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1、-第 1 页华罗庚学校数学课本(五年级上)-第 2 页华罗庚学校数学课本（五年级修订版）上 册第一讲 数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识1.整除约数和倍数例如：153=5，637=9一般地，如 a、b、c 为整数，b0，且 ab=c，即整数 a 除以整除 b（b 不等于 0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是 0），我们就说，a 能被 b 整除（或者说 b 能整除 a）。记作 ba.否则，称为 a 不能被 b 整除，（或 b 不能整除 a），记作 ba。如果整数 a 能被整数 b 整除，
2、a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。例如：在上面算式中，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数；63 是 7 的倍数，7 是 63 的约数。2.数的整除性质性质 1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。即：如果 ca，cb，那么 c（ab）。例如：如果 210，26，那么 2（106），并且 2（106）。性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a.即：如果 bca，那么 ba，ca。性质 3：如果 b、c 都能整除 a，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a。即：如果 ba，ca，且（b，c）=1，
3、那么 bca。例如：如果 228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。即：如果 cb，ba，那么 ca。例如：如果 39，927，那么 327。3.数的整除特征能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括 0）的整数，必能被 2 整除；另一方面，能被 2 整除的数，其个位数字只能是偶数（包括 0）.下面“特征”含义相似。能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。能被
4、 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。例如：1864=180064，因为 100 是 4 与 25 的倍数，所以 1800 是 4 与 25 的倍数.又因为 464，所以1864 能被 4 整除.但因为 2564，所以 1864 不能被 25 整除.能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。例如：2937529000375，因为 1000 是 8 与 125 的倍数，所以 29000 是 8 与 125 的倍数.又因为 125375，所以 29375 能被 125 整除.但因为 8375，所以 829375。能被 11 整除的数的特征
5、：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。例如：判断 123456789 这九位数能否被 11 整除？解：这个数奇数位上的数字之和是 97531=25，偶数位上的数字之和是 864220.因为25205，又因为 115，所以 11123456789。再例如：判断 13574 是否是 11 的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0.因为 0 是任何整数的倍数，所以 110.因此 13574 是 11 的倍数。能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被
6、 7（11 或 13）整除。例如：判断 1059282 是否是 7 的倍数？解：把 1059282 分为 1059 和 282 两个数.因为 1059-282777，又 7777，所以 71059282.因此 1059282是 7 的倍数。再例如：判断 3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为8212819，又 13819，所以 132821，进而 133546725.二、例题例 2 李老师为学校一共买了 28 支价格相同的钢笔，共付人民币 9.2元.已知
7、处数字相同，请问每支钢笔多少元？解：9.2元=92分2847，-第 3 页根据整除“性质 2”可知4 和 7 均能整除 92。42可知处能填 0 或 4 或 8。因为 79020，79424，所以处不能填 0 和 4；因为 79828，所叫处应该填 8。又9828 分=98.28 元98.28283.51（元）答：每支钢笔 3.51 元。根据能被 11 整除的数的特征可知：1+2+3+4+5 的和与 5a 之差应是 11 的倍数，即 11（155a）.或 11（5a15）。但是 155a=5（3a），5a15=5（a3），又（5，11）=1，因此 111（3a）或 11（a3）。又a 是数位上
8、的数字。a 只能取 09。所以只有 a=3 才能满足 11（3a）或 11（a3），即当 a=3 时，11155a。符合题意的整数只有 1323334353。所以 13 整除 9x62，即 139x+4。经试验可知只有当 x1 时，139x+4。当 y2 时，符合题意的六位数是 119912。同理，当 y4 时，139x6-4，即 139x+2，经试验可知当 x7 时，139x+2。当 y=4 时，符合题意的六位数是 719914。同理，当 y6 时，139x66。即 139x.当 y=6 时，找不到符合题意的六位数。同理，当 y8 时，139x+6-8，即 139x-2。经试验只有当 x6
9、时，139x-2。当 y=8 时，符合题意的六位数是 619918。答：满足本题条件的六位数共有 819910、119912、719914 和 619918 四个。第二讲 质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1 不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把 30 分解质因数。解：30235。其中 2、3、5 叫做 30
10、 的质因数。又如 12223223，2、3 都叫做 12 的质因数。二、例题例 1 三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.解：210=2357可知这三个数是 5、6 和 7。例 2 两个质数的和是 40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把 40 表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是 391。答：这两个质数的最大乘积是 391。例 3 自然数 123456789 是质数，还是合数？为什么？解：123456789 是合数。因为它除了有约数 1 和它本身外，至少还有约数 3，所以它是一个合数。-第
11、 4 页例 4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在 1 与 20 之间，那么显然其中最多有 4 个质数（如：19 中有 4 个质数 2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于 3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有 5个.这 5 个奇数中必只有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4 个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有 4 个质数。例 5 把 5、6、7、14、15 这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：5=5，7=7，6=23，1427，15=35，这些数中质因数 2、3、5
