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1、-第 1 页高数二重积分习题高数二重积分习题解答解答-第 1 页第第 9 章章重积分及其应用重积分及其应用1用二重积分表示下列立体的体积：(1)上半球体：2222(,)|;0 x y zxyzRz；(2)由抛物面222zxy，柱面 x2+y2=1 及 xOy 平面所围成的空间立体解答：(1)222222d d,(,)|DVRxyx y Dx yxyR；(2)2222(2)d d,(,)|1DVxyx y Dx yxy所属章节：所属章节：第九章第一节第九章第一节难度：难度：一级一级2根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1)222dDaxy，其中 D 为222xya；(2)22()dDbx
2、y，其中 D 为222,0 xya ba解答：(1)22232d3Daxya；(2)22232()d3Dbxya ba所属章节：所属章节：第九章第一节第九章第一节难度：难度：一级一级3一带电薄板位于 xOy 平面上，占有闭区域 D，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y，且(,)x y在 D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷 Q解答：(,)dDQx y所属章节：所属章节：第九章第一节第九章第一节难度：难度：一级一级4将一平面薄板铅直浸没于水中，取 x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有 xOy平面上的闭区域 D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力解答：dDpgx所属章节：
3、所属章节：第九章第一节第九章第一节难度：难度：一级一级5利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1)21()dDIxy与32()dDIxy，其中 D 是由 x 轴，y 轴及直线 x+y=1 所围成的区域；-第 2 页(2)1ln(1)dDIxy与222ln(1)dDIxy，其中 D 是矩形区域：0 x1，0y1；(3)21sin()dDIxy与22()dDIxy，其中 D 是任一平面有界闭区域；(4)1e dxyDI与22edxyDI，其中 D 是矩形区域：1x0，0y1；解答：(1)在区域 D 内部，1xy，所以 I1I2；(2)在区域 D 内部，22,xxyy，故22ln(1)ln(
4、1)xyxy，所以 I1I2；？(3)由于22sin()()xyxy，所以 I1I2所属章节所属章节：第九章第一节第九章第一节难度难度：一级一级6利用二重积分性质，估计下列二重积分的值(1)d,(,)|04,08ln(4)DIDx yxyxy；(2)22223sin()d,(,)44DIxyDx yxy；(3)221d,(,)|1100coscosDIDx yxyxy；(4)22221ed,(,)4xyDIDx y xy解答：(1)由于(,)|04,08Dx yxy的面积为 32，在其中111ln16ln(4)ln4xy，而等号不恒成立，故816ln2ln2I；(2)由于223(,)44Dx
5、yxy的面积为212，在其中222sin()12xy，而等号不恒成立，故22242I；(3)由于(,)|1Dx yxy的面积为2，在其中22111102100100coscosxy，而等号-第 3 页不恒成立，故115150I；注：原 题 有 误？还 是 原 参 考 答 案 有 误？如 将(,)|1Dx yxy改 为(,)|10Dx yxy，则区域面积为 200，结论为100251I(4)由于221(,)4Dx y xy的面积为14，在其中12241sin()xye，而等号不恒成立，故14e44I所属章节：所属章节：第九章第一节第九章第一节难度：难度：二级二级7设 f(x，y)是连续函数，试求
6、极限：222201lim(,)drxyrf x yr解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得所属章节：所属章节：第九章第一节第九章第一节难度：难度：二级二级8设 f(x，y)在有界闭区域 D 上非负连续，证明：(1)若 f(x，y)不恒为零，则(,)d0Df x y；(2)若(,)d0Df x y，则 f(x，y)0解答：(1)若 f(x，y)不恒为零，则存在00(,)xyD，00(,)0f xy，利用连续函数的保号性，存在00(,)xy的一个邻域1DD，在其上恒有(,)0f x y，于是1(,)d0Df x y，而1(,)d0D Df x y，所以11(,)d(,)d(,)d0DDD
7、 Df x yf x yf x y；(2)假若 f(x，y)不恒为零，则由上题知(,)d0Df x y，矛盾，故 f(x，y)0所属章节：所属章节：第九章第一节第九章第一节难度：难度：二级二级9计算下列二重积分：(1)sin d,(,)12,02DxyDx yxy；(2)22(e)d,(,)11,01xyDxyDx yxy；(3)2ed,(,)01,01xyDxyDx yxy；-第 4 页(4)22sin()d,(,)0,022Dx yxyDx yxy；(5)2222d,(,)2,2DxDx y xyxyx解答：(1)2221013sin dsin2Dxydxxydyxdx；(2)221111
