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1、一轮复习一轮复习3232导数与函数的单导数与函数的单调性极值最值调性极值最值第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养知识梳理双基自测2311.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内;如果f(x)0.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)导数为零的点不一定是极值点.()(4)函数的极大值不一定比极小值大.()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)6第三章第三章3.2导数与函数
2、的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养知识梳理双基自测234152.函数y=f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是()A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.在区间(2,3)上f(x)不是单调函数 答案解析解析关闭因为导数大于0的区间是函数的递增区间,导数小于0的区间是函数的递减区间,所以由图象可知在区间(4,5)内f(x)0,故f(x)在区间(4,5)内是增函数.答案解析关闭C7第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学
3、科素养知识梳理双基自测234153.(2016四川,文6)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2 答案解析解析关闭 f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2.易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增,故f(x)的极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.答案解析关闭D8第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养知识梳理双基自测234154.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实
4、数a的取值范围为.答案解析解析关闭 函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,f(x)=3x2+2ax+30在R上恒成立,=4a2-360,解得-3a3.答案解析关闭-3,39第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P32T4)如图是f(x)的导函数f(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为.答案解析解析关闭由题意知,只在x=-1处f(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.答案解析关闭110第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科
5、素养考点1考点2考点3y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间.思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?11第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点312第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点313第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点314第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核
6、心考点学科素养考点1考点2考点3解题心得1.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故
7、f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.18第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点319第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点320第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点3例3已知函数f(x)=x-alnx(aR).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?21第三章第三章3
8、.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点322第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点3从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.23第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点3解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0
9、左侧与右侧f(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.3.利用导数研究函数极值的一般流程:24第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点3对点训练对点训练2已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c.(1)确定a,b的值;(2)若c=3,判断f(x)的单调性;(3)若f(x)
10、有极值,求c的取值范围.解(1)对f(x)求导,得f(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f(x)为偶函数,知f(-x)=f(x)恒成立,即2(a-b)(e2x-e-2x)=0,所以a=b.又f(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.25第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点326第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点3当x0;当x1xx2时,f(x)x2时,f(x)0,从而f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值.综上,若f
11、(x)有极值,则c的取值范围为(4,+).27第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点328第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点3解(1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+).当且仅当x=0时,f(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)内单调递增.因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),即(x-2)ex+x+20.由(1)知,f(x)+a在定义域上单调递增.对任意a0,1),f(0)+a=a-10
12、时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值.解(1)由题意知函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f(x)=ex-a.若a0,则f(x)=ex-a0,故函数f(x)=ex-ax-2在(-,+)上单调递增;若a0,则当x(-,lna)时,f(x)=ex-a0;因此,f(x)在(-,lna)内单调递减,在(lna,+)内单调递增.32第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点3(2)因为a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.由(1)知,当a=1时,函数f(x)=ex-x-2在(0,+)上单
13、调递增,而f(1)0,所以f(x)=ex-x-2在(0,+)上存在唯一的零点,故g(x)在(0,+)上存在唯一的零点.33第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养考点1考点2考点3设此零点为,则有(1,2).当x(0,)时,g(x)0;所以g(x)在(0,+)上的最小值为g().又由g()=0,可得e=+2,故g()=+1(2,3).由于式等价于kg(x0)成立,即f(x)-g(x)0在x1,e时有解.38第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养故(x)在1,e上单调递增,即min(x)
14、=(1)=0,因此a0即可.故选D.39第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养典例3设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()答案D解析设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0,即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),40第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数
15、g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数解有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交41第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养42第三章第三章3.2导数与函数的数与函数的单调性、极性、极值、最、最值 知识梳理核心考点学科素养反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.43结束结束