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1、-第 1 页初中数学竞赛专题培训(11)：勾股定理及其应用初中数学竞赛专题培训初中数学竞赛专题培训第十一讲第十一讲 勾股定理与应用勾股定理与应用勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2勾股定理逆定理勾股定理逆定理 如果三角形三边长 a，b，c 有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形早在 3000 年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的下面的证法 1 是欧几里得证法证法证法 1 1 如图 2-16 所示 在 RtABC 的外侧，以各边为边长分别作正方形
2、ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是 c2，a2，b2下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和过 C 引 CMBD，交 AB 于 L，连接 BG，CE因为AB=AE，AC=AG，CAE=BAG，所以ACEAGB(SAS)而所以 SAEML=b2 同理可证 SBLMD=a2+得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2证法证法 2 2 如图 2-17 所示将 RtABC 的两条直角边 CA，CB 分别延长到 D，F，使 AD=a，BF=b 完成正方形 CDEF(它的边长为 a+b)，又在 DE 上截取 DG=b，在 EF 上截取 EH=b，连接 AG
3、，GH，HB由作图易知ADGGEHHFBABC，所以AG=GH=HB=AB=c，BAG=AGH=GHB=HBA=90，因此，AGHB 为边长是 c 的正方形显然，正方形 CDEF 的面积等于正方形 AGHB 的面积与四个全等的直角三角形(ABC，ADG，GEH，HFB)的面积和，即化简得 a2+b2=c2证法证法 3 3 如图 2-18在直角三角形 ABC 的斜边 AB 上向外作正方形 ABDE，延长 CB，自 E 作 EGCB 延长线于 G，自 D 作 DKCB延长线于 K，又作 AF，DH 分别垂直 EG 于 F，H 由作图不难证明，下述各直角三角形均与 RtABC 全等：AFEEHDBK
4、DACB设五边形 ACKDE 的面积为 S，一方面S=SABDE+2SABC，另一方面S=SACGF+SHGKD+2SABC 由，所以 c2=a2+b2关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论定理定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的 2 倍证证(1)设角 C 为锐角，如图 2-19 所示作 ADBC 于 D，则CD 就是 AC 在 BC 上的射影在直角三角
5、形 ABD 中，AB2=AD2+BD2，在直角三角形 ACD 中，AD2=AC2-CD2，又 BD2=(BC-CD)2，代入得 AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BCCD=AC2+BC2-2BCCD，即 c2=a2+b2-2aCD(2)设角 C 为钝角，如图 2-20 所示过 A 作 AD 与 BC 延长线垂直于 D，则 CD 就是 AC 在 BC(延长线)上的射影在直角三角形ABD 中，AB2=AD2+BD2，在直角三角形 ACD 中，AD2=AC2-CD2，-第 3 页又 BD2=(BC+CD)2，将，代入得AB2=(AC2-CD2)+(BC+
6、CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BCCD=AC2+BC2+2BCCD，即 c2=a2+b2+2acd 综合，就是我们所需要的结论特别地，当C=90时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响在ABC 中，(1)若 c2=a2+b2，则C=90；(2)若 c2a2+b2，则C90；(3)若 c2a2+b2，则C90勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用例例 1 1 如图 2-2
7、1 所示已知：在正方形 ABCD 中，BAC 的平分线交 BC 于 E，作 EFAC 于 F，作 FGAB 于 G求证：AB2=2FG2分析分析 注意到正方形的特性CAB=45，所以AGF 是等腰直角三角形，从而有 AF2=2FG2，因而应有 AF=AB，这启发我们去证明ABEAFE证证 因为 AE 是FAB 的平分线，EFAF，又 AE 是AFE 与ABE 的公共边，所以RtAFERtABE(AAS)，所以 AF=AB 在 RtAGF 中，因为FAG=45，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2 由，得：AB2=2FG2说明说明 事实上，在审题中，条件“AE 平分BAC”及“EFA
8、C于 F”应使我们意识到两个直角三角形AFE 与ABE 全等，从而将 AB“过渡”到 AF，使 AF(即 AB)与 FG 处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了例例 2 2 如图 2-22 所示AM 是ABC 的 BC 边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)证证 过 A 引 ADBC 于 D(不妨设 D 落在边 BC 内)由广勾股定理，在ABM 中，AB2=AM2+BM2+2BMMD 在ACM 中，AC2=AM2+MC2-2MCMD+，并注意到 MB=MC，所以 AB2+AC2=2(AM2+BM2)如果设ABC 三边长分别为 a，b，c，它们对应边上的中线长分别为
9、ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式推论推论 ABC 的中线长公式：说明说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式，中的 ma，mb，mc分别表示 a，b，c 边上的中线长例例 3 3 如图 2-23 所示 求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的 4 倍分析分析 如图 2-23 所示对角线中点连线 PQ，可看作BDQ 的中线，利用例 2 的结论，不难证明本题证证 设四边形 ABCD 对角线 AC，BD 中点分别是 Q，P由例 2，在BDQ
10、 中，即 2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2 在ABC 中，BQ 是 AC 边上的中线，所以在ACD 中，QD 是 AC 边上的中线，所以将，代入得=4PQ2+BD2，即 AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2说明说明 本题是例 2 的应用 善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用例例 4 4 如图 2-24 所示已知ABC 中，C=90，D，E 分别是BC，AC 上的任意一点求证：AD2+BE2=AB2+DE2分析分析 求证中所述的 4 条线段分别是 4 个直角三角形的斜边，因此
11、考虑从勾股定理入手证证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例例 5 5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4 倍等于斜边平方的 5 倍如图 2-25 所示设直角三角形 ABC 中，C=90，AM，BN分别是 BC，AC 边上的中线求证：4(AM2+BN2)=5AB2分析分析 由于 AM，BN，AB 均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例 4 的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例 4 的特殊情况即 M，N 分别是所在边的中点，那么可直接利用例 4 的结论，使证明过程十分简洁证证 连
12、接 MN，利用例 4 的结论，我们有AM2+BN2=AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2 由于 M，N 是 BC，AC 的中点，所以所以 4MN2=AB2 由，4(AM2+BN2)=5AB2说明说明 在证明中，线段 MN 称为ABC 的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MNAB 且MN=图2-26 所示MN 是ABC 的一条中位线，设ABC 的面积为 S由于M，N 分别是所在边的中点，所以 SACM=SBCN，两边减去公共部分CMN 后得 SAMN=SBMN，从而 AB 必与 MN 平行又 SABM=高相同，而 SABM=2SBMN，所以 AB=2MN练习十一练习
13、十一1用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：(1)赵君卿图(图 2-27)；(2)项名达图(2-28)；(3)杨作枚图(图 2-29)2已知矩形 ABCD，P 为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2(提示：应分三种情形加以讨论，P 在矩形内、P在矩形上、P 在矩形外，均有这个结论)3由ABC 内任意一点 O 向三边 BC，CA，AB 分别作垂线，垂足分别是 D，E，F求证：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA24 如图 2-30 所示 在四边形 ADBC 中，对角线 ABCD 求证：AC2+BD2=AD2+BC2它的逆定理是否成立？证明你的结论5如图 2-31 所示从锐角三角形 ABC 的顶点 B，C 分别向对边作垂线 BE，CF求证：BC2=ABBF+ACCE