2020年深圳市普通高中高三年级第二次调研考试-文科数学试题(含答案).pdf-淘文阁

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1、绝密启用前试卷类型：A2020 年深圳市高中高三年级第二次调研考试数学（文科）2020.6文科数学试题答案及评分参考第1页（共13页） 2020 年深圳市高三第二次调研考试文科数学试题答案及评分参考一、选择题 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. B 9. C 10. B 11. C 12. D 12.【解析】如图，取PB的中点M，连接CM 因为平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC=，AC平面ABC，ACBC，所以AC 平面PBC. 设点A到平面PBC的距离为2hACx=；由于2PCBC=，2PBx=（02x），M为PB的中点，所以CMP

2、B，24CMx=，可得2212442PBCSxxxx=， 222124(4)233A PBCxxVxxx=，设24(02)txt= ，则224xt=，所以232 (4)82(02)33A PBCttttVt= ，关于t求导得286( )3tV t= ，令( )0V t=，解得2 33t =，或2 33t = （舍），由( )V t单调性可知，当2 33t =时，32 3()27A PBCV=最大. 二、填空题： 13. 12 14. 512或75 15. n72 16. 538 16.解析：由题意得，), 0(bA，)0 ,( cF ，直线MN的方程为bxy=3，将by53=代入椭圆

3、方程解得ax54=，所以)53,54(baN，因为N在直线MN上，所以bab=54353，解得23=ab，所以21122=abe. 又222cba+=，所以222)32(cbb+=，解得cb3=，又)0 ,3(bM，所以)0 ,(cM，所以M为椭圆C的右焦点，所以cFM2=，绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前试题类型：试题类型：A 文科数学试题答案及评分参考第2页（共13页）由椭圆的定义可知，aNMNF2=+，所以622=+ ca，又ca2=，所以1=c，2=a，3=b，所以FAN的面积53858)(5321=bcbbFMS. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或

4、演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分）已知各项都为正数的等比数列，232a =，3458a a a = （1）求数列na的通项公式；（2）设2lognnba=，123|nnTbbbb=+，求nT 【解析】（1）由等比数列通项公式可得1232aa q=， 1 分又348a=可得3142aa q=， 3 分联立得712a =，14q =，或14q = （舍）， 5 分所以9 22nna=，Nn. 6 分（2）由（1）知2log92nnban=，Nn， 7 分 92 , 14| |92 |29, 4.nnnbnnn=， 8 分当14n时

5、，27(92 )82nnTnnn+=； 9 分当4n时，21(29)(753 1)(4)8322nnTnnn+=+ +=+， 11 分所以228, 14,832, 4.nnnnTnnn=+ 12 分【命题意图】考查等比数列的通项公式、等比中项性质、等差数列的前n项和公式、指数化简、分段函数等知识点，考查解方程和分类讨论思想，体现了数学运算的核心素养 18（本小题满分 12 分）为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如下等高条形图（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明

6、理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如下茎叶图，从茎叶图看，哪一na0%20%40%60%80%100%甲药乙药未治愈治愈文科数学试题答案及评分参考第3页（共13页）种药的疗效更好，并说明理由；甲药乙药 8 6 5 4 0 6 7 8 2 2 1 0 0 1 1 2 3 7 2 2 2 3 3 1 （3）标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度如果出现了治疗时间在)3,3(sxsx+之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进

7、行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：)()()(122221xxxxxxnsn+=. 参考数据：482340 . 【解析】（1）甲药的治愈率更高分（）甲药的疗效更好 4 分理由一：从茎叶图可以看出，有109的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有53的叶集中在茎1，2上，还有101的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为5 .12天，所以甲药的疗效更好理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药

8、患者的治疗时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好 6 分以上给出了三种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分以上给出了三种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分（）由（）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为 10102212121110108654=+=x， 8 分 8 . 44 .2310144441004162536=+=s， 10 分则4 . 43 sx，4 .243 + sx，而4 .2426，所以应该对患者进行进一步检查 12 分【命题意图】本题主要考查利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等

9、知识，体现了数据分析、数学运算等核心素养 19（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，60ABC=，12AAAB=，M，N分别为AB，1AA的中点（1）求证：平面1B NC平面CMN；（2）若2AB =，求点N到平面1B MC的距离文科数学试题答案及评分参考第4页（共13页）【解析】（1）证明：方法一：方法一：因为直四棱柱1111ABCDABC D，所以1AA 平面ABCD，因为CM 平面ABCD，所以1AACM，因为底面ABCD为菱形，60ABC=，M分别为AB的中点所以CMAB， 1 分因为1AAABA=，1AA 平

