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1、关于求轨迹的几种求关于求轨迹的几种求法法第1页，讲稿共56张，创作于星期二第2页，讲稿共56张，创作于星期二三、定义法三、定义法分析题设几何条件，根据分析题设几何条件，根据所学所学曲线的定义，判断曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程程.第3页，讲稿共56张，创作于星期二椭圆的定义：椭圆的定义：双曲线的定义：双曲线的定义：抛物线的定义：抛物线的定义：圆的定义：圆的定义：|PC|=r(r0)|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(0 2a|F1F2|)|PF|=dP-l(F l)第4页，讲稿共56张
2、，创作于星期二由题设条件，根据圆锥曲线的定义确定曲线由题设条件，根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状后，直接写出曲线的方程的形状后，直接写出曲线的方程一、定义法求轨迹方程的特征一、定义法求轨迹方程的特征二、二、“定义法定义法”求轨迹求轨迹方程的一般步骤方程的一般步骤一一 建建轴轴设设点点二二 定定型型三三 定定 方方 程程四四 定定 范范 围围第5页，讲稿共56张，创作于星期二：定义法：定义法第6页，讲稿共56张，创作于星期二 例例2已知已知B，C是两个定点，是两个定点，|BC|8，且且ABC的周长等于的周长等于18，求这个三角形的顶点求这个三角形的顶点A的轨迹方程的轨迹方程第7页，讲稿共56张，
3、创作于星期二练习练习：知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程答：答：14已第8页，讲稿共56张，创作于星期二ACOyxO1O2M练习：练习：已知两圆已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆，动圆在圆C1内部且和圆内部且和圆C1内切，和圆内切，和圆C2外切，外切，求动圆圆心的轨迹方程求动圆圆心的轨迹方程第9页，讲稿共56张，创作于星期二ABSSABSAB探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动圆圆心到两定点的距离的和与差不放。C第10页，讲稿共56张，创作于星期二CP例3：变式2：169相相rr13-rM第11页，讲稿共56张，创作于星期二1
4、1、如图，圆、如图，圆C C：(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=9=9内一点内一点A(1A(1，0)0)，与圆，与圆 上一上一动点动点Q Q的连线的连线AQAQ的垂直平分线交的垂直平分线交CQCQ于于P P当当Q Q在圆在圆C C上运上运动一周时，则动点动一周时，则动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为_Cy xAQP问题问题2 2第12页，讲稿共56张，创作于星期二OxyQ QPF1F2问题问题2 22 2、已知椭圆的焦点是、已知椭圆的焦点是F F1 1、F F2 2，P P是椭圆上的一个是椭圆上的一个动点，如果延长动点，如果延长F F1 1P P到到Q Q，使得，使得|PQ|=|PF|
5、PQ|=|PF2 2|，那么动点，那么动点Q Q的轨迹是的轨迹是 （）(A)(A)圆圆 (B)(B)椭圆椭圆 (C)(C)双曲线的一支双曲线的一支 (D)(D)抛物线抛物线第13页，讲稿共56张，创作于星期二【探究【探究1】如图】如图,已知线段已知线段AB=4,动圆动圆O与线段与线段AB切于点切于点C,且且AC-BC=2 ,过点过点A B分别作分别作 O的切线的切线,两切线相交于两切线相交于P,且且P O均在均在AB同侧同侧,建立适当坐标系建立适当坐标系,当当O位置变化时位置变化时,求动点求动点P的轨迹的轨迹E的方程的方程.第14页，讲稿共56张，创作于星期二【解析】以【解析】以AB的中点的中
6、点O为坐标原点为坐标原点,以以AB所在直线为所在直线为x轴轴建立直角坐标系建立直角坐标系(图略图略),则则A(-2,0),B(2,0).由切线长定理可得由切线长定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2 ).第15页，讲稿共56张，创作于星期二想一想想一想:问题问题1 1：一动圆与圆：一动圆与圆O O1 1：(x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=4=4外切，同时外切，同时与圆与圆O O2 2：(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=9=9内切，求动圆圆心的轨迹内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么类型的曲线方程，并说明它是什么类型的曲线在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件在
7、两定圆不动的前提下，适当改变其他条件使动圆圆心形成新的轨迹？使动圆圆心形成新的轨迹？第16页，讲稿共56张，创作于星期二已知圆已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0），），B（2，0），），分别求出满足下列条件的动点分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程.（1）PAB的周长为的周长为10;（2）圆）圆P与圆与圆A外切，且点外切，且点B在动圆在动圆P上（上（P为动圆圆心）为动圆圆心）;（3）圆）圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切（相切（P为动圆圆心）为动圆圆心）.【例题例题3】第17页，讲稿共56张，创作于星期二【解析解析】(1)(1)根据题意，知根据题意，
