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1、-第 1 页差分方程模型习题+答案-第 2 页1.一老人 60 岁时将养老金 10 万元存入基金会，月利率 0.4%，他每月取 1000 元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到 80 岁，问60 岁时应存入多少钱？分析：(1)假设 k 个月后尚有kA元，每月取款 b 元，月利率为 r，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程：1kkAaAb，其中 a=1+r(1)每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出kA的值。(2)多少岁时将基金用完，何时0kA 由（1）可得：若0nA，01nnA raba(3)若想用到 80 岁，即 n(80-60)*12=2
2、40 时，2400A，24002401A raba利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：clear allclose allclcx0=100000;n=150;b=1000;r=0.004;k=(0:n);y1=dai(x0,n,r,b);round(k,y1)function x=dai(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b;end(2)用 MATLAB 计算：A0=250000*(1.004240-1)/1.004240思考与深入：(2)结论：128 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完(3)A0=1.5409
3、e+005结论：若想用到 80 岁，60 岁时应存入 15.409 万元。2.某人从银行贷款购房，若他今年初贷款 10 万元，月利率 0.5%，他每月还 1000 元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要 10 年还清，每月需还多少？分析：记第 k 个月末他欠银行的钱为 x（k），月利率为 r，且 a=1+r，b 为每月还的钱。则第k+1 个月末欠银行的钱为x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2-第 3 页在 r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 计算得结果。编写 M 文件如下:function x=exf
4、11(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB 计算并作图:k=(1:140);y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);所以如果每月还 1000 元，则需要 11 年 7 个月还清。如果要 10 年即 n=120 还清，则模型为：r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n b=-r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n用 MATLAB 计算如下：x0=100000;r=0.005;n=120;b=-r*x0*(1+r)n/1-(1+r)nb=1.1102e+003所以如果要 10 年还清，则每年返还 1
5、110.2 元。3.在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为2r；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为2a。建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出 50 年的变化过程。(1)设12120.2,0.3,0.001,0.002,rraa开始时有 100 只田鼠和 50 只猫头鹰。（2）1212,r r a a同上，开始时有 100 只田鼠和 200 只猫头鹰。（3）适当改变参数12,a a（初始值同上）（4）求差分方程的
6、平衡点，它们稳定吗？分析：记第 k 代田鼠数量为kx，第 k 代猫头鹰数量为ky，则可列出下列方程：运用 matlab 计算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;for k=1:49x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k);-第 4 页y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);endz=x,y;(1)z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),r)(2)z=disanti(10
7、0,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),r)(3)当 a1,a2 分别取 0.002,0.002 时，得到如下图像：可见，当 a1,a2 参数在一定范围内改变时，猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡，且不灭绝。(4)令1kkxxx；1kkyyy解方程得到如下结果：x=150y=200经 matlab 验证如下：z=disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),r)由此可知：平衡点为：x=150y
8、=2004.研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。草的生长遵从 Logistic 规律，年固有增长率 0.8，最大密度为 3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉 1.6（密度单位）的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达 0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为 1.5。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：（1）比较将 100 只鹿放入密度为 1000 和密度为 3000 的草场两种情况。（2）适当改变参数，观察变化趋势。模型假设：1草独立生存，独立生存规律遵从 Logistic 规律；2草场上除了鹿以外，没有其他以
9、草为食的生物；3鹿无法独立生存。没有草的情况下，鹿的年死亡率一定；4假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；5每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。-第 5 页记草的固有增长率为 r，草的最大密度为 N，鹿独立生存时的年死亡率为 d，草最茂盛时鹿的食草能力为 a，草对鹿的年补偿作用为 b；第 k1 年草的密度为1kx，鹿的数量为1ky，第 k 年草的密度为kx，鹿的数量为ky。草独立生存时，按照 Logistic 规律增长，则此时草的增长差分模型为1(1)kkkkxxxrxN，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下方程：1(1),(0,1,2,)kkkkkkxax yxxrx