12、、7 各共有 2 个，所以如把 14（=27）放在第一组，那么 7 和 6（=23）只能放在第二组，继而 15（35）只能放在第一组，则 5 必须放在第二组。这样 1415=210=567。这五个数可以分为 14 和 15，5、6 和 7 两组。例 6 有三个自然数，最大的比最小的大 6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是 42560.求这三个自然数。分析 先大概估计一下，303030=27000，远小于 42560.40404064000，远大于 42560.因此，要求的三个自然数在 3040 之间。解：42560=26571925（57）（192）323538（合题意）要求的三个自然数分
13、别是 32、35 和 38。例 7 有 3 个自然数 a、b、c.已知 ab=6，bc=15，ac10.求 abc 是多少？解：623，15=35，1025。（ab）（bc）（ac）=（23）（35）（25）a2b2c2=223252（abc）2（235）2abc=23530在例 7 中有 a222，b2=32，c2=52，其中 22=4，329，5225，像 4、9、25 这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1，224，329，42=16，112=121，122=144，其中 1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方数.下面让我
14、们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。例如：把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。解：9=32 36=2232 144=32241600=2652 275625=325472可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，3662，144=122，1600=402，275625=5252。例 8 一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数.求 a 的最小值与这个平方数。分析 a 与 1080 的乘积是一个完全
15、平方数，乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。解：1080a=23335a，又1080=23335 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，a 必含质因数 2、3、5，因此 a 最小为 235。1080a108023510803032400。答：a 的最小值为 30，这个完全平方数是 32400。例 9 问 360 共有多少个约数？分析 360=23325。为了求 360 有多少个约数，我们先来看 325 有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以 1、2、22、23，即得到 23325（=360）的所有约数.为了求 325 有多少个约数，可以先求出 5 有多少个约数，然后再把这些约数分
16、别乘以 1、3、32，即得到 325 的所有约数。解：记 5 的约数个数为 Y1，325 的约数个数为 Y2，360（=23325）的约数个数为 Y3.由上面的分析可知：-第 5 页Y3=4Y2，Y23Y1，显然 Y1=2（5 只有 1 和 5 两个约数）。因此 Y34Y2=43Y1=432=24。所以 360 共有 24 个约数。说明：Y3=4Y2 中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中 2 的最大指数加 1，也就是 36023325 中质因数 2 的个数加 1；Y2=3Y1 中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23325 中质因数 3 的个数加 1；而 Y1
17、=2 中的“2”即为“1、5”中数的个数，即 23325 中质因数5 的个数加 1.因此Y3（31）（2+1）（1+1）=24。对于任何一个合数，用类似于对 23325（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘的积。例 10 求 240 的约数的个数。解：240243151，240 的约数的个数是（41）（1+1）（11）=20，240 有 20 个约数。请你列举一下 240 的所有约数，再数一数，看一看是否是 20 个？习题二1.边长为自然数，面积为 105 的形状不
18、同的长方形共有多少种？2.11112222 个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多 1 个.这个长方阵每一横行有多少个棋子？3.五个相邻自然数的乘积是 55440，求这五个自然数。4.自然数 a 乘以 338，恰好是自然数 b 的平方.求 a 的最小值以及 b。5.求 10500 的约数共有多少个？第三讲 最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12 的约数有：1，2，3，4，6，12；18 的约数有：1，2，3，6，9，18。12 和 18 的公约数有：1，2，3
19、，6.其中 6 是 12 和 18 的最大公约数，记作（12，18）=6。2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，18 的倍数有：18，36，54，72，90，12 和 18 的公倍数有：36，72，.其中 36 是 12 和 18 的最小公倍数，记作12，18=36。3.互质数如果两个数的最大公约数是 1，那么这两个数叫做互质数。二、例题例 1 用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析 要求的数去除 30、60、75 都能整除，要求的数是 3
20、0、60、75 的公约数。又要求符合条件的最大的数，就是求 30、60、75 的最大公约数。（30，60，75）=53=15这个数最大是 15。例 2 一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？分析 由题意可知，要求的数是 3、4、5 的公倍数，且是最小的公倍数。解：3，4，5=345=60，用 3、4、5 除都能整除的最小的数是 60。例 3 有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析 要截成相等的小段，且无剩余，每段长度必是 120、180 和 300 的公约数。又
21、每段要尽可能长，要求的每段长度就是 120、180 和 300 的最大公约数.（120，180，300）=302=60每小段最长 60 厘米。-第 6 页12060+18060+30060=235=10（段）答：每段最长 60 厘米，一共可以截成 10 段。例 4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是 3、10 和 5 的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求 3、10