8、知|PA|+|PB|+|AB|=10|PA|+|PB|+|AB|=10，即即|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=64=|AB|4=|AB|，故，故P P点的轨迹是点的轨迹是椭圆椭圆，且且2a=62a=6，2c=42c=4，即，即a=3a=3，c=2c=2，b=b=，因此其方程为因此其方程为 （y0y0）.（2 2）设圆）设圆P P的半径为的半径为r r，则，则|PA|=r+1|PA|=r+1，|PB|=r|PB|=r，因此因此|PA|-|PB|=1.|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，P P点的轨迹为点的轨迹为双曲线的右支双曲线的右支，且且2a=12a=1，2c=
9、42c=4，即，即a=a=,c=2,b=,c=2,b=，因此其方程为因此其方程为第18页，讲稿共56张，创作于星期二（3）依题意，知动点）依题意，知动点P到定点到定点A的距离等于的距离等于 到定直线到定直线x=2的距离，故其轨迹为的距离，故其轨迹为抛物线抛物线，且开口向左，且开口向左，p=4.方程为方程为y2=-8x.第19页，讲稿共56张，创作于星期二1.动点动点P到定点到定点(-1，0)的距离与到点的距离与到点(1，0)距离之差为距离之差为2，则则P点的轨迹方程是点的轨迹方程是_.2.3.【练习练习3】第20页，讲稿共56张，创作于星期二【练习练习3】第第3题题第21页，讲稿共56张，创作
10、于星期二【练习练习3】第第3题题-变式变式16第22页，讲稿共56张，创作于星期二16【练习练习3】第第3题题-变式变式第23页，讲稿共56张，创作于星期二8.(能力题能力题,中中)设设Q是圆是圆C:(x+1)2+y2=16上的动点上的动点,另有另有A(1,0),线段线段AQ的的垂直平分线交直线垂直平分线交直线CQ于点于点P,当点当点Q在圆上运动时在圆上运动时,点点P的轨迹方的轨迹方程是程是_.第24页，讲稿共56张，创作于星期二解析解析:设设P(x,y),点点P是线段是线段AQ垂直平分线上的一点垂直平分线上的一点,|PA|=|PQ|,|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=42,点点P的轨迹
11、是以点的轨迹是以点A C为焦点的椭圆为焦点的椭圆,且且a=2,c=1,b2=3,点点P的轨迹方程为的轨迹方程为 .第25页，讲稿共56张，创作于星期二方法：利用双曲线的定义求轨迹方程第26页，讲稿共56张，创作于星期二第27页，讲稿共56张，创作于星期二题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点何知识推出等量关系，列出含动点P（x,y）的解析式的解析式.一、直接法一、直接法第28页，讲稿共56张，创作于星期二例例3如图，设点如图，设点A、B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0)，(5,0).直线直线AM,BM相交
12、于点相交于点M，且它们的斜率之积为，且它们的斜率之积为 ,求求M的轨迹的轨迹方程方程.ABMyOx方法方法3：直接法：直接法第29页，讲稿共56张，创作于星期二第30页，讲稿共56张，创作于星期二第31页，讲稿共56张，创作于星期二【例题例题1 1】它它表表示示何何种种曲曲线线呢呢？第32页，讲稿共56张，创作于星期二2.与圆与圆x2+y2-4x=0外切，且与外切，且与y轴相切的动圆圆心轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是的轨迹方程是_.y2=8x(x0)或或y=0(x0)1.已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为距离的比为 1:2的点的轨迹的点的轨迹,则此
13、曲线的方程是则此曲线的方程是_.PABxyo解：设动圆圆心为解：设动圆圆心为P(x,y).由题，得由题，得即即 -4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹方程为得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x0)【练习练习】第33页，讲稿共56张，创作于星期二9.(经典题经典题,中中)ABC的顶点的顶点B(-1,0),C(2,0)若若 ACB=2 ABC,则顶点则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为_.第34页，讲稿共56张，创作于星期二第35页，讲稿共56张，创作于星期二第36页，讲稿共56张，创作于星期二二、待定系数法二、待定系数法题目已知曲线类型题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程正确设出曲线的标准方程,然
14、然后结合问题的条件后结合问题的条件,建立参数建立参数a,b,c,p 满足的等式满足的等式,求求得其值得其值,再代入所设方程再代入所设方程.第37页，讲稿共56张，创作于星期二1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点轴，且经过点P（-6，-3），则抛物线方程为），则抛物线方程为_【练习练习2】第38页，讲稿共56张，创作于星期二第39页，讲稿共56张，创作于星期二四、代入法（相关点法）四、代入法（相关点法）当所求动点当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点上的动点Q的运动时，可利用的运动时，可利用代入法代入法，其
15、关键是找出，其关键是找出两动点的坐标的关系。两动点的坐标的关系。设所求动点设所求动点 P坐标坐标(x,y)，再设与，再设与P相关的已知点坐相关的已知点坐标为标为Q(x0,y0)，找出，找出P.Q之间的坐标关系，并表示为之间的坐标关系，并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点，根据点Q的运动规律得出关于的运动规律得出关于x0,y0的的关系式关系式,把把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式中代入关系式中,即得所求轨迹方程即得所求轨迹方程.第40页，讲稿共56张，创作于星期二讲授新课讲授新课例例1.yx第41页，讲稿共56张，创作于星期二例例2、如图，在圆、如图，在圆 上任取一点上任取一点
