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1、备战 2021 年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2021）专题专题 04 函数函数 C 辑辑历年联赛历年联赛真题真题汇编汇编1【2020 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】对正整数?及实数?t?,定义?t?,其中?表示不超过实数?的最大整数,?.若整数?满足?,求?的值.2【2019 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】设 a、b、c 均大于 1，满足lg?log?lg?log?h，求 lg?lg?的最大值.3【2018 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】已知定义在 R*上的函数?log?t?h?t?，设 a，b，c是三个互不相同的实数，满足 f(a)=f(b)=f(c)，求
2、 abc 的取值范围.4【2018 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】已知定义在 R*上的函数 f(x)为?log?t?h?t?，设 a，b，c 是三个互不相同的实数，满足 f(a)=f(b)=f(c)，求 abc 的取值范围.5【2016 高中数学联赛（第 01 试）】已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)=1，且对任意 x0，均有?.求?t?的值.6【2013 高中数学联赛（第 01 试）】求所有的正实数对(a，b)，使得函数 f(x)=ax2+b 满足：对任意实数 x，y，有?.7【2011 高中数学联赛（第 01 试）】设函数?llg?，实数 a，b(a1)，使得存在 tR，只
3、要 x1，m，就有 f(x+t)x.12【2000 高中数学联赛（第 01 试）】若函数?在区间a，b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求a，b.13【1998 高中数学联赛（第 01 试）】设函数 f(x)=ax2+8x+3(a0)，对于给定的负数 a，有一个最大的正数?，使得在整个区间?上，不等式|f(x)|5 都成立.问：a 为何值时，?最大?求出这个最大的?，证明你的结论.14【1997 高中数学联赛（第 01 试）】设双曲线 xy=1 的两支为?(如图)，正PQR 的三顶点位于此双曲线上.(1)求证：P，Q，R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设 P(1，1)在 C2上，Q，R 在
4、 C1上，求顶点 Q，R 的坐标.优质模拟题优质模拟题强化训练强化训练1已知定义在?上的函数?满足?.（1）当?时，求?；当?时，求?.（2）若有且仅有一个实数?，使得?，求函数?的解析式.2 设函数?（a0）满足?，?，?，求当?时?的最大值3设?，且对任意实数 b 均有max?，求 a 的取值范围.4已知正整数 n 都可以唯一表示为?的形式，其中 m 为非负整数，?t?t?（?，?），?t?t?.试求中的数列?严格单调递增或严格单调递减的所有正整数 n 的和.5已知函数?2?，求该函数的值域6若函数?满足：对任意实数?，方程?的解的个数为偶数（可以是 0 个，但不能是无数个），则称?为“偶
5、的函数”.证明：（1）任何多项式?均不是偶的函数；（2）存在连续函数?是偶的函数.7已知函数?t?且且?h?，证明：f(x)在区间(0,1)上必有零点。8记?表示不超过实数?的最大整数证明：（1）方程?的解为整数；（2）方程?有非整数解9设?是?上的不减函数，且满足：（1）?；（2）?；（3）?，求?t?的值10设函数?，?常数?，且对任意?，?恒成立.求实数 a 的取值范围.11是否存在?上的周期函数?、?，使得对任何?，有?？12 试求出所有满足下述条件的函数?：（1）?是定义在?上的单调函数；（2）对任意实数x、y都有?；（3）?t?13试求出所有的函数?：?，使得对于任何的?、?.都有?h?h?h?.14已知lim?，?对任意实数?成立求?的解析式15求?的最小值.16 已知?是定义在实数集?上的函数，?，对任意?，有?h?，?，求?的值.17定义在?上的函数?满足：?，且对任意?、?，有?t?.求最小的实数?，使得对任意?、?，都有?t?.18已知函数?与与?，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为 6,求实数 a 的值.19当?时，求函数?的最小值?的表达式.20已知函数?，其中，a 为正常数。若恰有两组解(m,n)，使得 f(x)在定义域m,n上的值域也为m,n，求 a 的取值范围。