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1、Aufgaben zur RechnerbungDigitale SignalverarbeitungInstitut fr NachrichtentechnikTU BraunschweigHinweise zum Bestehen des KolloquiumsGrundstzlich ist smtlicher Programmcode innerhalb der Gruppe eigenstndig zuentwickeln, eine Ausnahme bildet ausschlielich explizit in der Aufgabenstellungerwhnter Code
2、 von Drittparteien. Bei der Abnahme prsentierter Programmcode,welcher auerhalb der Gruppe entwickelt wurde, wird als Tuschungsversuch(Plagiat) eingestuft.AllgemeinePrfungsordnung(APO)bezglichTuschungsversuche(Auszug aus 11, Absatz 4):“In besonders schweren Fllen - insbesondere bei Plagiaten und Wied
3、erholungsfllen- kann der Prfungsausschuss zustzlich das endgltige Nichtbestehen der Prfungs-oder der Studienleistung und damit das Scheitern in dem Studiengang feststellen.”Jedes Gruppenmitglied muss zum Zeitpunkt des Kolloquiums in der Lage sein, denentwickelten Lsungsweg detailliert erklren und be
4、grnden zu knnen. Besteht beider Abnahme der Eindruck, dass ein Gruppenmitglied diese Voraussetzung nichterfllt, gilt die Studienleistung dieses Gruppenmitglieds als “nicht ausreichend” bzw.“nicht bestanden” bewertet. Dieselbe Bewertung kann auch vergeben werden, wennein Gruppenmitglied den ordnungsg
5、emen Ablauf des Kolloquiums strt. In diesemFall kann das Gruppenmitglied von der Fortsetzung des Kolloquiums ausgeschlossenwerden.11Kanonische Grundformen zeitdiskreter Systeme1.1GrundlagenGegeben ist die Datei sieb.m:function s,v = sieb(b,x,w)%s = sieb(b,x)s = sieb(b,x,w)%s,v = sieb(b,x)s,v = sieb(
6、b,x,w)%bestimmt aus dem Eingangssignal x das Ausgangssignal s%eines durch den Koeffizientenvektor b gegebenen%nichtrekursiven linearen Systems.%x und s sind Vektoren gleicher Laenge.%(sergibt sich als Spaltenvektor.)%b ist ein Vektor der Laenge M+1, der die Uebertragungsfunktion%H(z) =b0 + b1*z-1 +
7、b2*z-2 + . + bM+z-M%betrifft. (b(1)=b0 ,., b(M+1)=bM).%Die Vektoren vu. wbetreffen den Zustandsvektor%fuer die direkte Form.%w dient zur Eingabe eines Anfangszustands%v dient zur Ausgabe des Endzustands!%(v ergibt sich als Spaltenvektor)%Wenn eigabeseitig w fehlt, wird ein genuegend langer%Nullvekto
8、r als Anfangszustand erzeugt.l,c=size(b); if l=1, b=b; M=c-1; else M=l-1; endl,c=size(x); if l=1, x=x; K=c;else K=l; endif nargin2, l,c=size(w); if l=1, w=w; W=c; else W=l; endelse W=M; w=zeros(W,1); endif WM, w=w; zeros(M-W,1); endfor n=1:K, s(n,1) = b(1)*x(n)+b(2:M+1)*w;w = x(n); w(1:M-1); endv=w;
9、Die dadurch definierte Funktion sieb realisiert ein nichtrekursives Filter, dessenImpulsantwort durch den Koeffizientenvektor b vorgegeben werden kann.Die ersten fnf Programmzeilen (Kommentar- und Leerzeilen nicht mitgezhlt) stel-len sicher, da die Funktion als Eingabeparameter b,x,w sowohl Spalten-
10、 als auchZeilenvektoren akzeptiert und da der dritte Eingabeparameter w auch weggelassenwerden darf.Die 6. und 7. Programmzeile realisieren die direkte Form des nichtrekursiven Filters:2z1z1z1z1z1b(2)b(3)b(1)x(n)b(M)s(n)w(M+1)w(M)b(M+1)w(2)w(3)1.2AufgabenstellungEin MATLAB-Programm zur Lsung der fol
