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1、限时作业限时作业 5252空间向量及其运算空间向量及其运算一、选择题一、选择题1.点 A(-3,1,4),那么点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为()A.(-3,-1,4)B.(-3,-1,-4)C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)解析解析:关于 x 轴的对称点,x 的值不变,y,z 的值变为原来的相反数,故 B 正确.答案答案:B2.以下各组向量中不平行的是()A.a a(1,2,-2),b b(-2,-4,4)B.c c(1,0,0),d d(-3,0,0)C.e e(2,3,0),f f(0,0,0)D.g g(-2,3,5),h h(16,24,40)解析解析:向量平行的充要条件是
2、:存在实数,使a ab.g,hb.g,h不满足要求,故 D 中的两个向量不平行.答案答案:D3.假设 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值等于()A.19B.78C.78D.1419解析解析:AB(1-x,2x-3,-3x+3),|AB|2223)(-33)-(2)-(1xxx1932142xx,当78x时,|AB|取最小值.答案答案:C4.假设向量a a(1,2),b b(-2,1,1),a a,b b夹角的余弦值为61,那么等于()A.1B.-1C.1D.2解析解析:cosa a,b b61652xAbaba.解得1.答案答案:A5.设a a
3、,b b,c c是任意的非零平面向量,且相互不共线,以下命题中:(a ab b)c c-(a ac c)b b0;|a a|-|b b|a a-b b|;(c cb b)a a-(a ac c)b b不与c c垂直;(3a a+2b b)(3a a-2b b)9|a a|2-4|b b|2.其中是真命题的有()A.B.C.D.解析解析:根据三角形两边之差小于第三边,知正确,根据空间向量的运算性质,知正确.答案答案:D二、填空题二、填空题6.假设非零向量a a,b b满足|a a+b b|a a-b b|,那么a a,b b所成角的大小为_.解析解析:对角线相等的平行四边形为矩形,因此a a,b
4、 b所成的角为 90.答案答案:907.假设向量a a2i i-j j+k k,b b4i i+9j j+k k,那么这两个向量的位置关系是_.解析解析:a a(2,-1,1),b b(4,9,1),a ab b24+(-1)9+110a ab b.答案答案:垂直8.设向量a a(-1,3,2),b b(4,-6,2),c c(-3,12,t),假设c cma a+nb b,那么t_,m+n_.解析解析:ma a+nb b(-m+4n,3m-6n,2m+2n),(-m+4n,3m-6n,2m+2n)(-3,12,t).,22,1263,34tnmnmnm解得.11,21,5tnm112 nm.
5、答案答案:111129.G 是ABC 的重心,O 是平面 ABC 外的一点,假设OCOBOAOG,那么_.解析解析:如图,正方体中,OGODOCOBOA3,3.答案答案:3三、解答题三、解答题10.正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长是 1,求直线 DA1与 AC 间的距离.解解:建 立 如 下 列 图 坐 标 系,那 么 A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),AC(1,1,0),1DA(0,-1,1),设 MN 为直线 DA1与 AC 的公垂线段,且MN(x,y,z),且MNAC,MN1DA,x+y0,-y+z0,令 yt,那么MN(-t,t,t),而另
6、可设 M(m,m,0),N(0,a,b),那么MN(-m,a-m,b),.,1tbtmamN(0,2t,t).又 2t+t1,31t.MN(31,31,31,|MN|33919191.即直线 DA1与 AC 间的距离为33.11.设向量a a(3,5,-4),b b(2,1,8),计算2a a+3b b,3a a-2b b,a ab b的值,并确定当,满足什么关系时,使a a+b b与 z 轴垂直.解解:a a(3,5,-4),b b(2,1,8),2a a+3b b(12,13,16),3a a-2b b(5,13,-28),a ab b-21.z 轴的方向向量为(0,0,1),a a+b b(3+2,5+,-4+8),a a+b b与 z 轴垂直,那么 0(3+2)+0(5+)+(-4+8)0,即 8-40,2.2时,a a+b b与 z 轴垂直.12.空间四边形 ABCD 中,ABCD,ACBD,求证:ADBC.证明:(方法一)()(ABACBDABBCADBDABABACBDACAB20)(DCABBDABACAB.ADBC.(方法二)选取一组基底,设ABa a,ACb b,ADc c,ABCD,a a(c c-b b)0,即a ac cb ba a.同理,a ab bb bc c,a ac cb bc c.c c(b b-a a)0.0BCAD,即 ADBC.