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1、第4讲 半群和群的定义和性质本讲稿第一页，共四十二页2022/9/232主要内容n半群n独异点n群本讲稿第二页，共四十二页2022/9/233半群n定义10.1(1)：是一个代数系统，其中S是非空集合，是S上的一个二元 运算(运算是封闭的)，如果运算是 可结合的，即对任意的x,y,zS，满足(xy)z=x(yz)则称代数系统为半群.本讲稿第三页，共四十二页2022/9/234例10.1n,为半群n设n2,为半群n,为半群nA=a1,a2,.,an,nZ+,*为A上的二元运算,a,b A有ai*aj=ai,则A关于*运算构成半群nSk=x|xZxk，为半群n，不是半群 本讲稿第四页，共四十二页2
2、022/9/235例10.2n=a,b，+为为所有由a,b组成的字符串,“”为为字符串的连接运算.n则 做成半群。本讲稿第五页，共四十二页2022/9/236独异点n定义10.1(2)：设是一个半群，若存在eS为S中关于运算的单位元单位元,则称为幺半群幺半群，也叫做独异点独异点。(有时也把单位元标明)本讲稿第六页，共四十二页2022/9/237例10.1nSk=x|xZxk，n(k0)？n？不是独异点是独异点本讲稿第七页，共四十二页2022/9/238例10.2n=a,b，+为所有由为所有由a,b组成的字符串组成的字符串,“”为字符串的连接运算为字符串的连接运算.n思考：思考：半群半群 是否做
3、成独异点？是否做成独异点？n空串空串 n*=+n 做成独异点做成独异点本讲稿第八页，共四十二页2022/9/239例10.3n幂集？n？n？本讲稿第九页，共四十二页2022/9/231010.4*n是单位元n可结合性在运算表中无特殊体现本讲稿第十页，共四十二页11群(Group)n定义10.1（3）：设是一个代数系统，其中G是非空集合，是G上一个二元运算，如果n(1).运算是封闭的n(2).运算是可结合的n(3).存在单位元en(4).对于每一个元素xG，存在着它的逆元x-1则称是一个群本讲稿第十一页，共四十二页2022/9/2312例10.1nSk=x|xZxk，n(k0)？n？不是群不是群
4、本讲稿第十二页，共四十二页2022/9/2313例10.2n=a,b，+为所有由为所有由a,b组成的字符串组成的字符串,”为字符串的连接运算为字符串的连接运算.n空串空串 n*=+n n思考：思考：独异点独异点 是否做成群？是否做成群？本讲稿第十三页，共四十二页2022/9/2314例10.3n幂集？n？n？单位元和逆元?本讲稿第十四页，共四十二页2022/9/2315例10.4(1-2)n(1)整数加群n(2)模n整数加群n 思考:是不是群?本讲稿第十五页，共四十二页2022/9/2316例10.4(3-6)n(3)n阶实矩阵加群n(4)n阶实可逆矩阵乘法群；n(5)所有行列式为1的n阶实可
5、逆矩阵 关于矩阵乘法；本讲稿第十六页，共四十二页2022/9/2317例10.5nKlein 四元群G=e,a,b,c*eabceeabcaaecbbbceaccbae本讲稿第十七页，共四十二页2022/9/2318例10.5(2)nKlein 四元群G=e,a,b,cne=(0,0)na=(0,1)nb=(1,0)nc=(1,1)n运算为逐分量模2加法,本讲稿第十八页，共四十二页2022/9/2319群的等价定义n定理(等价定义),可结合，若存在右单位元e，且每个元素a 相对于e 存在右逆元a，则G是群.n证明:n封闭性n可结合性n单位元？n逆元？本讲稿第十九页，共四十二页2022/9/23
6、20群的等价定义n证明:证e为左单位元.aG,有ae=a,所以有 ee=e(e为右单位元)。设存在a G,使得aa=e,代入得e(aa)=aa.因为a G,存在a G,使得aa=e上式两边右乘 a 得 eaaa=aaa,而aa=e因此有 ea=a.e 是G中的单位元.证a为a 的左逆元，设 a a=ea=ea=(aa)a=a(aa)=ae=a本讲稿第二十页，共四十二页2022/9/2321群的相关术语（定义10.2）n平凡群 只含单位元的群 en有限群与无限群n群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G|n交换群或阿贝尔（Abel）群本讲稿第二十一页，共四十二页2022/9/2322例10.6
7、（交换群）n(1)无限群;n(2)模6整数加群，阶为6n(3)模4整数加群，阶为4n(4)Klein 四元群G=e,a,b,c，阶为4n(5)群，阶为|P(B)|本讲稿第二十二页，共四十二页2022/9/2323n次幂n定义 设是一个半群，xS,n Z+,定义的x 的n次幂xn为:n 推广到独异点本讲稿第二十三页，共四十二页2022/9/2324n次幂实例n在半群中,xZ,x的n次幂是n在半群中,xP(B),x的n次幂是本讲稿第二十四页，共四十二页2022/9/2325n次幂（推广到群）n定义10.3 设是一个群，xG,n Z,定义的x 的n次幂xn为:本讲稿第二十五页，共四十二页2022/9