10、kNN（1）鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为1kkkyydy，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程：1(),(0,1,2,)kkkkbxyydykN（2）另外，记初始状态鹿的数量为0y，草场密度初值为0 x，各个参数值为：利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：%定义函数 diwuti，实现 diwuti-Logistic 综合模型的计算，计算结果返回种群量function B=disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n)%描述 diwuti-Logistic 综合模型的函数x(1)=x0;%草场密度赋初值y(1)=y0;%鹿群数量
11、赋初值for k=1:n;x(k+1)=x(k)+r*(1-x(k)/N)*x(k)-a*x(k)*y(k)/N;y(k+1)=y(k)+(-d+b*x(k)/N)*y(k);endB=x;y;clear allC1=disiti(1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2=disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k=0:50;plot(k,C1(1,:),b,k,C1(2,:),b,k,C2(1,:),r,k,C2(2,:),r)axis(0 50 0 3000);xlabel(时间/年)ylabel(种群量/草场：单位
12、密度，鹿：头)title(图 1.草和鹿两种群数量变化对比曲线)gtext(x0=1000)gtext(x0=3000)gtext(草场密度)gtext(鹿群数量)比较将 100 只鹿放入密度为 1000 和密度为 3000 的草场两种情况（绘制曲如图 1 所示）：-第 6 页由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为 1000 时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为 3000 时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约 40-50 年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。使用 MatLab 计算可以得到，当(,)(1800,600)kkkyy，即两种群
13、数量的平衡点为（1800，600）。为进一步验证此结论，下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：（1）改变草场密度初始值；从图 2 中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。（2 2）改变鹿的数量初值）改变鹿的数量初值由图 2 可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。但是，我们可以看到，y0=2000 的那条曲线（紫色曲线），在 515 区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。同样道理，草场的密
14、度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。综合上面分析，可以在此得出一个结论：最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存在上限。在上限。（3）改变草场的最大密度 N，画图比较结果；如图 4 所示，如果草场密度的最大值 N 发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。结论：N N 值越大值越大，平衡点两种群的数量就越大平衡点两种群的数量就越大；N N 越小越小，平衡点两种群的数量平衡点两种群的数量就越小。就越小。（4）改变鹿群独立生存时的死亡率实验中，改变了鹿单独生存的死亡率得到如图 5.1 和 5.2 两幅图，可以得出结论：鹿单独生鹿单独生
15、存的死亡率越大存的死亡率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短则两种群数量达到平衡点的时间越短；相反相反，鹿单独生存的死亡率越小鹿单独生存的死亡率越小，则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。（5）草场密度对鹿数量的补偿作用变化（b 变化）从图中可以看到，如果 b 增大，则达到稳定点的时间会加长，但如果 b 减小则会有一个域值，当 b 低于域值时，草鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。5.Leslie 种群年龄结构的差分方程模型已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本
16、规律）。孵化后的幼虫 2 周后成熟，平均产卵 100 个，四周龄的成虫平均产卵 150 个。假设每个卵发育成 2周龄成虫的概率为 0.09，（称为成活率），2 周龄成虫发育成 4 周龄成虫的概率为 0.2。假设开始时，02，24，46 周龄的昆虫数目相同，计算 2 周、4 周、6 周后各种周龄的昆虫数目；讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？分析：将两周分成一个时段，设 k 时段 2 周后幼虫数量为：x1(k),2 到 4 周虫的数量为：x2(K),
17、4到 6 周虫数量为：x3(K)。据题意可列出下列差分方程：x1(k+1)=x2(k)*100+x3(k)*150 x2(k+1)=x1(k)*0.09x3(k+1)=x2(k)*0.2-第 7 页运用 matlab 编写的程序如下：function z=diwuti(a,r1,r2,n)x(1)=a;y(1)=a;w(1)=a;for k=1:nx(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;y(k+1)=x(k)*r1;w(k+1)=y(k)*r2;endz=x,y,w;for k=1:n+1m=x(k)+y(k)+w(k)endplot(1:n+1,x);hold onplot(1:n
18、+1,y,r);hold onplot(1:n+1,w,k),grid计算前三年的结果为：z=diwuti(100,0.009,0.2,2)m11.21.41.61.822.22.42.62.8300.511.522.5x 104（蓝线为02周的虫，红线为24周的虫，黑线为46周的虫）其中，m表示三个不同生长周期的虫的总数，可见虫并未灭绝。当年份足够长时，可观察到各年龄段虫的数量变化：z=diliuti(100,0.009,0.2,20)m由此可见，02周的虫的数量急剧增多，24周的虫的数量也增多，而46周的虫的数量-第 8 页相对很少。三者并无太多比例关系。最终整个种群数量增多。当使用杀虫剂时：z=diwuti(100,0.0045,0.1,20)m可见虫的数量受到控制，杀虫剂效果很好。