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1、-第 1 页初三数学初三数学圆的经典圆的经典讲义讲义-第 1 页圆圆目目 录录一一 圆的定义及相关概念圆的定义及相关概念二二 垂经定理及其推论垂经定理及其推论三三 圆周角与圆心角圆周角与圆心角四四 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五五 圆内接四边形圆内接四边形六六 会用切线会用切线,能证切线能证切线七七 切线长定理切线长定理八八 三角形的内切圆三角形的内切圆九九 了解弦切角与圆幂定理（选学）了解弦切角与圆幂定理（选学）十十 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系十一十一 圆的有关计算圆的有关计算十二十二 圆的基础综合测试圆的基础综合测试十三十三 圆的终极综合测试圆的终极综
2、合测试一圆的定义及相关概念一圆的定义及相关概念【考点速览】考点考点 1 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点考点 2 2：-第 2 页确定圆的条件；圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点考点 3 3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的
3、封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点考点 4 4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。考点考点 5 5点和圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点与圆的位置关系有三种。点在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆内dr；【典型例题】例 1在ABC中，ACB=90,AC=
4、2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。例 2已知，如图，CD 是直径，84EOD，AE 交O 于 B，且 AB=OC，求A 的度数。例 3O 平面内一点 P 和O 上一点的距离最小为 3cm，最大为 8cm，则这圆的半径是_cm。例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 和 CD 的距离是多少？例 5如图,O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6cm，EB=2cm,30CEA，求 CD 的长例 6.已知：O 的半径 0A=1，弦 AB、AC 的
5、长分别为3,2，求BAC的度数ABDCOEMABCDOEBAC-第 3 页 A C B D【考点速练】1.下列命题中，正确的是（）A三点确定一个圆B任何一个三角形有且仅有一个外接圆C任何一个四边形都有一个外接圆D等腰三角形的外心一定在它的外部2如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D钝角三角形3圆的内接三角形的个数为（）A1 个B2C3 个D无数个4三角形的外接圆的个数为（）A1 个B2C3 个D无数个5下列说法中，正确的个数为（）任意一点可以确定一个圆；任意两点可以确定一个圆；任意三点可以确定一个圆；经过任一点可以作圆；经过任意两点
6、一定有圆A1 个B2 个C3 个D4 个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是()A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知O 的半径为 6cm,P 为线段 OA 的中点,若点 P 在O 上,则 OA 的长()A.等于 6cmB.等于 12cm；C.小于 6cmD.大于 12cm8.如图,O 的直径为 10cm,弦 AB 为 8cm,P 是弦 AB 上一点,若 OP 的长为整数,则满足条件的点 P 有()A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个9.如图,A 是半径为 5 的O 内一点,且 OA=3,过点 A 且长小于 8 的弦有()A.
7、0 条B.1 条C.2 条D.4 条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABC中，90A，AB=3cm，AC=4cm，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧交 CB 的延长线于点 D，求 CD 的长12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度 AB16cm，拱高 CD4cm，那么拱形的半径是m。13、ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半CBDA-第 4 页 O P径是。14、如图，点 P 是半径为 5 的O 内一点，且 OP3，在过点 P 的所有的O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为。1
8、5.思考题如图所示,已知O 的半径为 10cm，P 是直径 AB 上一点,弦CD过点 P,CD=16cm,过点 A 和 B 分别向 CD 引垂线 AE 和 BF,求AE-BF 的值.【作业】日期姓名完成时间成绩1、在半径为 2 的圆中，弦长等于 23的弦的弦心距为_2.ABC的三个顶点在O上,且AB=AC=2,BAC=120,则O的半径=_,BC=_.3 P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_4.如图,A,B,C三点在O上,且AB是O的直径,半径ODAC,垂足为F,若A=30,OF=3,则OA=_,AC=_,BC=_.5.如图5,为直径是