11、genden Aufgaben soll in der Dateiversuch1.m festgehalten werden. Gegebenenfalls sind fr selbsterstellte Funktionenzustzliche .m-Dateien vorzusehen.1. Einsatz eines FIR-Systems in der direkten Forma) bernehmen Sie die ersten 5 Zeilen der Datei vielfalt.m, um ein Signalx(t) und einen Koeffizientenvekt
12、or b = h zu generieren.b) Verwenden Sie die Funktion sieb, um x und h zu falten. Beachten Sie,da das gesuchte Ergebnis y der Faltung lnger als x ist. Stellen Sie dasErgebnis y graphisch dar. (Verwenden Sie einen pause-Befehl, um Zeitzur Betrachtung zu schaffen.)c) berprfen Sie die Richtigkeit des Er
13、gebnisses y, indem Sie es mit demErgebnis y0 der Faltung von x und h durch die Funktion ohnewenn ver-gleichen. Stellen Sie die Differenz zwischen y und y0 graphisch dar (pause-Befehl nicht vergessen).2. Entwicklung und Einsatz eines FIR-Systems in der transponierten direktenForma) bernehmen Sie die
14、Befehle aus der Datei vorgabe.m, um eine neue Funk-tion x(t) und einen neuen Koeffizientenvektor b zu generieren. (Es gengt,den Befehl vorgabe zu geben!)%VORGABET=0.0001;% Abtastfrequenz 10kHz,t=(0:T:1023*T);% 1024 Abtastzeitpunktex=3*cos(2*pi*70*t)+sin(2*pi*150*t);% 2 Frequenzkomponenten, 70Hz u. 1
15、50Hzload response;% nichtrekrsives Filter zur Unter-b=response(1:95);% drueckung der 70Hz-KomponenteM=length(b)-1; n=length(x);%subplot(2,1,1), plot(t,x)% Signal x(t) im Bild oben%subplot(2,1,2), plot(t(1:M+1),b)% Impulsantwort des Filters%pause% im Bild untendfi=(2*pi)/n;ki=(0:(n/2)-1)*(0:M);% Matr
16、ix von Exponenten3z=exp(-j*ki*dfi);% Matrix von Potenzen von z-1=e(-j*dfi)% Eine Zeile je Stuetzstelle am Einheits-%plot(z(1:16:n/2,2),o)% kreis. Eine Spalte je Potenz%pause% Auswahl von Stuetzstellen im Bild untenH=abs(z(:,1:M+1)*b);% Amplitudengangf=(0:1/(n*T):(n/2)-1)/(n*T);% Amplitudengang fuer
17、Frequenzen 300Hz%plot(f(1:30),H(1:30); pause% im Bild untenb) Verwenden Sie die Funktion sieb, um x und b zu falten. Beachten Siewiederum, da das gesuchte Ergebnis y lnger als x ist!c) Schaffen Sie eine neue Funktion transieb, welche die transponierte di-rekte Form des nichtrekursiven Filters realis
18、iert.z1z1z1z1z1w(M1)w(M)b(M)b(M+1)b(M1)b(1)b(2)s(n)x(n)w(1)w(2)d) Verwenden Sie die Funktion transieb, um x und b zu falten. NennenSie das Ergebnis p und berprfen Sie seine Richtigkeit, indem Sie p undy vergleichen. Stellen Sie die Differenz zwischen y und p graphisch dar.(pause-Befehl nicht vergess
19、en.)3. Entwicklung und Einsatz eines IIR-Systems in kanonischer Forma) Schaffen Sie eine neue Funktion filtrat gem der in der Dateifiltrat.m bereits als Kommentare vorhandenen Spezifikation. Realisiertwerden soll die folgende kanonische Form4z1z1z1z1w(1)s(n)x(n)b(1)b(2)b(M)b(M+1)w(M)w(N)w(2)a(3)a(N)
20、a(2)a(N+1)Fr M und N sollen beliebige positive ganze Zahlen zulssig sein (sowohlM N als auch M N mssen zulssig sein).function s,v = filtrat(b,a,x,w)%s= filtrat(b,a,x)s,v = filtrat(b,a,x)%s= filtrat(b,a,x,w)s,v = filtrat(b,a,x,w)%bestimmt aus dem Eingangssignal x das Ausgangssignal s%eines durch die