22、 和 5 的最小公倍数。3，10，5=532=30各道工序均应加 130 个零件。303=10（人）3010=3（人）305=6（人）答：第一道工序至少要分配 10 人，第二道工序至少要分配 3 人，第三道工序至少要分配 6 人。例 5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了 65 瓶；平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料，每 3 人饮用一瓶 B 饮料，每 4 人饮用一瓶 C 饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析 由题意可知，参加会餐人数应是 2、3、4 的公倍数。解：2，3，4=12参加会餐人数应是 12 的倍数。又122+123+124=6+4+3=13（瓶），可见 12 个人要用
23、6 瓶 A 饮料，4 瓶 B 饮料，3 瓶 C 饮料，共用 13 瓶饮料。又6513=5，参加会餐的总人数应是 12 的 5 倍，125=60（人）。答：参加会餐的总人数是 60 人。例 6 一张长方形纸，长 2703 厘米，宽 1113 厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析 由题意可知，正方形的边长即是 2703 和 1113 的最大公约数.在学校，我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了 1 以外的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办？在此，我们以例
24、6 为例介绍另一种求最大公约数的方法。对于例 6，可做如下图解：从图中可知：在长 2703 厘米、宽 1113 厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113 厘米）为边长的正方形 2 个.在裁后剩下的长 1113 厘米，宽 477 厘米的长方形中，再裁去以宽（477 厘米）为边长的正方形 2 个.然后又在裁剩下的长方形（长 477 厘米，宽 159 厘米）中，以 159 厘米为边长裁正方形，恰好裁成3 个，且无剩余.因此可知，159 厘米是 477 厘米、1113 厘米和 2703 厘米的约数.所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是 159 厘米.所以，159 厘米是 2703 和
25、 1113 的最大公约数。让我们把图解过程转化为计算过程，即：27031113，商 2 余 477；1113477，商 2 余 159；477159，商 3 余 0。或者写为2703=21113+477，1113=2477+159，477=3159。当余数为 0 时，最后一个算式中的除数 159 就是原来两个数 2703 和 1113 的最大公约数.可见，477=1593，1113=15932+159=1597，2703=15972+477=15972+1593=15917。又7 和 17 是互质数，159 是 2703 和 1113 的最大公约数。我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法.
26、辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数。例 7 用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。解：4811=21981+849，1981=2849+283，849=3283，（4811，1981）=283。-第 7 页补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果.也可以直接观察，依次试公有的质因数。例 8 求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少？解：（1260，1008）=252，（882，1134）=126，又（252，1
27、26）=126，（1008，1260，882，1134）=126。求两个数的最小公倍数，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？请看例 9.例 9 两个数的最大公约数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多少？x=4y28=4728x=4y47又4 是 x 和 28 的最大公约数，（y，7）=1，4y7 是 x 和 28 的最小公倍数。x28=4252x=425228=36要求的数是 36。通过例 9 的解答过程，不难发现：如果用 a 和 b 表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：（a，b）a，b=ab。这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先
28、求两个数的最大公约数，再用最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。例 10 求 21672 和 11352 的最小公倍数。解：（21672，11352）=1032（1032 可以用辗转相除法求得）21672，11352=21672113521032=238392。答：21672 和 11352 的最小公倍数是 238392.习题三1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是 54，甲数是多少？乙数是多少？2.一块长方形地面，长 120 米，宽 60 米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？3.已知两个自然数的积是
29、 5766，它们的最大公约数是 31.求这两个自然数。4.兄弟三人在外工作，大哥 6 天回家一次，二哥 8 天回家一次，小弟 12 天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？5.将长 25 分米，宽 20 分米，高 15 分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？6.一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过 1 的整千克数，去掉箱子后地雷净重 201 千克，拿出若干个地雷后，净重 183 千克.求一个地雷的重量？第四讲 带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：163=51，即 16=
30、53+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0），那么一定有另外两个整数 q 和 r，0rb，使得 a=bq+r。当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。当 r0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为 ab=qr，0rb。例 1 一个两位数去除 251，得到的余数是 41.求这个两位数。分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于 41 的两位数.解题可从带余除式入手分析。解：被除数除数=商余数，即被除数=除数商+余数，251=除数商
