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1、第一页，讲稿共二十七页哦6.1 共形映射1.共形映射的概念 设w=f(z)为z平面上区域D内的连续函数，作为映射，它把z平面上的点z0映射到w平面上的点w0=f(z0)，把曲线C:z=z(t)映射到曲线C:w=f(z(t).过z0点的两条曲线C1,C2，它们在交点z0处的切线分别为T1，T2，我们把从T1到T2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z0处 从C1到C2的夹角.第二页，讲稿共二十七页哦(1)若在映射w=f(z)的作用下，过点z0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z0处是保角的.平移变换w=z+是一个保角映射.函数 不是保角映射.它是关
2、于实轴的对称映射.原象的伸缩性:象点之间距离与原象点之间距离的比值 .(2)若极限 存在且不等于零，则这个极限称为映射w=f(z)在z0处的伸缩率.并称w=f(z)在z0具有伸缩率的不变性.第三页，讲稿共二十七页哦定义6.1 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的，在z0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w=f(z)在z0是共形的，或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形的，那么称w=f(z)是区域D内的共形映射.z0z1z2为点z0的一个小邻域内的三角形，在z0处的伸缩率记为A.经过w=f(z)后变成了曲边三角形w0w1w2.第四页，讲稿共二十七
3、页哦2.解析函数与共形映射设f(z)在z0处解析，且f(z0)0.过z0作一条光滑曲线C，它的方程为z=z(t),t0tT0,并设z0=z(t0)，且z(t0)0.则Argz(t0)为z平面上的正实轴到C在点z0的切线的夹角.第五页，讲稿共二十七页哦经过w=f(z)把C映射为w平面上光滑曲线C，其方程为w=w(t)=fz(t),t0tT0.且w0=fz(t0).由于w(t0)=f(z0)z(t0)0，所以在w平面上，正实轴到C在w0处的切线的夹角为Argw(t0)=Argf(z0)+Argz(t0)或 Argw(t0)-Argz(t0)=Argf(z0).第六页，讲稿共二十七页哦 像曲线C在w
4、0处的切线与正实轴的夹角与原象曲线C在z0处的切线与正实轴的夹角之差总是Argf(z0)，而与曲线C无关.Argf(z0)就称就称为为映射映射w=f(z)在点在点z0处处的的转动转动角角.过z0点作两条光滑曲线C1,C2，它们的方程分别为C1:z=z1(t)t0tT,C2:z=z2(t)t0tT.且z1(t0)=z2(t0)=z0.映射w=f(z)把它们分别映为过w0点的两点光滑曲线C1和C2.它们的方程分别为C1:w=w1(t)=fz1(t),t0tT0,C2:w=w2(t)=fz2(t),t0tT0.第七页，讲稿共二十七页哦Argw1(t0)-Argz1(t0)=Argf(z0)=Argw
5、2(t0)-Argz2(t0),即 Argz2(t0)-Argz1(t0)=Argw2(t0)-Argw1(t0).上式左端是曲线C1和C2在z0处的夹角，右端是曲线C1和C2在w0处的夹角，而这个式子说明了w=f(z)在z0处是保角的.因为f(z0)存在，且不等于零，则 这个极限与曲线C无关.故w=f(z)在z0处的伸缩率具有不变性.第八页，讲稿共二十七页哦w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y).因为w=f(z)在z0处解析，则在该点满足柯西黎曼方程在该点的雅各比式有映射w=f(z)在z0的邻域内是一一对应的.第九页，讲稿共二十七页哦定理6.1如果函数w=f(z)在z0解析，且f(z0)
6、0，那么映射w=f(z)在z0是共形的，而且Argf(z0)表示这个映射在z0的转动角，|f(z0)|表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在区域D内处处有f(z)0,那么 映射w=f(z)是D内的共形映射.第十页，讲稿共二十七页哦6.2分式线性变换1.分式线性变换的结构 形如 的映射称为分式线性变换，其中a,b,c,d为复常数.逆变换 两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换 第十一页，讲稿共二十七页哦其中它由下列三个变换复合而成第十二页，讲稿共二十七页哦2.分式线性变换的性质(1)共形性函数 的导数除点 和z=以外处处存在，而且 ，映射 除那两个点以外是共形的.定理6.2分式线性变换在扩充