8、1222222101011(1)(e)d()(1)22xyxyxyxDexydxxyedydxedyee dxe；(3)221110001d)(1)122xyxyxDexyedxxyedyedx；(4)222222220001sin()dsin()(cos4)216Dx yxydxx yxydyxxx dx；(5)221212111112yyDxddyxdxy dy所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：一级一级10 画出下列各题中给出的区域 D，并将二重积分(,)dDf x y化为两种次序不同的二次积分：(1)D 由曲线 y=lnx，直线 x=2 及x轴所围成；(2)D 由抛
9、物线 y=x2与直线 2x+y=3 所围成；(3)D 由 y=0 及 y=sinx(0 x)所围成；(4)D 由曲线 y=x3，y=x 所围成；(5)D 由直线 y=0，y=1，y=x，y=x2 所围成解答：本题图略，建议画出(1)2lnln22100(,)(,)yxedxf x y dydyf x y dx；(2)2313 2192301(,)(,)(,)yxyxyydxf x y dydyf x y dxdyf x y dx；(3)sin1arcsin000arcsin(,)(,)xyydxf x y dydyf x y dx；(4)333301011010(,)(,)(,)(,)xxyy
10、xxyydxf x y dydxf x y dydyf x y dxdyf x y dx；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D 由曲线 y=x3，y=x 所围成”改为“D 由曲线3,1,1yxyx 所围成”，则答案为原参考答案(5)12131120010220d(,)dd(,)dd(,)dd(,)dxyxyxf x yyxf x yyxf x yyyf x yx-第 5 页所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：一级一级11计算下列二重积分：(1)22dDxy，D 由曲线 x=2，y=x，xy=1 所围成；(2)cos()d dDxxyx y，D 由点(0，0)，(，0)
11、，(，)为顶点的三角形区域；(3)dDxy，D 由抛物线yx和 y=x2围成；(4)d dDxy x y，D 由抛物线 y2=x 与直线 y=x2 所围成；(5)sindDxy，D 由直线 y=x，y=2 和曲线 x=y3所围成解答：(1)22223122119()4xxDxxddxdyxx dxyy；(2)0003cos()cos()(sin2sin)2xDxxy dxdydxxxy dyxxxx dx；(3)2711440026()355xxDxyddxxydyxx dx；(4)22222411145(44)28yyDxydxdydyxydxy yyydx；(5)3222113cos1 s
12、in1 sin4sin()sin()(cos1cos)2yyDxxddydxyyydyyy所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：二级二级12画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定 f(x，y)在积分区域上连续)：(1)10d(,)dyyyf x yx；(2)21220010d(,)dd(,)dxxxf x yyxf x yy；(3)2122d(,)dyyyf x yx；(4)222402d(,)dxx xxf x yy；(5)21101d(,)dxxxf x yy-第 6 页(6)13 20d(,)dyyyf x yx解答：本题图略，建议画出(1)210(,)xxdx
13、f x y dy；(2)120(,)yydyf x y dx；(3)1 4 2 0 1(,)(,)xxxxdxf x y dydxf x y dy；(4)2222 1 11 1 4 24 0 0 0 11 1 0(,)(,)(,)yyyydyf x y dxdyf x y dxdyf x y dx；(5)201111000(,)(,)yydyf x y dxdyf x y dx；(6)231320010(,)(,)xxdxf x y dydxf x y dy所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：一级一级13计算下列二次积分：(1)1/31140d1dyyxx；(2)23211
14、dedyxxy；(3)220sinddyxyxx；(4)2220d2sin()dxxyxyy；(5)1220arcsindcos1 cosdyyxx x；(6)24212dsinddsind22xxxxxxyxyyy解答：(1)31/311114434000011116xydyx dxdxx dyxx dx；(2)222322124110001(1)2yyyyxdxedydyedxyedye；(3)22220000sinsinsin1xyxxdydxdxdyxdxxx；(4)222222200002sin()2sin()22 cos()4sin4yxdxyxy dydyyxy dxyyydy；