31、+41，251-41=除数商，210=除数商。210=2357，210 的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70，其中 42 和 70 大于余数 41.所以除数是42 或 70.即要求的两位数是 42 或 70。例 2 用一个自然数去除另一个整数，商 40，余数是 16.被除数、除数、商数与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少？解：被除数=除数商+余数，-第 8 页即被除数=除数40+16。由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，（除数40+16）+除数=877，除数41=877-16，除数=86141，除数=21，被除数=2140+16=856。答
32、：被除数是 856，除数是 21。例 3 某年的十月里有 5 个星期六，4 个星期日，问这年的 10 月 1 日是星期几？解：十月份共有 31 天，每周共有 7 天，31=74+3，根据题意可知：有 5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。这年的 10 月 1 日是星期四。例 4 3 月 18 日是星期日，从 3 月 17 日作为第一天开始往回数（即 3 月 16 日（第二天），15 日（第三天），）的第 1993 天是星期几？解：每周有 7 天，19937=284（周）5（天），从星期日往回数 5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二.例 5 一个数除以 3 余 2，除以 5 余
33、3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。这是一道古算题.它早在孙子算经中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以 3 的余数乘以 70，用除以 5 的余数乘以 21，用除以 7 的余数乘以 15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于 105，那么就减去 105，直至小于 105 为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法 1：270+321+215=233233-1052=23符合条件的最小自然数是 23。例 5 的
34、解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法 2：3，7+2=2323 除以 5 恰好余 3。所以，符合条件的最小自然数是 23。方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例 6 一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小的自然数。分析“除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除”，同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。解：5，6-2=28，即 28 适合前两个条件。想：28+5，6？之后能满足“7 除余 1”的条件？28+5，64=148，148=217+1，又 148210=5，6，7所以，适合条件的最小的自然数是 148。例 7
35、一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。解：想：2+3？之后能满足“5 除余 3”的条件？2+32=8。再想：8+3，5？之后能满足“7 除余 4”的条件？8+3，53=53。符合条件的最小的自然数是 53。归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例 8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取 3 个，最后剩 1 个；如果每次取 5 个或 7 个，最后都剩 2 个.布袋中至少有小球多少个？解：2+5，
36、71=37（个）37 除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 2，布袋中至少有小球 37 个。例 9 69、90 和 125 被某个正整数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15 除以 2 余 1，19 除以 2 余 1，即 15 和 19 被 2 除余数相同（余数都是 1）。但是 19-15 能被 2 整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数 a 和 b，均被自然数 m 除，余数相同，那么这两个整数-第 9 页之差（大-小）一定能被 m 整除。反之，如果两个整数之差恰被 m 整除，那么这两个整数被 m 除的余数一定相同。例 9
37、 可做如下解答：三个整数被 N 除余数相同，N（90-69），即 N21，N（125-90），即 N35，N 是 21 和 35 的公约数。要求 N 的最大值，N 是 21 和 35 的最大公约数。21 和 35 的最大公约数是 7，N 最大是 7。习题四1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是 8，余数是 16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为 463，求除数。2.某数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 5 余 3，除以 6 余 4，这个数最小是多少？3.某数除以 8 余 3，除以 9 余 4，除以 12 余 7，在 1000 以内这样的数有哪几个？4.用卡车运货，每次运 9
38、袋余 1 袋，每次运 8 袋余 3 袋，每次运 7 袋余 2 袋.这批货至少有多少袋？5.57、96、148 被某自然数除，余数相同，且不为零.求 284 被这个自然数除的余数.第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。2.奇数与偶数的运算性质性质 1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数。性质 2：偶数奇数=奇数。性质 3：偶数个奇数相加得偶数。性质 4：
39、奇数个奇数相加得奇数。性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例 1 1+2+3+1993 的和是奇数？还是偶数？分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。解法 1：1+2+3+1993又997 和 1993 是奇数，奇数奇数=奇数，原式的和是奇数。解法 2：19932=9961，11993 的自然数中，有 996 个偶数，有 997 个奇数。996 个偶数之和一定是偶数，又奇数个奇数之和是奇数，997 个奇
40、数之和是奇数。因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。例 2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差 150，这个数是多少？解法 1：相邻两个奇数相差 2，150 是这个要求数的 2 倍。这个数是 1502=75。解法 2：设这个数为 x，设相邻的两个奇数为 2a+1，2a-1（a1）.则有（2a+1）x-（2a-1）x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。这个要求的数是 75。例 3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？分析 此题初看似乎缺总人数.但解决问题的
