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1、数字电路 第二章 逻辑代数基础第1页，共37页，编辑于2022年，星期六2.1 概概 述述数字电路数字电路要研究的是电路的输入输出之间的因果要研究的是电路的输入输出之间的因果关系关系,也就是逻辑关系，所以数字电路又称也就是逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相应的研究工具是相应的研究工具是逻辑代数逻辑代数（逻辑代数是（逻辑代数是19世纪中世纪中叶英国数学家布尔首先提出的，所以又叫叶英国数学家布尔首先提出的，所以又叫布尔代数布尔代数）。逻辑关系是如何来表述的呢？第2页，共37页，编辑于2022年，星期六2.2 逻辑函数逻辑函数2.2.1 基本逻辑关系与逻辑代数基本逻辑关系与逻辑代数如果决
2、定某一件事F发生或成立与否的条件有多个,分别用A、B、C表示，并规定：F“1”代表事件发生（或成立)，F“0”代表事件不发生（或不成立)；第3页，共37页，编辑于2022年，星期六ABC“1”代表条件具备，ABC“0”代表条件不具备；“1”“0”逻辑1逻辑0正逻辑，负逻辑那麽F与ABC之间就有以下三种基本的逻辑关：第4页，共37页，编辑于2022年，星期六1.“与与”逻辑逻辑A、B、C都具备时，事件都具备时，事件F才发生。才发生。EFABC&ABCF逻辑符号逻辑符号AFBC00001000010011000010101001101111逻辑式：逻辑式：F=ABC逻辑乘法逻辑乘法逻辑与逻辑与真值
3、表真值表逻辑函数逻辑变量第5页，共37页，编辑于2022年，星期六2.“或或”逻辑逻辑A、B、C只有一个具备时，事件只有一个具备时，事件F就发生。就发生。1ABCF逻辑符号逻辑符号AEFBCAFBC00001001010111010011101101111111逻辑式：逻辑式：F=A+B+C逻辑加法逻辑加法逻辑或逻辑或真值表真值表第6页，共37页，编辑于2022年，星期六3.“非非”逻辑逻辑A具备时具备时，事件，事件F不发生；不发生；A不具备时，事件不具备时，事件F发生。发生。逻辑符号逻辑符号AEFRAF逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反真值表真值表AF0110第7页，共37页，编辑于2022年，星期六
4、4.几种常用的逻辑关系逻辑几种常用的逻辑关系逻辑“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的逻辑关系，是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都是在此基础上发展的。任何其它的逻辑关系都是在此基础上发展的。与非：与非：全全1则则0，任，任0则则1。&ABCF第8页，共37页，编辑于2022年，星期六或非：或非：任任1则则0，全，全0则则1。1ABCF异或：异或：条件条件A、B有一个具备，有一个具备，另一个不具备另一个不具备则则F 发生。发生。=1ABCF第9页，共37页，编辑于2022年，星期六标准符号惯用符号国外符号&ABCFABCFABCF1ABCF+ABCFABCF1AFAFAF1ABFABF
5、ABF第10页，共37页，编辑于2022年，星期六5.几种基本的逻辑运算几种基本的逻辑运算从三种基本的逻辑关系，我们可以得到以下逻辑从三种基本的逻辑关系，我们可以得到以下逻辑运算：运算：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=1第11页，共37页，编辑于2022年，星期六2.3 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则一、基本运算规则一、基本运算规则A+0=A A+1=1 A 0=0 A=0 A 1=A第12页，共37页，编辑于2022年，星期六二、基本代数规律二、基本代数规律交换律交换律结合律结合律分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=
6、(A+B)+C=(A+C)+BA(B C)=(A B)CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代普通代数不适数不适用用!第13页，共37页，编辑于2022年，星期六三、吸收规则三、吸收规则1.原变量的吸收：原变量的吸收：A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：被吸收被吸收第14页，共37页，编辑于2022年，星期六2.反变量的吸收：反变量的吸收：证明：证明：例如：例如：被吸收被吸收第15页，共37页，编辑于2022年，星期六3.混合变量的吸收：混合变量的吸收：证明：证明：例
7、如：例如：1吸收吸收第16页，共37页，编辑于2022年，星期六4.反演定理：反演定理：可以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明：提供了一个求反函数的途径所以是一条重要的定律异或求反第17页，共37页，编辑于2022年，星期六注意：注意：ABACAB=AC未必有BC未必有BC逻辑代数中没有减法与除法。第18页，共37页，编辑于2022年，星期六2.4 逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。2.4.1 真值表真值表注意：注意：n个变量可以有个变量可以有2n个组合，一般按二进制的个组合，一般按二进制的顺序，输出