9、52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=_6.如图6,O中弦ABAC,D,E分别是AB,AC的中点.若AB=AC,则四边形OEAD是形;若OD=3,半径5r,则AB=_cm,AC=_cm7.如图 7，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=8cm，EB=4cm，CEA=30，则 CD的长为_(5)(6)(7)二垂径定理及其推论二垂径定理及其推论【考点速览】考点考点 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论 1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条
10、孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论 1 中的三条可概括为：ABDCEPFOFADCBO-第 5 页1经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例 1如图 AB、CD 是O 的弦，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且CNMAMN求证：AB=CD例 2 已知，不过圆心的直线l交O 于 C、D 两点，AB 是O 的直径，AEl于 E，BFl于F。求证：CE=DF例 3如图所示，O 的直径 AB15cm，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB
11、 上滑动（点 C 与点 A，点 D 与 B 不重合），且 CECD 交 AB 于 E，DFCD 交 AB 于 F。（1）求证：AEBF（2）在动弦 CD 滑动的过程中，四边形 CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例 4如图，在O 内，弦 CD 与直径 AB 交成045角，若弦 CD 交直径 AB 于点 P，且O半径为 1，试问：22PDPC 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1.已知O 的半径为 2cm，弦 AB 长cm32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）.A1cmB.2cmC.cm2D.cm3cm3 如
12、图 1，O 的半径为 6cm，AB、CD 为两弦，且 ABCD，垂足为点 E，若 CE=3cm，DE=7cm，则 AB 的长为（）A10cmB.8cmC.cm24D.cm284.有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（）A0 个B.1 个C.2 个D.3 个5如图 2，同心圆中，大圆的弦交 AB 于 C、D 若 AB=4，CD=2，圆心 O 到 AB 的距离等于 1，那么两个同心圆的半径之比为（）A3:2B.5:2C.5:2D.5:46.等腰三角形腰长为 4cm,底角为30,则外接圆直径为（）A2cmB.4cmC.6cm
13、D.8cmOABCDEFmAECBABCDPO。.ABDCONM-第 6 页ABDCO8007.如图,O 的直径为 10,弦 AB=8,P 是弦 AB 上的一个动点,那么 OP 长的取值范围是.8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度 AB=16cm,拱高 CD=4cm,那么拱形的半径是_ _m.9.如图，直径为 1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为 800mm，求水的最大深度CD10.如图，已知ABC 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，以 C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边 AB 于 D，则 AD 的长为。11.已知:如图,在O 中,弦 AB 的长是半径
14、OA 的3倍,C 为弧 AB 的中点,AB、OC 相交于点 M.试判断四边形 OACB 的形状,并说明理由.12.如图所示，在O 中，弦 ABAC，弦 BDBA，AC、BD 交直径 MN 于 E、F.求证：ME=NF.13.（思考题）如图，1o与2o交于点 A，B，过 A 的直线分别交1o，2o于 M,N，C为 MN 的中点，P 为21OO的中点，求证：PA=PC.【作业】日期姓名完成时间成绩1.已知O 的直径 AB=10cm，弦 CDAB，垂足为 M。且 OM=3cm，则 CD=.2 D是半径为5cm的O内的一点，且D0=3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为 2c
15、m，圆中一条弦长为32cm，则此弦所对应弓形的弓高是.4.已知O 的弦 AB=2cm,圆心到 AB 的距离为 n,则O 的半径 R=，O 的周长为.O 的面积为.5在O 中，弦 AB=10cm，C 为劣孤AB的中点，OC 交 AB 于 D，CD=1cm，则O 的半径是.6O 中，AB、CD 是弦，且 ABCD，且 AB=8cm，CD=6cm，O 的半径为 5cm，连接 AD、BC，则梯形 ABCD 的面积等于.7如图，O 的半径为 4cm，弦 AB、CD 交于 E 点，AC=BC，OFCD 于 F，OF=2cm，则BED=.8已知O 的半径为 10cm，弦 MNEF，且 MN=12cm，EF=
16、16cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为.三圆周角与圆心角三圆周角与圆心角ABCD?D?C?B?A?M?C?B?A?OA OCDB图 2OABDCEFMN1OAB2OMNCPAEFBCDO-第 7 页【考点速览】【考点速览】考点考点 1 1圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg:判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg:判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点考点 2 2定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg:如下三图，请证明。考点 34.