15、(5)1sin2222220arcsin000cos1 coscos1 cossin cos1 cosxydyxxdxdxxxdyxxxdx-第 7 页(6)22422231211284sinsinsincos2222xyxxyxxxdxdydxdydydxyydyyyy所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：二级二级14利用积分区域的对称性和被积函数关于 x 或 y 的奇偶性，计算下列二重积分：(1)222|d,:DxyD xyR；(2)2322(tan4)d d,:4Dxxyx y D xy；(3)2222(1)arcsind,:()DyxxDxRyRR；(4)(|)d d
16、,:|1Dxyx y Dxy解答：(1)设2221:,0,0DxyRxy，则(2)23(tan4)416DDxxydxdydxdy；(3)由于积分区域关于x对称，被积函数是关于 y 的奇函数，故2(1)arcsind0DyxxR；(4)设1:1,0,0Dxyxy，则所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：二级二级15利用极坐标化二重积分(,)dDf x y为二次积分，其中积分区域 D 为：(1)22:,(0)D xyax a；(2)22:14Dxy；(3):01,01Dxyx；(4)22:2()D xyxy(5)22:24Dxxy解答：(1)cos202d(cos,sin)da
17、f rrr r；(2)2201d(cos,sin)df rrr r；-第 8 页(3)12cossin00d(cos,sin)df rrr r；(4)32(cossin)404d(cos,sin)df rrr r；(5)322222cos022d(cos,sin)dd(cos,sin)df rrr rf rrr r所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：一级一级16利用极坐标计算下列二重积分：(1)22222d d,:DRxyx y D xyRx；(2)22222222()d d,:()()Dxyx y Dxyaxy；(3)22arctand d,:14,0,Dyx y Dxy
18、yyxx；(4)2222d d,:2,2Dx x y D xyxyx；(5)arctan2222ed,:14,3yxDDxyxyxxy(6)22()d dDxyx y，D：第一象限中由圆22222,4xyy xyy及直线3,3xy yx所围成解答：(1)cos2222233322022114d d(1 sin)()333RDRxyx ydRr rdrRdR；(2)cos222342444000()4cos 28aDxydxdydr drada；(3)224013arctand d64Dyx ydrdrx；(4)2cos244424482 2cos(coscos)332Dxdxdydrdrd；注
19、：本小题与第 9 大题第（5）小题相同(5)arctan23342214edyxDde dreexy；-第 9 页(6)4sin2234332sin6615()d d60sin(23)8Dxyx ydr drd 所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：二级二级17设 r，为极坐标，在下列积分中交换积分次序：(1)cos202d(,)d (0)af rr a；(2)sin2200d(,)d (0)af rr a；(3)00d(,)d (02)af rra；(4)4cos00d(,)d (0)af rr a；解答：(1)arccos0arccosd(,)draararf r；(2)
20、2222arcsin210arcsin2d(,)draararf r；(3)0d(,)daarrf r；(4)244000arccosd(,)dd(,)daaarrf rrf r所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：一级一级18计算下列二次积分：(1)2221100dedxxyxy；(2)22/210darctandyyyyxx；(3)2222200ddx xxxyy；(4)211223/201d()dxxxxyy解答：(1)222211122000001(1)24xxyreedxedyde rdrd；-第 10 页(2)22/211242000011arctan264yyy
21、dydxdrdrdx；(3)2222cos22232200000816cos39x xdxxy dydr drd；(4)2111223/222210100sincos()(sincos1)22xxdxxydydr drd所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：二级二级19计算下列二重积分：(1)22max(,)ed d,:(,)|01,01xyDx y Dx yxy；(2)2222|4|d d,:(,)|9Dxyx y Dx yxy；(3)|cos()|d d,:(,)|0,022Dxyx y Dx yxy；(4)2|d d,:(,)|11,02Dyxx y Dx yxy 解答