21、Koeffizientenvektorenb, agegebenen%linearen Systems.%x und s sind Vektoren gleicher Laenge.%s ergibt sich als Spaltenvektor.%a,b betreffen das Nenner- und das Zaehlerpolynom von H(z):%b0 + b1*z-1 + b2*z-2 + . + bM+z-M%H(z) = -%1 + a1*z-1+ a2*z-2 + . + aN*z-N%b(1)=b0 . b(M+1)=bMa(1)=1a(2)=a1 .a(N+1)=
22、aN%5%Die Vektoren v u. wbetreffen den Zustandsvektor%fuer diejenige kanonische Form des Systems, die sich aus der%transponierten direkten Form ergibt.%w dient zur Eingabe eines Anfangszustands.%v dient zur Ausgabe des Endzustands und ergibt sich als Spaltenvektor.%Wenn eigabeseitig w fehlt, wird ein
23、 genuegend langer%Nullvektor als Anfangszustand erzeugt.b) Whlen Sieb=1,2 cos(2 pi 0.007),1;a=1,1.92 cos(2 pi 0.007),0.9216;und benutzen Sie die von Ihnen erstellte Funktion filtrat zur Filterungdes Signals x(t). Nennen Sie das Ergebnis r, stellen Sie es graphisch darund vergleichen Sie es mit dem E
24、rgebnis p der frheren Filterung vonx(t) mit der Funktion transieb (Aufgabe 2,4).c) Erzeugen Sie mit Hilfe der Funktion filtrat die Impulsantwort des zuvorverwendeten Filters. Nennen Sie sie h(t) und stellen Sie sie im Intervall0.0001 s t 0.02 s graphisch dar.d) Vergleichen Sie die Impulsantwort mit
25、jener des in 2,2 bzw. 2,4 verwen-deten FIR-Systems. (Graphische Darstellung der Differenz!)4. Abschnittsweise Filterung langer Signalea) Signale im praktischen Anwendungen haben oft eine so groe Dauer, dadie Darstellung durch einen einzigen Vektor nicht mehr mglich ist. SolcheSignale mssen abschnitt
26、sweise behandelt werden. Die vorgegebene Funk-tion sieb und auch die von Ihnen gewnschten Funktionen transieb undfiltrat untersttzen die abschnittsweise Filterung, indem sie die Einga-be von Anfangszustnden und die Ausgabe der Endzustnde erlauben.Behandeln sie das durch vorgabe gegebene Signal x(t)
27、unter der An-nahme, da nur Abschnitte mit maximal 256 Abtastwerten als einzelnerVektor erfabar sind.- Zerlegen sie das gegebene Signal x(t) in Teilvektoren, die Sie x0, x1,.usw. nennen.Bearbeiten Sie die einzelnen Teilvektoren der Reihe nach einzeln mitder Funktion filtrat. Nennen Sie die Teilergebn
28、isse q0, q1,. usw.und setzen Sie sie zum Gesamtergebnis q zusammen. berprfen Siedie Richtigkeit von q durch Vergleich mit dem unter 3,2 bei der Fil-terung von x(t) in einem Stck erzielten Ergebnis r. (Grafische Dar-stellung der Differenz!)62Frequenzgang zeitdiskreter Systeme2.1AufgabenstellungEin MA
29、TLAB-Programm zur Lsung der folgenden Aufgaben soll in der Dateiversuch2.m festgehalten werden. Gegebenenfalls sind fr selbsterstellte Funktionenzustzliche .m-Dateien vorzusehen.bernehmen Sie die Befehle aus der Datei vorgabe.m, um eine Funktion x(t) unddie Impulsantwort eines FIR-Systems zu erzeuge
30、n (siehe bung 1, Teilaufgabe 2,a).bernehmen Sie auerdem die in bung 1, Teilaufgabe 3,b verwendeten Koeffizien-tenvektoren fr die bertragungsfunktion eines IIR-Systems. (Es ist jenes System,das in bung 1 in den Teilaufgaben 3,b bis 3,d und 4 verwendet wurde.)b=1,2 cos(2 pi 0.007),1a=1,1.92 cos(2 pi 0