10、面11ABB A，AB 平面11ABB A，所以CM 平面11ABB A， 2 分因为1B N 平面11ABB A，所以CM1B N； 3 分因为M为AB中点，N为1AA中点，12AAAB=，所以111212ABABANAA=，1112212AAA NAMAB=，因为1190B A NNAM= =，所以11AB NANM，所以11AB NANM= ，11A NBAMN= ，所以1190A NBANM+=，所以1B NMN， 4 分因为MNCMM=，MN 平面CMN，CM 平面CMN，所以1B N 平面CMN， 5 分因为1B N 平面1B NC，所以平面1B NC平

11、面CMN. 6 分方法二：方法二：假设2 (0)ABa a=，则122 2AAABa= 1 分因为直四棱柱1111ABCDABC D，所以侧面11ABB A为矩形，因为M为AB中点，N为1AA中点，122 2AAABa=，所以3MNa=，13B Ma=，16B Na=，所以22211BMBNMN=+ 所以1B NMN， 2 分因为底面ABCD为菱形，60ABC=，2ABa=，所以2ACa=，所以226CNACANa=+=，因为2211116B NABANa=+=，22112 3BCBCB Ba=+=， 3 分所以21212CBNBCN=+，文科数学试题答案及评分参考第5

12、页（共13页）所以1B NCN， 4 分因为MNCNN=，MN 平面CMN，CN 平面CMN，所以1B N 平面CMN， 5 分因为1B N 平面1B NC，所以平面1B NC平面CMN 6 分（2）方法一：方法一：因为直四棱柱1111ABCDABC D，2AB =，M，N分别为AB，1AA的中点，所以122 2AAAB=，223MNAMAN=+=， 22113BMBMBB=+=，22112 3BCBCBB=+=， 2211116B NABAN=+=， 7 分因为底面ABCD为菱形，60ABC=，所以3CM =，226CNACAN=+= 8 分由（1）知1B N 平面CMN

13、，设点1B到平面CMN的距离为1h，则16h =，9 分因为222CNMNCM=+，所以133322CMNS=，因此111632BCMNCMNVSh= 10 分因为13B M =，12 3BC =，3CM =，所以113 33322B CMS= =， 11 分设点N到平面1BCM的距离为2h，因为111213BCMNN B CMB CMVVSh=，所以213 36322h=，因此22h = 12 分方法二：方法二：因为直四棱柱1111ABCDABC D，2AB =，M为AB中点，N为1AA中点所以122 2AAAB=，223MNAMAN=+=， 22113BMBMBB=+=

14、，22112 3BCBCBB=+=， 2211116B NABAN=+=， 7 分又因为底面ABCD为菱形，60ABC=，可得3CM =，226CNACAN=+=，易知1AACM，CMAB，1AAABA=，所以CM 平面1B MN，设点C到平面1B MN的距离为1h，则13hCM=， 8 分因为11113 236222B MNSMN B N=，文科数学试题答案及评分参考第6页（共13页）所以1111632C B MNB MNVSh=， 10 分因为13B M =，12 3BC =，3CM =，所以113 33322B CMS= =， 11 分设点N到平面1BCM的距离为2h

15、，因为111213BCMNN B CMB CMVVSh=，所以213 36322h=，因此22h = 12 分【命题意图】本题主要考查了直棱柱的定义、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养 20（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知定点)0 , 1 (F，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足0=BFAB，A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C. (1) 求C的方程； (2) 已知点)2, 3( G，动直线)3( =ttx与C相交于P，Q两点，求过G，P，

16、Q三点的圆在直线2=y上截得的弦长的最小值. 【解析】（）方法一：方法一：设)0 ,(aA，), 0(bB，),(yxM，因为0=BFAB， 1 分所以() ()0, 1,=bba，所以2ba=， 2 分又点B为AM的中点，所以02=+ax，by=2， 3 分所以xa=， 4 分将，式代入2ba=，得xy42=， 5 分所以C的方程为xy42= 6 分方法二：方法二：如图，过M作y轴的垂线，垂足为H，交FB的延长线于点N，连接MF，因为B为AM的中点，所以B也为OH的中点,易证BOFRtBHNRt，1 分所以HNOF =，BNBF =，易证MBFRtMBNRt， 2