17、4.推论：推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形经典例题经典例题例 1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有。例 2：如图，A 是O 的圆周角，且A35,则OBC=_.例 3：如图，圆心角AOB=100，则ACB=例：如图，AB是O 的直径，点CDE，都在O 上，若CDE，则AB例 5：如 图2，O的直 径CD过弦EF的中点G，40EOD，则DCF例 6：已知：如图，AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_._ D_ C_ B_ A_ O
18、BOCAOABC（例）ABCDEOEFCDGO例BOCA-第 8 页例 7：已知O 中，30C，2cmAB，则O 的半径为cm例 8 已知：如图所示，ABC是O 的内接三角形，O 的直径 BD 交 AC 于 E，AFBD于 F，延长 AF 交 BC 于 G求证：BCBGAB2考点练习考点练习1.如图，已知ACB是O 的圆周角，50ACB，则圆心角AOB是（）A40B.50C.80D.1002.已知：如图，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是劣弧 CD上不同于点 C 的任意一点，则BPC 的度数是（）A45B60C75D903.ABC 中，A30，B60，AC6，则ABC 外接圆的半
19、径为（）A32B33C3D34.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（）A30B150C30或 150D605.如图所示，AB 是O 的直径，ADDE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与BCE 相等的角有（）A2 个B3 个C4 个D5 个6.下列命题中，正确的是（）顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等ABCD7.如图，O 是等边三角形ABC的外接圆，O 的半径为 2，则等边三角形ABC的边长为（）A3B5C2 3D2 58.如图，ABC内接于O，BAC=120，AB
20、=AC，BD为 O的直径，AD=6，则BC。9.如图 9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台。10.如图，量角器外沿上有 A、B 两点，它们的读数分别是 70、40，则1 的度数为。11.如图,AB 是O 的直径，点 C 在O 上，BAC=30，点 P 在线段 OB 上运动.设ACP=x，则 x 的取值范围是.BEDACOABCO（第 9 题）A65OABOCxPAOBDCGF1E-第 9 页12.如图所示，小华从一个圆形场地的 A 点出发，沿着与半径 OA 夹角为的方向行走，走到场地边缘 B 后，再
21、沿着与半径 OB 夹角为的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧 AB 上，此时AOE56，则的度数是.13.如图，已知 A、B、C、D 是O 上的四个点，ABBC，BD 交 AC 于点 E，连接 CD、AD（1）求证：DB 平分ADC；（2）若 BE3，ED6，求 AB 的长14.如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E连接 AC、OC、BC（1）求证：ACO=BCD（2）若 EB=8cm，CD=24cm，求O 的直径15.如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5，CB12，AD 是ABC 的角平分线，过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB
22、 交于点 E，连接 DE。（1）求证：ACAE；（2）求ACD 外接圆的半径。16.已知：如图等边ABC内接于O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结CD（1）若AP过圆心O，如图，请你判断PDC是什么三角形？并说明理由（2）若AP不过圆心O，如图，PDC又是什么三角形？为什么？四四圆心角、弧、弦、弦心距圆心角、弧、弦、弦心距关系定理关系定理【考点速览】【考点速览】圆心角圆心角,弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦
23、,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例 1如图所示，点 O 是EPF 的平分线上一点，以 O 为圆心的圆和角的两边分别交于A、B 和 C、D，求证：AB=CD例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。例 3如图所示，在ABC中，A=72，O 截ABC的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.EDBAOCACBDEAOCDPB图AOCDPB图ABEFOPC12DOA-第 10 页例 4如图，O 的弦 CB、ED 的延长线交于点 A，且 BC=D