22、：(1)222211max(,)00001xyxyxyDedxdydxe dydye dxe；(2)22232222000221|4|(4)(4)2Dxydxdydrrdrdrrdr；(3)22220002|cos()|cos()cos()2xxDxydxdydxxy dydxxy dy；(4)221112220005|2223xxDyx dxdydxxydydxyx dy所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：三级三级20选择适当坐标计算下列各题：(1)22dDxy，其中 D 是由双曲线 xy=1 与直线 y=x，x=2 围成；(2)22221d1Dxyxy，其中22(,)|
23、1,0,0Dx yxyxy；(3)22()d dDxyx y，其中 D 是直线 y=x，y=x+a，y=a，y=3a(a0)围成；-第 11 页(4)d dDxy x y，其中2222(,)|0,1,2 Dx yyxyxyx解答：(1)22223122119()4xxDxxddxdyxx dxyy；注：本小题与第 11 大题第（1）小题重复(2)222211222222000112(2)d111218DDxyxrddrdrrdrxyyrr；(3)3222220()()14axx aDxydxdydyxydxa；(4)2cos353301019sincos(4cossinsincos)416Dx
24、ydxdydrdrd所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：二级二级21用适当的变量变换，计算下列二重积分：(1)22sin(94)d dDxyx y，中 D 是椭圆形闭区域22941xy位于第一象限内的部分；(2)22d dDx yx y，D 是由双曲线 xy=1，xy=2 与直线 x=y，x=4y 所围成的在第一象限内的闭区域；(3)2222()d dDxyx yab，D 是椭圆形闭区域22221xyab；(4)ed dx yDx y，D 是闭区域|x|+|y|1；(5)32()cos()d dDxyxyx y，其中 D 是以(，0)，(3，2)，(2，3)，(0，)为顶点
25、的平行四边形；参考答案：(1)(1 cos1)24(提示：作变换11cos,sin32xryr)；(2)7ln23(提示：作变换,yxyuvx)；(3)12ab(提示：作变换cos,sinxarybr)；(4)1ee(提示：作变换,xyu xyv)；(5)785(提示：作变换,xyu xyv)解答：(1)作变换11cos,sin32xryr，则16Jr，-第 12 页(2)作变换,yxyuvx，则12Jv，(3)作变换cos,sinxarybr，则Jabr，(4)作变换,xyu xyv，则12J，(5)作变换,xyu xyv，则12J（原参考答案有误？）所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第
26、二节难度：难度：三级三级22利用二重积分求下列平面区域的面积：(1)D 由曲线e,exxyy及 x=1 围成；(2)D 由曲线 y=x+1，y2=x1 围成；(3)D 由双纽线22222()4()xyxy围成；(4)(cos,sin)|24sin Drrr；(5)1(cos,sin)|1 cos 2Drrr；(6)D 由曲线2223()2(0)xyax a围成；(7)D 由曲线 y=x3，y=4x3，x=y3，x=4y3所围成的第一象限部分参考答案：(1)1ee2；(2)16；(3)4；(4)42 33；(5)57 368；(6)258a；(7)18解答：(1)11100()2xxexxeDA
27、dxdydxdyeedxee；(2)201021111()6yyDAdxdydydxyy dx；(3)双纽线22222()4()xyxy用极坐标表示24cos2r，(4)4sin222662(48cos2)DAdxdydrdrd42 33；(5)221 cos33100252(4coscos2)2DAdxdydrdrd57 368；(6)曲线2223()2(0)xyax a用极坐标表示32 cosra，(7)-第 13 页所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：二级二级23利用二重积分求下列各题中的立体的体积：(1)为第一象限中由圆柱面 y2+z2=4 与平面 x=2y，x=0
28、，z=0 所围成；（注：象限应为卦限？）(2)由平面 y=0，z=0，y=x 及 6x+2y+3z=6 围成；(3)2222(,)|11x y zxyzxy；(4)222(,)|1,11x y zxyzz ；参考答案：(1)163；(2)14；(3)76；(4)83解答：(1)2222220001644243yDVy dxdydyy dxyy dy；(2)21(22)34DVxy dxdy；(3)21222222007(11)()(11)6DVxyxydxdydrrrdr；(4)222222018(2)2214213xyDVxydxdydrrdr 所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难