17、分所以MNMF =， 3 分由1=HN得点N在直线1=x上， 4 分文科数学试题答案及评分参考第7页（共13页） MN即为点M到直线1=x的距离，5 分由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以)0 , 1 (F为焦点，1=x为准线的抛物线，所以曲线C的方程为xy42= 6 分（2）方法一：由（1）可知，抛物线C的方程为xy42=，令tx =，得ty2=，设)2 ,(ttP，)2,(ttQ， 7 分由于点P，Q关于x轴对称，所以过G，P，Q三点的圆E的圆心在x轴上，设)0 ,(mE，由EPEG =得，2222)20()()20()3(ttmm+=+，化简并整理得621342+=ttt

18、m. 8 分圆E的方程为4) 3()(222+=+mymx，令2=y，解得321= mx，或32=x， 9 分所以圆E在直线2=y上截得的弦长为 352631343322221+=+=ttttttmxx， 10 分又因为03t，且0522+ tt，所以03522+ttt，所以438) 3(38) 3(4) 3(3522221+=+=+=ttttttttxx 438) 3(2+tt424+=， 11 分当且仅当383=tt，即223+=t，223=t(舍去)时取等号. 所以当223+=t时，圆E在直线2=y上截得的弦长的最小值为424+.12 分方法二：方法二：同方法一方法一得到6

19、21342+=tttm， 8 分设圆E在直线2=y上截得的弦为GG ，由垂径定理得224)2(EGGG=+，9 分所以35236213423222+=+=ttttttmGG 10 分又因为03t，且0522+ tt，所以03522+ttt，所以438) 3(38) 3(4) 3(352352222+=+=+=+ttttttttttt 文科数学试题答案及评分参考第8页（共13页） 438) 3(2+tt424+=， 11 分当且仅当383=tt，即223+=t，223=t(舍去)时取等号. 所以当223+=t时，圆E在直线2=y上截得的弦长的最小值为424+.12 分【命题意图】本题

20、以直线、抛物线和圆为载体，借助动圆在定直线截得的弦长为背景，利用函数与方程思想和基本不等式解决几何问题，主要考察抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线的位置关系和圆的弦长及最值问题等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21（本小题满分 12 分）已知函数( )e3exxf x =，( )ln2g xaxx=()aR. （1）讨论( )g x的单调性；（2）是否存在实数a，使不等式( )( )fxg x恒成立?如果存在,求出a的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）( )g x的定义域为()0,+. ( )22aaxgxxx=， 1 分（i）当0a 时，(

21、)0gx，( )g x在()0,+上是减函数； 2 分（ii）当0a 时，当(0, )2ax，( )0gx，函数( )g x此时为增函数；当( ,)2ax+，( )0gx，函数( )g x此时为减函数， 3 分综上可知：当0a 时，( )g x在()0,+上单调递减；当0a 时，函数( )g x在(0, )2a上为增函数，在( ,)2a+上为减函数 4 分（2）方法一：方法一：要使不等式( )( )fxg x恒成立，即不等式e3ln2exxaxx 恒成立，即不等式eeln2e3e0 xxaxx+恒成立，文科数学试题答案及评分参考第9页（共13页）令( )eeln2e3exu xx

22、axx=+，又( )10u= 5 分所以当且仅当( )u x的最小值为( )1u，才能保证( )0u x 式成立，又( )()()2e2eee1 e2exxxxxaau xxxx+=+=，再令( )()2e2eexv xxxxa=+，( )v x在()0,+上为增函数， 6 分所以当0a 时，0)( xu，此时( )u x为单调递增函数，则( )1102uu=，不满足题意； 7 分当04a时，此时( )()14e0va=，此时( )0e0va= ，也就是说存在一个0 x ()0,1使()00v x=，当()00,xx时，( )0v x ，即( )0ux，此时( )u x为减函

23、数；当()0,1xx时，( )0v x ，即( )0ux，此时( )u x为增函数；则()( )010u xu=. 所以不满足题意. 9 分同理可得：当4a 时也不满足.（因为( )()14e0va=，( )0v a ，所以存在()01,xa使()00v x=，当()01,xx时，( )0v x ，即( )0ux，此时( )u x为减函数；当()0,xx a时，( )0v x ，即( )0ux，此时( )u x为增函数；则()( )010u xu=，所以不满足题意. 10 分当4a =时，此时( )10v=，又( )v x在()0,+单调递增. 所以当()0,1x时，( )0v