24、E求证：AC=AE例 5如图所示，已知在O 中，弦 AB=CB，ABC=120，ODAB 于 D，OEBC 于 E求证：ODE是等边三角形综合练习综合练习一、选择题1下列说法中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、相等的弧所对的圆心角相等C、相等的弦所对的弦心距相等D、弦心距相等，则弦相等2如图，在O 中，AB 的度数是50，OBC=40，那么OAC 等于（）A、15B、20C、25D、303 P 为O 内一点，已知 OP=1cm，O 的半径 r=2cm，则过 P 点弦中，最短的弦长为（）A、1cmB、3cmC、32cmD、4cm4在O 中，AB 与 CD 为两平行弦，ABCD，AB、C
25、D 所对圆心角分别为 60,120，若O 的半径为 6，则 AB、CD 两弦相距（）A、3B、6C、13 D、3335.如图所示，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 分别交 AB、AC 于点 D、E。（1）试说明ODE 的形状；（2）如图 2，若A=60，ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。6如图，ABC 是等边三角形，O 过点 B，C，且与 BA、CA 的延长线分别交于点 D、E.弦 DFAC，EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G.（1）求证：BEF 是等边三角形；（2）BA=4，CG=2，求 BF 的长.7 已知：如图，AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB
26、分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。【作业】日期姓名完成时间成绩1.如图 1，ABC内接于O，445，ABC则O的半径为（）.A22B4C32D5O图ABCABCODEAOBEDCGFOCAEBDOADEBC-第 11 页如图 3如图 4如图 52.如图 2，在O中，点 C 是 AB 的中点，40A，则BOC等于（）.A40B50C70D803.如图 3，A、B、C、D 是 O上四 点，且 D 是 AB 的中 点，CD 交 OB 于 E，55,100OBCAOB，OEC=度.4.如图 4，已知 AB 是O的直径，C、D 是O上的两点，130D，则BAC的度数是.5.如图 5，A
27、B 是半圆O的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则 AD 的长为cm.6如图所示，在O 中，AB 是直径，COAB，D 是 CO 的中点，DEAB求证:EC=2EA五圆内接四边形五圆内接四边形【考点速览】【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例 1（1）已知圆内接四边形 ABCD 中，A:B:C=2:
28、3:4，求D 的度数（2）已知圆内接四边形 ABCD 中，如图所示，AB、BC、CD、AD 的度数之比为 1:2:3:4,求A、B、C、D 的度数例 2四边形 ABCD 内接于O，点 P 在 CD 的延长线上，且 APBD 求证：ADABBCPD例 3如图所示，ABC是等边三角形，D 是 BC 上任一点求证：DB+DC=DA例4AB是O的直径，弦DEAB，弦AF和DE的延长线交于C，连结DF、EF，求证：FEFDFAFC例 5如图所示，在ABC中，AB=AC，过 A 点的直线与ABC的外接圆交于 E，与 BC的延长线交于 D求证：EDADACAD22【考点速练】1圆内接四边形的对角，并且任何一
29、个外角都它的内对角如图 1如图 2ABODECADCBOPABCDOABCDOABCDEO-第 12 页2 已知四边形 ABCD 内接于O，则A:B:C:D=3:2:7，且最大的内角为3 如右图，已知四边形 ABCD 内接于O，AECD 于 E，若ABC=130，则DAE=4已知圆内接四边形 ABCD 的A、B、C 的外角度数比为 2:3:4，则A=，B=5圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是6若 E 是圆内接四边形 ABCD 的边 BA 的延长线上一点，BD=CD，EAD=55，则BDC=7 四边形 ABCD 内接于圆，A、C 的度数之比是 5:4，B 比D 大30，则A=。D=8圆内接四边
30、形 ABCD 中，A、B、C 的度数比是 2：3：6,则D 的度数是（）A、5.67B、135C、5.112D、1109如图 1 所示，圆的内接四边形 ABCD，DA、CB 延长线交于 P，AC 和 BD 交于 Q，则图中相似三角形有（）A、1 对B、2 对C、3 对D、4 对10如果圆的半径是 15，那么它的内接正方形的边长等于（）A、215B、315C、2315D、221511下列四边形中，有外接圆的四边形是（）A、有一个角为60的平行四边形B、菱形C、矩形D、直角梯形12 如图 2，四边形 ABCD 是圆的内接四边形，如果 BCD 的度数为240，那么C 等于（）A、120B、80C、6