41、实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。-第 10 页解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被 2 整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例 4 已知 a、b、c 中有一个是 5，一个是 6，一个是 7.求证 a-1，b-2，c-3 的
42、乘积一定是偶数。证明：a、b、c 中有两个奇数、一个偶数，a、c 中至少有一个是奇数，a-1，c-3 中至少有一个是偶数。又偶数整数=偶数，（a-1）（b-2）（c-3）是偶数。例 5 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于 999。则有 a+a=b+b=c+c=9，因为 9 不会是进位后得到的又因为 a、b、c是 a、b、c 调换顺序得到的，所以 a+b+c=a+b+c。因此，又有（a+a）+（b+b）+（c+c）=9+9+9，即 2（a+b+c）=39。可见：等式左边是偶数，等式的右边（39=27）是奇数.偶数奇数.因此，等式不成立.所以，此假设“原数
43、与新数之和为 999”是错误的，命题得证。这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。例 6 用代表整数的字母 a、b、c、d 写成等式组：abcd-a=1991abcd-b=1993abcd-c=1995abcd-d=1997试说明：符合条件的整数 a、b、c、d 是否存在。解：由原题等式组可知：a（bcd-1）=1991，b（acd-1）=1993，c（abd-1）=1995，d（abc-1）=1997。1991、1993、1995
44、、1997 均为奇数，且只有奇数奇数=奇数，a、b、c、d 分别为奇数。abcd=奇数。a、b、c、d 的乘积分别减去 a、b、c、d 后，一定为偶数.这与原题等式组矛盾。不存在满足题设等式组的整数 a、b、c、d。例 7 桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使 9 只杯子口全朝下，必须经过 9 个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转 6 只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻
45、转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。例 8 假设 n 盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。证明：当 n 为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。由于 n 是奇数，所以 n 个奇数的和=奇数，因此要把所有的灯（n 盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。但因为规定每次拉动 n-1 个开关，且 n-1 是偶数，故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。奇数偶数，当 n 为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。当 n 为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下：设灯的编号为 1，2，3
46、，4，n.做如下操作：第一次，1 号灯不动，拉动其余开关；第二次，2 号灯不动，拉动其余开关；-第 11 页第三次，3 号灯不动，拉动其余开关；第 n 次，n 号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。例 9 在圆周上有 1987 个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有 1987 次染红，1987 次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染 m 个珠子为红色，第二次必然还仅染这 m 个珠子为红色.则染红色次数为 2m 次。2m1987（偶数奇数）假设不成立。至
47、少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。例 10 如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？解：任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之间相距 a 米，第二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距 b 米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离 c=a+b（米）（如下图），如果 a、b 中有一个是偶数，题目已得证；如果 a、b 都是奇数，因为奇数+奇数=偶数，所以 c 必为偶数，那么题目也得证。例 11 某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共 40 道，评分标
48、准是：答对一题给 3 分，答错一题倒扣 1 分.某题不答给 1 分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。解：对每个学生来说，40 道题都答对共得 120 分，是个偶数.如果答错一道，相当于从 120 分中扣 4 分.不论答错多少道，扣分的总数应是 4 的倍数，即扣偶数分.从 120 里减去偶数.差仍是偶数.同样，如果有某题不答，应从 120 里减去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是 2 的倍数，也是偶数.所以从 120 里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数.例 12 某学校一年级一班共有 25 名同学，教室座位恰好排成
49、5 行，每行 5 个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问：让这 25 个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？分析 为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析.我们把每一个黑、白格看作是一个座位.从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“座位”上的同学要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等。解：从上图可知：黑色座位有 13 个，白色座位有 12 个，1312，因此，不可能使每个座位的人换为邻座位。例 12 的解法，采用了黑白两色间隔染（着）色的办法.因为整数按奇偶分类只有两类，
50、所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色，可以帮助我们较直观地理解和处理问题.让我们再看一道例题，再体会一下奇偶性与染色的关系。例 13 在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到原处，问：“马”所跳的步数是奇数还是偶数？解：在中国象棋中，“马”走“日”字，如果将棋盘上的各点按黑白二色间隔着色（如图），可以看出，“马”走任何一步都是从黑色点走到白色点，或从白色点走到黑色点.因此，“马”从一色点跳到另一同色点，必定要跳偶数步.因此，不论开始时“马”在棋盘的哪个位置上，而且不论“马”跳多少次，要跳回原处，必定要跳偶数步。例