29、度：难度：二级二级24设 f(x)在0，1上连续，D 由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换 u=x+y，然后交换积分顺序所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：三级三级25设 f(x)连续，证明：222221()d d()2dxyf xyx yf uuu解答：作变量变换11(),()22xuvyuv，则12J，所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：三级三级26设 f(x)在a，b上连续，证明：22()d()()dbbaaf xxbafxx解答：设区域(,)|,Dx yaxb ayb，则所属章
30、节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：三级三级-第 14 页27设 f(x)在a，b上连续，f(x)0，证明：21()dd()()bbaaf xxxbaf x解答：设区域(,)|,Dx yaxb ayb，则所以211()()()()()()2()()bbaaDDf xf xf x dxdxdxdydxdybaf xf yf y所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：三级三级28在曲线族 y=c(1x2)(c0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小解答：曲线在(1，0)处的法线为1122yxcc，由对称性知所围图形面积
31、为令0dAdc，得唯一驻点64c（负值舍去）又由于该实际问题的最小值存在，故当64c 时，所围图形面积最小，为263所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：三级三级29设 f(x)是连续函数，区域 D 由 y=x3，y=1，x=1 围成，计算二重积分解答：将 D 分成两块，记为则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：三级三级30设 f(x)、g(x)在0，1上连续且都是单调减少的，试证：解答：设(,)|01,01Dx yxy，则类似地有()()()DIf y g yg x dxdy，两式相加，并利用条件 f(x)、g(x)在0
32、，1上连续且都是单调减少的，就有所以0I，即111000()()d()d()df x g xxf xxg xx所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：三级三级31设 f(x)在0，1上连续，并设10()df xxA，求110d()()dxxf x f yy解答：设(,)|01,01Dx yxy，则所属章节：所属章节：第九章第二节第九章第二节难度：难度：三级三级-第 15 页32至少利用三种不同的积分次序计算三重积分2()dxyzv，其中=0，23，01，1解答：2012022222031030()()2616xyz dvdxdyxyz dzdxx dyx dx，类似021223
33、01()()16xyz dvdydxxyz dz，所属章节：所属章节：第九章第三节第九章第三节难度：难度：一级一级33将三重积分(,)df x y zv化为累次积分(三次积分)，其中积分区域分别是：(1)2222:,0 xyzRz；(2)由 x2+y2=4，z=0，z=x+y+10 所围成；(3)22222:2,xyzzxy(4)：由双曲抛物面 z=xy 及平面 x+y1=0，z=0 所围成的闭区域解答：(1)22222220dd(,)dRRxRxyRRxxyf x y zz；(2)222410240dd(,)dxx yxxyf x y zz；(3)22222211211dd(,)dxxyxx
34、yxyf x y zz；(4)11000dd(,)dxxyxyf x y zz双曲抛物面所属章节：所属章节：第九章第三节第九章第三节难度：难度：二级二级34计算下列三重积分：(1)dy v，其中是在平面 z=x+2y 下放，xOy 平面上由 y=x2、y=0 及 x=1 围成的平面区域上-第 16 页方的立体；(2)edx y zv，其中是在平面 x+y+z=1 与三个坐标面围成；(3)sin()d d dxyzx y z，其中(4)dz v，其中是第一象限中由曲面 y2+z2=9 与平面 x=0、y=3x 和 z=0 所围成的空间立体；(5)222d d d1xyzx y zxyz，其中22
35、2(,)|0,0,1x y zxzxyz；(6)d d dx x y z，其中是由抛物面 x=4y2+4z2与平面 x=4 围成参考答案：(1)528；(2)e12；(3)142；(4)278；(5)0；(6)163解答：(1)528；(2)e12；(3)142；(4)278；(5)0；(6)163所属章节：所属章节：第九章第三节第九章第三节难度：难度：二级二级35用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题：(1)计算三重积分sin dz v，其中是由锥面22zxy和平面 z=围成；(2)设是由单叶双曲面 x2+y2z2=R2和平面 z=0，z=H 围成，试求其体积；(3)已知物体的