31、0D、4013若四边形 ABCD 内接于圆，且A:B:C:D=5:m:4:n，则（）A、5m=4nB、4m=5nC、m+n=9D、m=n=18014如图，已知O 的半径为 2，弦 AB 的长为32，点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上任一点（点 C、D 均不与 A、B 重合）.(1)求ACB；(2)求三角形 ABD 的最大面积15如图所示，已知ABC 内接于O，AB=AC，点 D 为劣弧 BC 上一动点（不与 B、A、C 重合），直线 AD 与 BC 交于 E 点，连结 BD、DC.（1）求证:BDDC=DEDA；（2）若将 D 改为优弧 BAC 上一动点（不与 B、A、C
32、重合），其他条件均不改变，ABCEDOADCBPQ图 1ADBCO图 2ABCOD-第 13 页则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.【作业】日期姓名完成时间成绩1过四边形 ABCD 顶点 A、B、C 作一个圆，若B+D180，则 D 点在（）A、圆上B、圆内C、圆外D、不能确定2如图 1，若 AC=AD，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（）A、5 对B、6 对C、7 对D、8 对3如图 2，已知ABC的外角BCD 的平分线 CE 交ABC的外接圆于 E，则ABE是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形4如图 3，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AE 是
33、O 的弦，且 AECD，若B=120，则DAE 为（）A、60B、30C、50D、705已知：如图所示，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 直径，若DAC=60，BC=337，AD=5求 AC 的长六会用切线，能证切线六会用切线，能证切线考点速览：考点速览：考点考点 1直线与圆的位置关系图形公共点个数d 与 r 的关系直线与圆的位置关系0dr相离1d=r相切2dPA），若PT 4，PA 2，则cosBPT等于（）A.45B.12C.18D.344.如图 3，AB 为O 的弦，且 ABOP 于 D，PA 为圆 O 的切线，A 为切点，ABcmODcm83，则 PA 等于（）A.253cmB.
34、203cmC.5cmD.8cm5.如图 4 所示，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，CDAB于 D，CD1，E 是AC上任意一点，且EDCFDC，以下结论正确的是（）（1）ECCF，（2）E 与F 互补，（3）DEDF 是变量，（4）DEDF1，（5）FECDA.（1）（2）（3）B.（3）（5）C.（2）（4）D.（4）（5）二.填空题。1.在直径为 2 的圆外有一点 P 到圆的最近点的距离为 3，则从 P点所引圆的切线长是_。2.如图 5 所示，AD 切O 于 D 点，ABC 为割线，AD24，AB18，A90，则O 半径为_。3.已知在Rt ABC中，C90，D 是 AC 上一点，以
35、 CD 为直-第 24 页径作O 切 AB 边于 E 点，AE2，AD1，则SABC_。4.PA 切圆于 A 点，PBC 是过圆心的割线，交圆于 B、C 两点，PAcm 4 2，PBcm 2，则圆的半径等于_cm。三.解答题及证明题。1.如图所示，已知 AD 是O 的切线，D 是切点，ABC 是O 的割线，DEAO 于 E。求证：AEBACO2.已知：如图所示，AB 为半圆的直径，C、D 为半圆弧上的两点，若CDBD，DC与 BA 的延长线交于 P，若 AP：CP3：4，SADB 16 5，求 AP 的长。3.如图所示，AB 切O 于 A，AC 经过圆心 O 交圆于点 D，BC 交圆于点 M、
36、N，且使MBMNNC，若 AB2，求O 的半径。4.如图所示，已知O 中弦 AB/CD，BG 切O 于 B，交 CD 延长线于点 G，P 是CD上一点，PA、PB 分别交 CD 于 E、F 两点。求证：EFFGFDFC5.如图所示，AB 是O 的直径，M 是 AB 上一点，MPAB 交O 于 N，PD 是O 的割线交O 于 C、D。求证：PCPDMAMBPM2十十 圆与圆位置的关圆与圆位置的关系系考点速览：考点速览：1 1 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为设两圆半径分别为 R R和和 r r，圆，圆心距为心距为 d d）外离外切相交内切内含图形公共点0 个1 个2 个1 个0
37、 个d、r、R 的关dRrdRrRrdRrdRrdRrO1O2O1O2O1O2O1O2O1O2-第 25 页系外公切线2 条2 条2 条1 条0 条内公切线2 条1 条0 条0 条0 条2 2有关性质：有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3 3相交两圆的性质相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4 4相切两圆的性质相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题：经典例题：例 1、如
