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1、-第 1 页人教版初中数学第十人教版初中数学第十七章勾股定理知识点七章勾股定理知识点-第 2 页第十七章第十七章 勾股定理勾股定理1717.1.1 勾股定理勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么222abc勾股定理的证明：方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb222abc方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc
2、梯形，化简得证1717.2.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足222abc，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25 等例、在 RtABC 中，a=3，b=4，求 c-第 3 页错解由勾股定理，得 c=
3、22ab=2243=5诊断这里默认了C 为直角其实，题目中没有明确哪个角为直角，当 ba 时，B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况当B 为直角时，c=22ba=2243=7例、已知 RtABC 中，B=RT，a=2，c=2 2，求 b.错解由勾股定理，得B=22ca=22(2 2)(2)=6诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2b2=c2”殊不知，只有当C=Rt时，a2b2=c2才能成立，而当B=Rt时，则勾股定理的表达式应为 a2c2=b2正确解答B=Rt，由勾股定理知 a2c2=b2b=22ca=22(2 2)(2)=10例、若直角三角形的两条边长为 6cm、8cm，则第三边长为_错解
4、设第三边长为 xcm由勾股定理，得 x2=6282x=2268=3664=10即第三边长为 10cm诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，第三边可能是斜边，也可能是直角边正确解法设第三边长为 xcm若第三边长为斜边，由勾股定理，得x=2268=3664=10(cm)-第 4 页若第三边长为直角边，则 8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得x=2286=28=2 7(cm)因此，第三边的长度是 10cm 或者2 7cm.例、如图，已知 RtABC 中，BAC=90，AD 是高，AM 是中线，且 AM=12BC=2 33AD.又 RTABC的周长
5、是(6+23)cm.求 AD错解ABC 是直角三角形，AC:AB:BC=3:4:5ACABBC=345AC=312(6+23)=332，AB=412(6+23)=62 33，BC=512(6+23)=155 36又12ACAB=12BCADAD=ACABBC=3362 323155 36=(33)2(33)5(33)=25(3+3)(cm)诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系上述解法犯了以特殊代替一般的错误正确解法AM=2 33AD-第 5 页MD=222(3)3ADAD=33AD又MC=MA，CD=MD点 C 与点 M 关于
6、 AD 成轴对称AC=AM，AMD=60=CB=30，AC=12BC，AB=32BCAC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+2 3.BC=412BC=2 33AD，AD=12233BC=3(cm)例、在ABC 中，abc=91512，试判定ABC 是不是直角三角形错解依题意，设 a=9k，b=15k，c=12k(k0)a2b2=(9k)2(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，a2b2c2ABC 不是直角三角形诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理正
7、确解法由题意知 b 是最长边设 a=9k，b=15k，c=12k(k0)a2c2=(9k)2(12k)2=81k2144k2=225k2b2=(15k)2=225k2，a2c2=b2ABC 是直角三角形例、已知在ABC 中，ABAC，AD 是中线，AE 是高 求证：AB2AC2=2BC DE-第 6 页错证如图AEBC 于 E，AB2=BE2AE2，AC2=EC2AE2AB2AC2=BE2EC2=(BEEC)(BEEC)=BC(BEEC)BD=DC，BE=BCEC=2DCECAB2AC2=BC(2DCECEC)=2BCDE诊断题设中既没明确指出ABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可
8、能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形 高 AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意 而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.正确证明由读者自己完成例、已知在ABC 中，三条边长分别为 a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n(n 是大于 2 的偶数).求证:ABC 是直角三角形.错证 1n 是大于 2 的偶数，取 n=4，这时 a=4，b=3，c=5a2b2=4232=25=52=c2，ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理)由勾股定理知ABC 是直角三角形正解 a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n)2=(214n)2=416n+22n+1-第 7 页由勾股定理的逆定理知，ABC 是直角三角形.诊断证明 1 错在以特殊取代一般