36、底面是 xOy 平面上的区域222(,)|Dx yxyR，当垂直于 x 轴的平面与相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为(,)1xx y zR，试求其质量；(4)试求立体2222(,)1xyx y zzab的形心坐标参考答案：(1)24；(2)2313R HH；(3)3433R；(4)20,0,3解答：(1)2300sin dsinsin4zDz vzdzdxdyzz dz；与原参考答案不同-第 17 页(2)2223001()3zHHDVdvdzdxdyRzdzR HH；(3)2234(,)(1)(1)3()33xRRRRDxxmx y z dvdxdydzRx dxRRR；(4)由
37、对称性，0 xy，1120011123zDzzdvzdzdxdyabz dzVVV，即所求形心坐标为20,0,3所属章节：所属章节：第九章第三节第九章第三节难度：难度：二级二级36利用柱面坐标计算下列三重积分：(1)22()dxyv，其中22(,)|4,12x y zxyz；(2)32()d d dxxyx y z，其中由柱面 x2+(y1)2=1 及平面 z=0，z=2 所围成；(3)22dxyv，其中22(,)|09x y zzxy；(4)d d dy x y z，其中22(,)|14,02x y zyzxz；(5)dxy v，其中为 z0 上平面 y=0、y=z 及柱面 x2+z2=1
38、围成解答：(1)222222230010()d2324xyvdrdrr dzr dr；(2)由于被积函数、积分区域关于x为奇，故32()d d d0 xxyx y z；(3)2239322240000324d2(9)5rxyvdrdrrdzrrdr；(4)d d d0y x y z；(5)d0 xy v所属章节：所属章节：第九章第四节第九章第四节难度：难度：三级三级37利用球面坐标计算下列三重积分：(1)222edxyzv，其中2222:xyza；(2)222 2()edxyzxv，其中是第一象限中球面2221xyz与球面2224xyz之间的部-第 18 页分；卦限？(3)2dyv，其中是单位
39、球体在第五象限部分；(4)222222sin(1)d1xyzvxyz，其中是2201zxy；(5)222dxyzv，其中是锥面6上方与上半球面=2 所围立体解答：(1)22222220000edsin44(22)8aaxyzrravdde rdrr e dre aa；(2)222 242()222001edsincossinxyzrxvddrerdr(3)1222222322000221dsinsinsinsinsin530yvddrrdrdd ；(4)222321222222000ln(1)dln(1)sincos11zxyzrvddrdrxyzr(5)222223660000dsin8si
40、n4(23)xyzvddrdrd 所属章节：所属章节：第九章第四节第九章第四节难度：难度：三级三级38将下列三次积分化为柱面坐标或球面坐标下的三次积分，再计算积分值，并画出积分区域图：(1)22222211222 3/211dd()dxxyxxyxyxyz；(2)222221100dddyxyxyyxxyz z；(3)2222399222390dddxxyxxyz xyzz；(4)22222391822200dd()dyxyxyyxxyzz；参考答案：(1)835；(2)196；(3)2435；(4)486(21)5解答：本题图略(1)用柱面坐标，(2)用柱面坐标，(3)用球面坐标，(4)用球
41、面坐标，-第 19 页所属章节：所属章节：第九章第四节第九章第四节难度：难度：三级三级39选择适当坐标计算下列三重积分：(1)2 dz v，其中由柱面 x2+y2=8，椭圆锥面222zxy及平面 z=0 所围成；(2)()dxyv，其中22(,)|111x y zzxy；(3)dz v，其中由曲面22222222,()zxyxyxy及平面 z=0 所围成；(4)2222221dxyzvxyz，其中由曲面222222,33zxyzxy及平面 z=1 所围成；(5)2dzv，其中是两个球体2222xyzR与2222xyzRz的公共部分解答：(1)用柱面坐标，(2)用柱面坐标，(3)用柱面坐标，(4
42、)用球面坐标，(5)用柱面坐标，两球面的公共部分在 xOy 面上的投影222)23(Ryx，在柱面坐标下积分区域可表示为所以22223222200RRRRz dvddzdz注：本题也可用截面法来计算，分上下两部分，所属章节：所属章节：第九章第四节第九章第四节难度：难度：三级三级40利用三重积分求所给立体的体积：(1)由柱面 x=y2和平面 z=0 及 x+z=1 围成的立体；(2)由抛物面 z=x2+y2和 z=18x2y2围成的立体；(3)为圆柱体 racos内被球心在原点、半径为 a 的球所割下的部分解答：(1)13111220008(22)15xxxVdvdxdydzxxdz；（2）22
43、23180081rrVdvdrdrdz;（3）22cos333220000424(1 sin)(34)39aarVdvdrdrdzada.所属章节：所属章节：第九章第四节第九章第四节难度：难度：二级二级-第 20 页41设是 Oxyz 坐标系中体积为 V=5 的有界闭区域，*为在变换u=4x+4y+8z，v=2x+7y+4z，w=x+4y+3z下的有界闭区域，试求*的体积 V*解答：在变换 u=4x+4y+8z，v=2x+7y+4z，w=x+4y+3z 下，所以 V*=20 V=100所属章节：所属章节：第九章第四节第九章第四节难度：难度：二级二级42计算三重积分2222223/2222222
