美的享受。莫比乌斯带。美的享受。莫比乌斯带。一张纸对折一张纸对折30次估算其高度、棋盘摆次估算其高度、棋盘摆麦粒麦粒、一分钱换十万元、一分钱换十万元 亲和数亲和数220220和和284284的关系体现奇异美。杨辉三角形与裴波那契的关系体现奇异美。杨辉三角形与裴波那契数列之
36、间的关系。数列之间的关系。1 1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 11，1，2，3，5，8，13，21第38页，共48页，编辑于2022年，星期六17771777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法法随机投针法，即著名的布丰投针问题。这一随机投针法，即著名的布丰投针问题。这一方法的步骤是：方法的步骤是：1)1)取一张白纸，在上面画上许多条间距为取一张白纸，在上面画上许多条间距为d d的平行线。的平行线。2)2)取一根长度为取一根长度为l l（ldld）的针，随机地向画有平行直的针，随机地向画有平行直线的纸上掷线的纸上掷n n次，观察针与直线相
37、交的次数，记为次，观察针与直线相交的次数，记为m m3 3）计算针与直线相交的概率）计算针与直线相交的概率 蒲丰投针问题蒲丰投针问题第39页，共48页，编辑于2022年，星期六是一种是一种拓扑拓扑学学结构，它结构，它只有一个面只有一个面（表面），（表面），和一个边界。和一个边界。莫比乌斯带莫比乌斯带第40页，共48页，编辑于2022年，星期六亲和数是一对数，其中每一个数是另一个数的因数之和。毕达亲和数是一对数，其中每一个数是另一个数的因数之和。毕达哥拉斯学派得到过非平凡的发现，即哥拉斯学派得到过非平凡的发现，即220220和和284284是亲和数。是亲和数。220220的因数是的因数是1 1，
38、2 2，4 4，5 5，1010，1111，2020，2222，4444，5555，110110，它们，它们的和是的和是284284；另一方面，；另一方面，284284的因数是的因数是1 1，2 2，4 4，7171，142142，它们，它们的和是的和是220220。这一对数这一对数220220和和284284被认为是友谊的象征。马丁被认为是友谊的象征。马丁加德加德纳纳(Martin Gardner)(Martin Gardner)的书数学魔术的书数学魔术(Mathematical Magic)(Mathematical Magic)中谈到过中世纪出售的一种护身符，这种护身符上刻有这两个中谈到
39、过中世纪出售的一种护身符，这种护身符上刻有这两个数字，其理由是佩戴这种护身符能促进爱情。有一种习俗，就数字，其理由是佩戴这种护身符能促进爱情。有一种习俗，就是在一只水果上刻下是在一只水果上刻下220220这个数字，在另一只水果上刻下这个数字，在另一只水果上刻下284284，然后将第一只吃下，将每二只送给所爱的人吃。然后将第一只吃下，将每二只送给所爱的人吃。第41页，共48页，编辑于2022年，星期六16361636年费马发现第年费马发现第2 2对亲和数：对亲和数：1729617296和和1841618416。笛卡尔发现了第。笛卡尔发现了第3 3对：对：93635849363584和和94370
40、569437056。接着欧拉列举了。接着欧拉列举了6262对亲和数。奇对亲和数。奇怪的是他们都忽略了一对小得多的亲和数。怪的是他们都忽略了一对小得多的亲和数。18661866年，年，6060岁的意大利人尼科洛岁的意大利人尼科洛帕格尼帕格尼尼尼(Nicolo Paganini)(Nicolo Paganini)发现了这一对亲和数发现了这一对亲和数11841184和和12101210。第42页，共48页，编辑于2022年，星期六 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 11 1 11 1 2 12 1 3 3 13 1 4 6 4 145 1 5 10 10 5 1第43页，共
41、48页，编辑于2022年，星期六学习了两数差的平方公式后，引导学生研学习了两数差的平方公式后，引导学生研究如下问题究如下问题98=98=（100-2100-2）=9604=9604998=998=（1000-21000-2）=996004=996004999.8=999.6000.4999.8=999.6000.49797，997997，.是否有类似的规律呢？是否有类似的规律呢？9999，999999，.规律又如何？规律又如何？呢？呢？第44页，共48页，编辑于2022年，星期六第45页，共48页，编辑于2022年，星期六数学教师：数学教师：教师体味教师体味挖掘挖掘渗透渗透学生领略学生领略外在美外在美内在美内在美数学美的四个层次：数学美的四个层次：美观美观美好美好美妙美妙完美完美 第46页，共48页，编辑于2022年，星期六1.1.数学的数学的认识价值认识价值1.11.1数学：科学的语言数学：科学的语言1.21.2数学：适用的思想方法数学：适用的思想方法2.2.数学的数学的智力价值智力价值3.3.数学的数学的精神价值精神价值4.4.数学的数学的美学价值美学价值回顾：数学的文回顾：数学的文化价值化价值第47页，共48页，编辑于2022年，星期六第48页，共48页，编辑于2022年，星期六