31、.007),0.92161. Erstellen Sie die FunktionH = fgang(b,a,K)durch die der Frequenzgang eines durch die Koeffizientenvektoren b,a gegebe-nen linearen Systems bestimmt wird, indem die bertragungsfunktionH(z) =b0+ b1z1+ . + bMzM1 + a1z1+ . + aNzNam Einheitskreis im Intervall 0 an K +1 in gleichmigen Winke
32、lab-stnden = /K angeordneten Punkten berechnet wird. Der resultierendeVektor H soll also aus K + 1 komplexen Werten (Sttzstellen)H(ejk)0kKbestehen. Whlen Sie mindestens K = 8192.Behandeln Sie dabei zunchst Zhler- und Nennerpolynom getrennt, z.B. nachder in vorgabe fr das Zhlerpolynom verwendeten Met
33、hode.2. Verwenden Sie die Funktion fgang dazu, den Amplitudengang (d.h. den Betragdes Frequenzgangs) des durch die aus bung 1 bernommenen Polynome b unda gegebenen IIR-Systems zu bestimmen.Stellen Sie den Amplitudengang |H(f)| fr Frequenzen unter 300 Hz grafischdar und vergleichen Sie ihn mit dem Am
34、plitudengang des in vorgabe gegebe-nen FIR-Systems (vgl. bung 1, Aufgabe 2,a).73. Die Unterdrckung der 70 Hz-Komponente des betrachteten Eingangssignalsx(t) wird durch zwei Nullstellen des Zhlerpolynoms am Einheitskreis in derz-Ebene bewirkt. Diese Nullstellen liegen beiz = ej270TFr die brigen Frequ
35、enzen wird der Einflu dieser Nullstellen durch zweiknapp daneben liegende Pole weitgehend kompensiert. Die Pole liegen beiz = 0.96 ej270TWhlen Sie nun Zhler- und Nennerpolynom so, da nun nicht die70 Hz-Komponente, sondern die 150 Hz-Komponente unterdrckt wird.a) Verwenden Sie die Funktion filtrat, u
36、m die 150 Hz-Komponente zuunterdrcken. Nennen Sie das resultierende Ausgangssignal g und stellenSie es graphisch dar.b) Bestimmen Sie den Amplitudengang des in 3,a verwendeten Filters undstellen Sie ihn fr Frequenzen unter 500 Hz graphisch dar.4. Unterdrcken Sie nun beide Frequenzkomponenten von x(t
37、),a) indem Sie die beiden in bung 2.1 3.,a) und in bung 1.2 3.,b) verwen-deten Filter nacheinander anwenden (Kaskadenschaltung),b) indem Sie Zhler- und Nennerpolynom durch Faltung der beiden Teil-polynome so bestimmen, da die Unterdrckung durch einen einzigenAufruf der Funktion filtrat gelingt.5. De
38、monstrieren Sie, da der Frequenzgang des in 4,b verwendeten Filters dasProdukt der Frequenzgnge der beiden in 4,a verwendete Filter ist, indem Sieihn einmal aus den in 4,b verwendeten Zhler- und Nennerpolynom und dannunmittelbar als Produkt bestimmen.83Diskrete Fouriertransformation3.1Aufgabenstellu
39、ng1. SpektralanalyseZu analysieren ist ein Ausschnitt aus dem Ausgangssignal eines rein rekursivenSystems mit der bertragungsfunktionH(z) =1(1 2r1cos2f1Tz1+ r21z2)(1 2r2cos2f2Tz1+ r22z2),an dessen Eingang eine periodische Folge von Einheitsimpulsen mit der Fre-quenz f0liegt.Das System wird mit einer
40、 Taktrate von 10 kHz betrieben, so da T = 104sgilt. Weiterhin geltef0= 250 Hz,f1= 1100 Hz,r1= 0,95 ,f2= 2800 Hz,r2= 0,9 ,und die Dauer des Ausschnitts seiD = 512 TDas Ziel der Analyse soll einerseits die Schtzung von f0und andererseitsdie numerische Darstellung einer Nherung fr den Amplitudengang |H