8、与输入状态一顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的一对应，列出所有可能的状态。状态。第19页，共37页，编辑于2022年，星期六2.4.2 逻辑函数式逻辑函数式逻辑代数式：逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常通常采用采用“与或与或”的形式。的形式。例：例：最小项：最小项：若表达式中的乘积包含了所有变量的原变若表达式中的乘积包含了所有变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项。量或反变量，则这一项称为最小项。逻辑相邻：逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以原、
9、反区别，若两个最小项只有一个变量以原、反区别，则称它们逻辑相邻。则称它们逻辑相邻。上例中每一项都是最小项。上例中每一项都是最小项。第20页，共37页，编辑于2022年，星期六逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子合并，消去一个因子第21页，共37页，编辑于2022年，星期六2.4.3 卡诺图卡诺图 卡诺图的构成：卡诺图的构成：将将n个输入变量的全部最小项用小个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相临的最小项放在方块阵列图表示，并且将逻辑相临的最小项放在相临的几何位置上，所得到的阵列图就是相临的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量变量的卡诺图。的卡诺图。
10、卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。和左方。第22页，共37页，编辑于2022年，星期六ABCD0001111000011110四变量卡诺图四变量卡诺图编号为编号为0010的的单元对应于最单元对应于最小项：小项：ABCD=0100时函时函数取值数取值函数取函数取0、1均均可，称为可，称为无所无所谓状态谓状态。只有一只有一项不同项不同AB0101两变量卡诺图两变量卡诺图ABC0001111001三变量卡诺图三变量卡诺图第23页，共37页，编辑于2022年，星
11、期六有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。元格的编号。单元格的值用函数式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7单元取单元取1，其它取，其它取0ABCD0001111000011110四变量卡诺图单四变量卡诺图单元格的编号元格的编号第24页，共37页，编辑于2022年，星期六2.4.4 逻辑图逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。来，就构成了逻辑图。&AB&CD 1FF=AB+CD第25页，共37页，编辑于202
12、2年，星期六2.5 逻辑函数的两种化简法逻辑函数的两种化简法2.5.1 利用逻辑代数的基本公式利用逻辑代数的基本公式例例1：反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出提出A第26页，共37页，编辑于2022年，星期六例例2：反演反演配项配项被吸收被吸收被吸收被吸收第27页，共37页，编辑于2022年，星期六AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！请注意与普通代数的区别！第28页，共37页，编辑于2022年，星期六2.5.2 利用卡诺图化简利用卡诺图化简ABC0001111001第29页，共37页，编辑于2022年，星期六ABC0001111001ABBCF=AB+BC化简
13、过程：化简过程：第30页，共37页，编辑于2022年，星期六利用卡诺图化简的规则利用卡诺图化简的规则1.相邻单元的个数是相邻单元的个数是2N个，并组成矩形时，可以合并。个，并组成矩形时，可以合并。ABCD0001 111000011110ADABCD0001111000011110第31页，共37页，编辑于2022年，星期六2.先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少每项的因子先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少每项的因子数。数。3.各最小项可以重复使用。各最小项可以重复使用。4.注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。5.所有的所有的1都被圈过后，化简
14、结束。都被圈过后，化简结束。6.化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。第32页，共37页，编辑于2022年，星期六例例1：化简化简F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011110A第33页，共37页，编辑于2022年，星期六例例2：化简化简ABCD0001111000011110ABD第34页，共37页，编辑于2022年，星期六例例3：已知真值表如图，用卡诺图化简。已知真值表如图，用卡诺图化简。101状态未给出，即是无所谓状态。状态未给出，即是无所谓状态。第35页，共37页，编辑于2022年，星期六ABC0001111001化简时可以将无所谓状态当作化简时可以将无所谓状态当作1或或 0，目的是，目的是得到最简结果。得到最简结果。认为是认为是1AF=A第36页，共37页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 结束结束数字电子技术数字电子技术第37页，共37页，编辑于2022年，星期六