16、P，过点，过点P作作x轴的垂线段轴的垂线段PD，D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，在圆上运动时，线段线段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？分析：点分析：点P在圆在圆 上运动，点上运动，点P的运动引的运动引 起点起点M运动。运动。解：设点解：设点M的坐标为的坐标为(x,y)，点，点P的坐标为的坐标为(x0,y0)，则，则 x=x0,y=y0/2.因为点因为点P(x0,y0)在圆在圆 上，所以上，所以把把x0=x,y0=2y代入方程代入方程(1)，得，得即即 所以点所以点M的轨迹是一个椭圆。的轨迹是一个椭圆。第42页，讲稿共56张，创作于星期二此法实际上是利用中
17、间变此法实际上是利用中间变量量x0,y0求轨迹方程求轨迹方程【例题例题4】第43页，讲稿共56张，创作于星期二【练习练习4】第44页，讲稿共56张，创作于星期二第45页，讲稿共56张，创作于星期二五、参数法五、参数法如果轨迹动点如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、参数法中常选角、斜率等为参数斜率等为参数.第46页，讲稿共56张，创作于星期二【例题例题5】解：解：设动直线方程为：设动直线方
18、程为：y=x+b，和椭圆方程联立得：和椭圆方程联立得：x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0设中点设中点M（x，y），），则则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与与联立消去参数联立消去参数b，得：得：x+4y-2=0（椭圆内的一段）（椭圆内的一段）倾斜角为倾斜角为45450 0的直线与椭圆的直线与椭圆 交交于于A A、B B两点，两点，求求ABAB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。xyoAB第47页，讲稿共56张，创作于星期二【练习练习5】1.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭圆 相交，相交，求求弦中点的轨迹方程。弦中点的轨迹方程。2.如如图图,过过点点A
19、(-3,0)的的直直线线l与与 曲曲 线线C：x2+2y2=4交交于于A,B两两点点.作作平平行行四四边边形形OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。AoxyBCPoxyMA第48页，讲稿共56张，创作于星期二【练习练习5】解：设解：设OA斜率为斜率为k（kR），），由由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（得：（1+4k2）x2-4x=0设中点设中点M（x，y），则），则 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2）k=y/x 消参数得：消参数得：x2+4y2-2x=01.1.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭圆 相交，相交，求求弦中点的轨弦中点的轨迹方程。迹方程。oxyMA第49页，讲稿共
20、56张，创作于星期二2.如如图图,过过点点A(-3,0)的的直直线线l与与曲曲线线C：x2+2y2=4交交于于A,B两两点点.作平行四边形作平行四边形OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。AoxyBCPG解法一解法一：利用韦达定理解法二解法二：点差法 连PO交CB于G.设P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=解得，x0=y0=x=y=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.?【练习练习5】
21、第50页，讲稿共56张，创作于星期二第51页，讲稿共56张，创作于星期二第52页，讲稿共56张，创作于星期二第53页，讲稿共56张，创作于星期二当直线当直线l的斜率不存在时的斜率不存在时,A B的中点坐标为原点的中点坐标为原点(0,0),也满足方程也满足方程,所以点所以点P的轨迹方程为的轨迹方程为4x2+y2-y=0.第54页，讲稿共56张，创作于星期二直接法直接法当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可可用用直接法直接法.待定系数法待定系数法已知曲线的类型和位置已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程可设出曲线方程,利用利用待定待定系数法系数法求解
22、求解.定义法定义法分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.代入法代入法(相关点法相关点法)当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时动点的运动时,可利用可利用代入法代入法,其关键是找出两动点其关键是找出两动点的坐标的关系的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件这要充分利用题中的几何条件.参数法参数法如果轨迹动点如果轨迹动点P P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法参数法中常选中常选角、斜率等为参数角、斜率等为参数.总结总结一、求动点的轨迹方程的常用方法一、求动点的轨迹方程的常用方法第55页，讲稿共56张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第56页，讲稿共56张，创作于星期二