24、 x ，即( )0ux，所以此时( )u x在()0,1上为减函数；当()1,x+时，( )0v x ，即( )0ux，所以此时( )u x在()1,+上为增函数；所以此时( )u x的最小值为( )10u=，满足题意， 11 分文科数学试题答案及评分参考第10页（共13页）综上所述，可知4a = 12 分方法二：方法二： ( )( )fxg x，即e3ln2exxaxx ，等价于eeln2e3e0 xxaxx+ ，设( )eeln2e3exu xxaxx=+，又( )10u=， 5 分所以要使不等式成立，必须( )u x在1x =取得极小值，又( )()()2e2eee1

25、e2exxxxxaau xxxx+=+=，所以( )10u=，解得4a =. 7 分检验当4a =时，( )()2e2e4exxxxuxx+=，设( )()2e2e4exv xxxx=+，又( )10v=， 8 分显然( )v x在()0,+为增函数， 9 分所以当()0,1x时，( )0v x ，即( )0ux，所以此时( )u x在()0,1上为减函数； 10 分当()1,x+时，( )0v x ，即( )0ux，所以此时( )u x在()1,+上为增函数； 11 分所以此时( )u x的最小值为( )10u=，满足题意综上所述，可知4a =. 12 分【命题意图】本

26、题旨在考查导数在研究函数时的应用，用导数研究函数的单调性，以不等式恒成立为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养. 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做两题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用的第一题计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两

27、条互相文科数学试题答案及评分参考第11页（共13页）垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中2MA =，1MB =，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系. （1）将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为(02)，用表示点M的坐标，并求出C的普通方程；（2）已知过C的左焦点F，且倾斜角为(02)的直线1l与C交于D，E两点，过点F且垂直于1l的直线2l与C交于G，H两点. 当1|FE，|GH，1|FD依次成等差数列时，求直线2l的普通方程

28、. （第 22 题图）【解析】（1）设( , )M x y，由题可知2cosx=，siny=，所以(2cossin )M，2 分因为22cossin1+=，所以2214xy+=，所以C的普通方程为2214xy+=. 4 分（2）因为1l的倾斜角为(02)，12ll，所以2l的倾斜角+2，由题意，易知(30)F ，可设直线1l：3cossinxtyt= +=，（t为参数）， 5 分将3cossinxtyt= +=，代入2214xy+=，得22(1 3sin)2 3 cos10tt+ =，易知2212cos4(1 3sin)160=+=，设D，E对应的参数分别为1t，2t，则1222

30、的斜率为22，所以直线2l的普通方程为230 xy+=. 10 分【命题意图】本题主要考查椭圆的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，考查数学运算、逻辑推理等核心素养考查学生的化归与转化能力 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知a，b，c为正实数，且满足1abc+ + =证明：（1）11|1|22abc+ ；（2）333222111()()3abcabc+ 【解析】（1）证明：因为a，b，c为正实数，且1abc+ + =，所以 10bca+ = ， 2 分所以1|1|2abc+1|2aa=+ 11|()()|22aa+ =，当且仅当1()()02aa时，又

31、a为正实数，所以当102a时，等号成立，所以11|1|22abc+ 4 分（2）333222222111111()()3()abcabcabcabc+ 6 分 3 222()2bcacababc=+3 ()()()2cbcaababcbcacba=+ 8 分 3(222)2c bc aa babcb ca cb a+ 3()3abc=+=，（当且仅当13abc=时，等号成立） 333222111()()3abcabc+ 10 分文科数学试题答案及评分参考第13页（共13页）方法二：方法二：因为()() ()2333333222abcabcabcabc+=+ +， 5 分所以要证()3332221113abcabc+成立，只需证()22222221113abcabc+成立， 6 分即证()2222222221113abcabcabc+成立又()()22222221111 1 19abcabc+ +=， 7 分即证22213abc+，即证()()2221 1 11abc+ +， 8 分又()()()22221 1 11abcabc+ +=， 9 分当且仅当13abc=时，等号成立.命题得证. 10 分【命题意图】本题以绝对值不等式和均值不等式的证明为载体，考查学生的运算能力，转化化归思想及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养.

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