7、复平面上是一一对应的，且是共形的.(2)保圆性定理6.3分式线性变换将扩充z平面上的圆映射成扩充w平面上的圆，即具有保圆性.第十三页，讲稿共二十七页哦在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周.变换w=az+b是由=az（旋转与伸长）和w=+b（平移）复合而成的.而这个映射将原象平面内的圆或直线映射到象平面内的圆或直线，从而w=az+b在扩充复平面上具有保圆性.z平面上的圆的一般方程为经过映射 后在扩充复w平面上它仍是圆的方程.第十四页，讲稿共二十七页哦推论6.1在分式线性变换下，圆C映射成圆C.如果在C内任取一点z0，而点z0的象在C的内部，那么C的内部就是映射到C的内部；如果z0的象在C
8、的外部，那么C的内部就映射成C的外部.证明：设z1,z2为C内的任意两点，用直线段把这两点连接起来.如果线段z1z2的象为圆弧w1w2，且w1在C之外，w2在C之内，那么弧w1w2必与C交于一点w*，于是w*必是C上某一点的象.但w*又是线段z1z2上某一点的象，因而就有两个不同的点被映射为同一点.这就与分式线性映射的一一对应性相矛盾.故推论成立.第十五页，讲稿共二十七页哦(3)保对称性定义6.2设C为以z0点为中心，R为半径的圆周.如果点z,z*在从z0出发的射线上，且满足|z-z0|z*-z0|=R2,则称z,z*关于圆周C是对称的.如果C是直线，则当以z和z*为端点的线段被C平分时，称z
9、,z*关于直线C为对称的.规定：无穷远点关于圆周的对称点是圆心.z,z*是关于圆周C的对称点的充要条件是经过z,z*的任何圆周与C正交 第十六页，讲稿共二十七页哦定理6.4 设点z,z*是关于圆周C的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w及w*也是关于C的像曲线C的一对对称点.证明：设经过w与w*的任何一圆周是经过z与z*的圆周由分式线性变换映射过来的.由于与C正交，由保角性，所以与C也正交.因此w与w*是一对关于C的对称点.第十七页，讲稿共二十七页哦6.3 确定分式线性变换的条件定理6.5在z平面上任意给定三个不同点z1,z2,z3，在w平面上也任意给定三个不同点w1,w2,w3，那
10、么就存在分式线性变换，将zk依次映射成wk(k=1,2,3)，且这种变换是唯一的.证明：设且第十八页，讲稿共二十七页哦求出w，即得所求分式线性变换.推论6.2 z1,z2,z3所在的圆C的象C是w1,w2,w3所在的圆.且如果C依z1z2z3 的绕向与C依w1w2w3的绕向相同时，则C的内部就映射成C的内部（相反时，C的内部就映射成C的外部）第十九页，讲稿共二十七页哦例6.1 求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z0映射为圆心w=0的分式线性变换.解:由定理6.4，z0关于实轴的对称点 的像应变为点w=.所求分式线性变换有形式,其中k为常数.因为 ，而实轴上的点z对应着|w|=1上的点
11、，这时 ，所以|k|=1，即 ，这里是实数，所求的分式线性变换的一般形式为第二十页，讲稿共二十七页哦例6.2 求将单位圆|z|1映射为单位圆|w|1的分式线性变换.解：不妨设将第一个单位圆内的点z0映射到第二个单位圆的中心w=0.由于 关于|z|=1与z0对称，因此 的象为.故所求映射有形式由条件当|z|=1时，|w|=1故将z=1代入上式，有第二十一页，讲稿共二十七页哦从而，|k|=1，即 于是，所求映射的一般形式为.第二十二页，讲稿共二十七页哦6.4 几个初等函数所构成的映射1.幂函数w=zn(n2)，当z=z00时.设 ，则所以映射w=zn在z=z0的转动角为(n-1)0，伸缩率为即映射
12、w=zn在z0点是共形的.在z0=0处，设 和 ，由w=zn得 和 .因此在w=zn的映射下，圆|z|=r映射成|w|=rn，第二十三页，讲稿共二十七页哦|z|=1映射成|w|=1.即在以原点为中心的圆有保圆性.射线=0映射成射线 ；正实轴=0映成正实轴=0；角形域 映射成角形域当n2时，映射w=zn在z=0处没有保角性.第二十四页，讲稿共二十七页哦 角形域 映成沿正实轴剪开的w平面的域 ，它的一边=0映成正实轴的上沿=0；另一边 映成正实轴的下沿 .这两个区域之间的映射是一一的.第二十五页，讲稿共二十七页哦例6.4 求把角形域 映成单位圆|w|1的一个映射.解：将角形域 映成上半平面 将上半平面映射单位圆|w|1.所求变换为第二十六页，讲稿共二十七页哦例6.5求将|z|0映为|w|1的一个共形映射.解：先将上半单位圆域映为第一象限.此时考虑将1,i,-1依次映射为,i,0的分式线性变换 .该映射还把-1,0,+1依次映为0,1,.为所求映射.再用 将第一象限映为上半平面 最后又选择分式线性变换 ，该映射将 映到|w|1.第二十七页，讲稿共二十七页哦