44、11d d dxyzabcxyzx y zabc解答：作变换sincos,sinsin,cosxaybzc，则2sinJabc，所属章节：所属章节：第九章第四节第九章第四节难度：难度：三级三级43计算三重积分2222222()()()()d d dx ay bz cRIxyzx y z解答：作变换sincos,sinsin,cosxaybzc，则2sinJ，所属章节：所属章节：第九章第四节第九章第四节难度：难度：三级三级44计算平面 6x+3y+2z=12 在第一象限中的部分的面积参考答案：14解答：平面方程3632zxy，:6312,0,0Dxyxy，投影面积 4，所属章节：所属章节：第九章
45、第五节第九章第五节难度：难度：二级二级45求球面2222xyza含在圆柱面22xyax内部的曲面面积解答：由对称性，设222zaxy，22:,0D xyax y，则所属章节：所属章节：第九章第五节第九章第五节难度：难度：二级二级46计算旋转抛物面 2z=x2+y2被柱面(x2+y2)2=x2y2所截下部分的曲面面积解答：柱面投影曲线方程化为cos2r，用极坐标计算曲面面积，所属章节：所属章节：第九章第五节第九章第五节难度：难度：二级二级47求双曲抛物面 z=y2x2夹在圆柱面 x2+y2=1 和 x2+y2=4 之间部分的曲面面积解答：曲面方程22zyx，投影区域为圆环域22:14Dxy，所属
46、章节：所属章节：第九章第五节第九章第五节难度：难度：二级二级-第 21 页48计算由球面22223(0)xyzaz和旋转抛物面222(0)xyaz a所围成立体的表面积参考答案：2163a解答：上半曲面方程2223zaxy，投影区域为圆环域222:2D xya，类似，下半曲面面积，所以所求总的曲面面积为212163AAa所属章节：所属章节：第九章第五节第九章第五节难度：难度：二级二级49求由圆柱面229xy、平面 4y+3z=12 和 4y3z=12 所围成立体的表面积解答：该立体表面可分成两块来计算面积，一块为上下底，在两个平面上，由于对称，只计算上底面积1A，另一块为侧面，面积记为2A，整
47、个立体的表面积122AAA先 计 算1A，由 于 对 应 曲 面 方 程 为443zy，40,3zzxy，xyD为 投 影 区 域，22513xydAzzd，所以再计算2A，由于对应曲面方程之一为29yx，20,9yyxzxx，xzD为投影区域，222319xzdAyydx，所以于是，总面积为所属章节：所属章节：第九章第五节第九章第五节难度：难度：三级三级50设两个圆柱半径相等，轴相互垂直，求它们所围立体的表面积解答：设两个圆柱面的方程为222222,xyRxzR，由对称性，只要计算出立体在第一卦限部分上面部分面积1A，再乘以 16 即可，由于222222,1xyRzRxdAzz dxdydx
48、dyRx，所以所属章节：所属章节：第九章第五节第九章第五节难度：难度：二级二级51设平面薄片所占的闭区域 D 是由直线 x+y=2，y=x 和 x 轴所围成，它的面密度(x)=x2+y2，求该薄片的质量解答：122204(,)()3yyDmx y dxdydyxydx-第 22 页所属章节：所属章节：第九章第五节第九章第五节难度：难度：二级二级52求占有下列区域 D 的平面薄片的质量与重心(质心)：(1)D 是以(0，0)，(2，1)，(0，3)为顶点的三角形区域，(x，y)=x+y；(2)D 是第一象限中由抛物线 y=x2与直线 y=1 围成的区域，(x，y)=xy；(3)D 由心脏线 r=
49、1+sin所围成的区域，(x，y)=2；(4)22(,)|(1)1,(,)|1|Dx yxyx yyy解答：(1)23102(,)()6xxDmx y dxdydxxy dy，即所求平面薄片的质量为 6，质心坐标为3 3(,)4 2；(2)211150011(,)()26xDmx y dxdydxxydyxx dx，即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为16m、4 3(,)7 4；(3)1 sin222002(,)44(1 sin)3Dmx y dxdydrdrd，由对称性知，1(,)0Dxxx y dxdym，即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为53,(0,)6m；(4)将 区 域 分 为 两
50、 个 部 分，记 为221(,)|(1)1,1Dx yxyy，此 处(,)1x y，222(,)|(1)1,1Dx yxyy，此处(,)21x yy，故即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为41516,(0,)31216m所属章节：所属章节：第九章第五节第九章第五节难度：难度：二级二级53求均匀平面薄片(cos,sin)|2sin4sin Drrr绕极轴的转动惯量解答：4sin22262202sin0752sin60sin4DIyddrrdrd 所属章节：所属章节：第九章第五节第九章第五节难度：难度：二级二级54求底长为 a，高为 h 的等腰三角形薄片，绕其高的转动惯量(设密度为 1)解答：将高