38、图，已知1O与2O相交于 A、B 两点，P 是1O上一点，PB 的延长线交2O于点 C，PA 交2O于点 D，CD 的延长线交1O于为 N.（1）过点 A 作 AE/CN 交1O于点 E.求证：PA=PE.（2）连接 PN，若 PB=4，BC=2，求 PN 的长.例2如图，在ABC中，22,90ACABBAC，圆A的半径为1，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设AOCxBO,的面积为y.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）以点O为圆心，BO长为半径作O，当圆O与A相切时，求AOC的面积.经典得不能再经典的练习经典得不能再经典的练习一选择1.已知O1与O2的半径分别为
39、 5cm 和 3cm，圆心距 020=7cm，则两圆的位置关系为A外离B外切C相交D内切2.已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）A01dB5d C01d或5d D01d 或5d 3.大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置关系为（）A外离B外切相交D内含外公切线内公切线P2OABCEN1ODOBCA-第 26 页4.右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（）A相交B外离C内切D内含5.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm，圆心距为 6cm，则这两圆的位置关系是（）A内切B相交C外切D外离6.外切两圆的圆心距是 7，其中一
40、圆的半径是 4，则另一圆的半径是A11B7C4D37.已知O1和O2的半径分别为 1 和 4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是8.若两圆的半径分别是 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm，则这两个圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.外离9.若1O与2O相切，且125OO，1O的半径12r，则2O的半径2r是（）A 3B 5C 7D 3 或 710.已知1O与2O外切，它们的半径分别为 2 和 3，则圆心距12OO的长是（）A12OO=1B12OO5C12OOD12OO11.已知两圆的半径分别为 3cm 和 2cm，圆心距为 5cm，则两圆的位
41、置关系是A外离B外切C相交D内切12.如图，把O1向右平移 8 个单位长度得O2，两圆相交于 A.B，且 O1AO2A，则图中阴影部分的面积是A.4-8B.8-16C.16-16D.16-3213若两圆的直径分别是 2cm 和 10cm，圆心距为 8cm，则这两个圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.外离14.如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（）A4cmB5cmC6cmD8cm15.如图，两同心圆的圆心为 O，大圆的弦 AB 切小圆于 P，两圆的半径分别为 6，3，则图中阴影部分的面积是（）A9 3B6 3C9 33D6 3216若
42、相交两圆的半径分别为 1 和 2，则此两圆的圆心距可能是（）A1B2C3D417.图中圆与圆之间不同的位置关系有（）B31024 5D31024 5A31024 5C31024 5ABOCPOBA-第 27 页A2 种B3 种C4 种D5 种18已知1O的半径为 3cm，2O的半径为 4cm，两圆的圆心距12OO为 7cm，则1O与2O的位置关系是二填空19.已知两圆的半径分别是 2 和 3，圆心距为 6，那么这两圆的位置关系是.20.已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两个圆的圆心距是_21.已知1O的半径为 3cm，2O的半径为 4cm，两圆的圆心距12OO为 7
43、cm，则1O与2O的位置关系是22.已知1O和2O的半径分别是一元二次方程120 xx的两根，且122OO ，则1O和2O的位置关系是23.如图，A，B的半径分别为 1cm，2cm，圆心距AB为 5cm如果A由图示位置沿直线AB向右平移 3cm，则此时该圆与B的位置关系是_24.已知相切两圆的半径分别为cm5和cm4，这两个圆的圆心距是25.已知O1和O2的半径分别为3cm和2cm，且121cmOO，则O1和O2的位置关系为26已知ABC的三边分别是abc，两圆的半径12rarb，圆心距dc，则这两个圆的位置关系是27 如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心.EC为半径的半圆与以