8、/2326元素的阶n定义10.4 设G是群，aG，元素a 的阶|a|：使得 ak=e 成立的最小正整数k.记作|a|=k,也称a为k阶元n与群的阶比较与群的阶比较n有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！）；n元素都是有限阶的群不一定是有限群.本讲稿第二十六页，共四十二页2022/9/2327例10.6（元素的阶）n(1)无限群，|0|=1n(2)模6整数加群，元素的阶n(3)模4整数加群，元素的阶n(4)Klein 四元群G=e,a,b,cn(5)群中元素的阶本讲稿第二十七页，共四十二页2022/9/2328幂运算的性质n定理10.1 幂运算规则(a-1)-1=a(ab)-1=b
9、-1a-1 anam=an+m(an)m=anm 若G 为Abel 群，则(ab)n=anbnn说明：n等式1 和2 证明用到逆元定义和唯一性n等式3 和4 的证明使用归纳法并加以讨论n等式2 可以推广到有限个元素之积.本讲稿第二十八页，共四十二页2022/9/2329模n剩余类n设Z是整数集合，n是任意正整数，Zn是由模n的同余（剩余）类组成的集合，在Zn上定义两个二元运算+m 和m:i,jZni+mj=(i+j)mod mimj=(ij)mod meg.，(令n为素数和不为素数两种)本讲稿第二十九页，共四十二页2022/9/2330整数同余式整数同余式n定义（同余）：称整数a模正整数m同余
10、于 整数b，记为ab（mod m）是指m|a-b,m称为模数。nm|a-ba=q1m+r且b=q2m+r，即a和b分别 除以m有相同的余数。“同余”二字的来源就 在于此。本讲稿第三十页，共四十二页2022/9/2331同余关系同余关系n相对于某个固定模数m的同余关系，是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质：自反性：对任意整数a有aa（mod m）对称性：如果ab(mod m)则ba（mod m）传递性：如果ab(mod m）bc（mod m）则ac(mod m)全体整数集合Z可按模m（m1）分成一些两两不交的等价类，称之为同余类或剩余类。本讲稿第三十一页，共四十二页2022/9/2
11、332n整数模m同余类共有m个，他们分别为km+0,km+1,km+(m-1)，其中 kZ，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称0,1,2,m-1为标准完全剩余系。nZ模12的标准剩余系为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11同（剩）余类同（剩）余类本讲稿第三十二页，共四十二页2022/9/2333n对于某个固定模m的剩余类可以象普通的数那样相加、相减和相乘：(1)a(mod m)b(mod m)=(ab)(mod m)(2)a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)消去率：对于abac（mod m）来说，若(a,m)1则bc(mod m
12、)剩余类间的运算剩余类间的运算本讲稿第三十三页，共四十二页2022/9/2334n例：通过同余式演算证明560-1是56的倍数。解：注意53=12513(mod56)于是有56132 1691(mod56)因此有5601(mod56)，即有56560-1。剩余类应用举例剩余类应用举例，(令n为素数和不为素数两种)本讲稿第三十四页，共四十二页2022/9/2335子半群(子独异点)n定义：设是一个半群，BS且*在B上是封闭的，那么也是一个半群，通常称是半群的子半群;n设是一个独异点，BS,eB且*在B上是封闭的，那么也是一个独异点，通常称是独异点的子独异点。n半群S的子代数是S的子半群,独异点S
13、的子代数是S的子独异点本讲稿第三十五页，共四十二页2022/9/2336子半群举例nA关于矩阵乘法构成半群,且它是的 子半群,令 ,则V是子独异点 本讲稿第三十六页，共四十二页2022/9/2337子半群的交集n定理10.3:若干子半群的非空交集仍为子半群；若干子独异点的交集仍为子独异点.n(只需证明封闭性)n思考:若干子半群的并集是否仍然是子半群?本讲稿第三十七页，共四十二页2022/9/2338同态和同构n半群与独异点的同态和同构n半群 f(xy)=f(x)f(y)n独异点 f(xy)=f(x)f(y),f(e)=e本讲稿第三十八页，共四十二页2022/9/2339同态的性质n定理:设 f
14、 是从代数系统A到代数系统B的同态映射，则若A是半群(独异点)，则 同态象f(A)也是半群(独异点)本讲稿第三十九页，共四十二页2022/9/2340半群的同态性质定理 设V=为半群，V=，为映射复合，则V 也是半群，且存在V 到V 的同态.证：设 fa:SS,fa(x)=a x,faSS,且 fa|aS SS,令：SSS,(a)=fa,(a b)=fab,(a)(b)=fafb为证同态只需证明fa b=fafbxS,f a*b(x)=a*b*xfafb(x)=fa(b*x)=a*b*x本讲稿第四十页，共四十二页2022/9/2341独异点的同构性质定理 设V=为独异点，则存在TSS,使得同构于证：令：SSS,(a)=fa,则(a*b)=(a)(b)(e)=fe=IS,为独异点V 到的同态(a)=(b)fa=fb xS(a*x=b*x)a*e=b*e a=b,为单射令T=(S)，则TSS,且:ST 为双射，本讲稿第四十一页，共四十二页2022/9/2342作业nP202n2,3,4,5,6本讲稿第四十二页，共四十二页