41、(f)| =|H(ej2fT)| des Systems sein.a) Erstellen Sie ein MATLAB-Programm, das den zu analysierenden Signal-ausschnitt erzeugt. Nutzen Sie dafr als Eingangssignal fr das rein re-kursive System H(z) die periodische Folge von Einheitsimpulsen mit derFrequenz f0= 250Hz. Nennen Sie den resultierenden Vekto
42、r x.b) Unterziehen Sie x einer 512-Punkt DFT. Verwenden Sie dazu dieMATLAB-AnweisungX = fft(x,n)wobei Sie fr n den Wert 512 einsetzen. Die Funktion fft liefert diekomplexe diskrete n-Punkt Fouriertransformierte von x, die hier X heiensoll.Stellen Sie den Betrag von X, d.h. abs(X) im Grafikfenster da
43、r, zunchsteinfach durch die Anweisung9plot(abs(X)Fr sptere Betrachtungen, versehen Sie die Grafik mit einer Frequenz-skala, indem Sie sich einen Vektorf512 = (0 : 10000/512 : 9999)erzeugen, und schrnken Sie die Darstellung auf Frequenzen 0 f 5000Hz ein. Verwenden Sie dazu die Anweisungenmx = max(abs
44、(X)subplot(2,1,1)plot(f512,abs(X),axis(0;5000;0;mx)c) Verkrzen Sie den betrachteten Signalausschnitt auf 32 T. Nennen Sieden verkrzten Ausschnitt x32 und unterziehen Sie ihn einer 32-PunktDFT.Nennen Sie das resultierende komplexe Spektrum X32 und stellen Sieabs(X32) im Grafikfenster dar, ohne die be
45、reits bestehende Grafik zuzerstren. Verwenden Sie dazu die Anweisungenf32 = (0 : 10000/32 : 9999)mx = max(abs(X32)subplot(2,1,2)stem(f32,abs(X32),axis(0;5000;0;mx)d) Verlngern Sie x32 durch Anfgen von Nullen auf die Lnge 512 T.Nennen Sie den verlngerten Vektor x32z und unterziehen Sie ihn einer512-P
46、unkt DFT.Nennen Sie das resultierende komplexe Spektrum X32z und stellen Sieseinen Betrag im unteren Teil des Grafikfensters dar, ohne die bereitsbestehenden Grafiken zu zerstren. Geeignete Anweigungen sindmx = max(abs(X32z)subplot(2,1,2)holdplot(f512,abs(X32z),r),axis(0;5000;0;mx)Der Zusatz0r0in de
47、r plot-Anweisung bewirkt, da die Grafik in der Farberot erzeugt wird.e) berlegen Sie, aus welchem der drei in der Grafik dargestellten Spektrendie Frequenz f0und aus welchen |H(f)| geschtzt werden kann.104Wechsel der TaktrateDie bung soll eine wichtige Anwendungsmglichkeit fr nichtrekursive Tiefpafi
48、lterverdeutlichen. Dabei handelt es sich um die Vernderung der Taktrate in zeitdis-kreten Systemen. Als Beispiel dient ein Sprachsignal, das mit 10 kHz abgetastetwurde und an einer HP-Workstation akustisch wiedergegeben werden soll. Fr dierichtige Wiedergabe ist dabei aber eine Abtastrate von 48 kHz
49、 erforderlich, so dadie Taktrate von 10 kHz auf 48 kHz gendert werden mu.4.1Theoretische GrundlagenEin bandbegrenztes zeitdiskretes Signal s(n) hat ein periodisches FrequenzspektrumS(ejT) =Xn=s(n)ejTn=X=S0j( 2T)Dabei ist = 2f die Kreisfrequenz, 1/T die Taktrate, fT die normierte Frequenz,T die normi
50、erte Kreisfrequenz undS0(j) =Pn=s(n) ejTnfr | 2fgT0sonstdie bei = 0 zentrierte Periode von S(ejT). Die Bandbegrenzung bedeutet, daS0(j) fr Frequenzen ber der Grenzfrequenz fgverschwindet. Unter der hier gel-tenden Voraussetzung, da fg12Tist, kann S0(j) als das Spektrum einer kon-tinuierlichen bandbe