44、A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为OyxCDBAO1O260（第 28 题）l三解答三解答DCEBA（27）-第 28 页28.如图，在平面直角坐标系中，点1O的坐标为(4 0)，以点1O为圆心，8 为半径的圆与x轴交于AB，两点，过A作直线l与x轴负方向相交成 60的角，且交y轴于C点，以点2(135)O，为圆心的圆与x轴相切于点D（1）求直线l的解析式；（2）将2O以每秒 1 个单位的速度沿x轴向左平移，当2O第一次与1O外切时，求2O平移的时间强化训练：强化训练：1已知两个同心圆如图所示，其中大圆的半径为 7，小圆半径为 5，大圆的弦 AD 与小圆交于点 B、C，则 A
45、BBD 的值是。2如图，两个同心圆，点 A 在大圆上，ABC 是小圆的割线，若 AB AC=8，则圆环的面积是（）。A4B8C12D163若两圆的半径分别为 R 和 r，其圆心距为5，且2282170RrRr，则两圆的位置关系是。4两圆的半径分别为 4 和 5，圆心距为 5，则这两圆的公切线共有条。5如图，O1与相交于点 A、B，且 AO1，AO2分别是两圆的切线，A 是切点。若O1的半径13r，O2的半径2r 4，则弦 AB=。6已知O1与O2的半径长分别为方程29140 xx的两根。若圆心距 O1O2的长为 5，则O1与O2的位置关系为。7如图，两圆相交于 A、B 两点，AC、AD 分别为
46、两圆的直径，若连结 BC、BD，则CBD 是（）。A钝角B平角C锐角D直角8已知两圆内切，一个圆的半径是 3，圆心距是 2，那么另一个圆的半径是（）。A1B5C2 或 3D1 或 59已知O 和O外切于点 C，它们的半径分别为 R、r，AB 为两圆的外公切线，切点为 A、B 则公切线的长 AB 等于（）。ABCDOEACDOBO2O1ABABCD-第 29 页A4 RrBRrC2 RrD2Rr10已知O1和O2的半径是方程2560 xx的两根，两圆心的坐标分别为（2，1），（1，3），则两圆的位置关系是（）。A相交B外离C外切D内切十一十一.圆的有关计算圆的有关计算考点速览：考点速览：【例题经
47、典例题经典】有关弧长公式的应用例例 1如图，RtABC 的斜边 AB=35，AC=21，点 O 在 AB 边上，OB=20，一个以 O 为圆心的圆，分别切两直角边边 BC、AC 于 D、E 两点，求弧 DE 的长度有关阴影部分面积的求法有关阴影部分面积的求法例例 2 2如图所示，等腰直角三角形ABC的斜边4AB，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E求圆中阴影部分的面积求曲面上最短距离求曲面上最短距离例例 3如图，底面半径为 1，母线长为 4 的圆锥，一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它爬行的最短路线长是（）A2B42C43D5求求圆锥的侧面积圆锥的侧面积例
48、例 4如图 10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径 AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积（结果保留根号）方案设计方案设计例例 5.5.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案的图中，圆与正COABDE-第 30 页方形相邻两边及扇形的弧均相切方案
49、一中扇形的弧与正方形的两边相切）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由【考点考点速练速练】一、一、基础训练基础训练1已知扇形的圆心角为 120，半径为 2cm，则扇形的弧长是_cm，扇形的面积是_cm22如图 1，两个同心圆中，大圆的半径 OA=4cm，AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是_cm2（1）（2）（3）（4）3如图 2，圆锥的底面半径为 6cm，高为 8cm，那么这个圆锥的侧面积是_cm24如图 3，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为 r，扇形的半径为
50、 R，扇形的圆心角等于 120，则 r 与 R 之间的关系是（）AR=2rBR=rCR=3rDR=4r5如图 4，圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，则它的侧面积是（）A60cm2B45cm2C30cm2D15cm26已知圆锥侧面展开图的圆心角为 90，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A1：2B2：1C1：4D4：17 用半径为 30cm，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）A10cmB30cmC45cmD300cm8将直径为 64cm 的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（）A815cmB8