解三角形大题及答案(14页).doc

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1、-第 1 页解三角形大题及答案-第 2 页1（2013 大纲）设ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,()()abc abcac.(I)求B(II)若31sinsin4AC,求C.2（2013四 川）在ABC中,角,A B C的 对 边 分 别 为,a b c,且232coscossin()sincos()25ABBABBAC.()求cos A的值;()若4 2a,5b,求向量BA在BC方向上的投影.3（2013 山 东）设 ABC的 内 角,A B C所 对 的 边 分 别 为,a b c,且6ac,2b,7cos9B.()求,a c的值;()求sin()AB的值.4（2013

2、湖 北）在ABC中,角A,B,C对 应 的 边 分 别 是a,b,c.已 知cos23cos1ABC.(I)求角A的大小;(II)若ABC的面积5 3S,5b,求sinsinBC的值.5（2013 新课标）ABC在内角,A B C的对边分别为,a b c,已知cossinabCcB.()求B;()若2b,求ABC面积的最大值.6（2013新课标1）如图,在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90(1)若 PB=12,求 PA;(2)若APB=150,求 tanPBA7（2013 江西）在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(

3、conA-sinA)cosB=0.(1)求角 B 的大小;(2)若 a+c=1,求 b 的取值范围33（2013 大纲）设ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,()()abc abcac.-第 3 页(I)求B(II)若31sinsin4AC,求C.【答案】4 （2013 年 高 考 四 川 卷（理）在ABC中,角,A B C的 对 边 分 别 为,a b c,且232coscossin()sincos()25ABBABBAC.()求cos A的值;()若4 2a,5b,求向量BA在BC方向上的投影.【答案】解:由232coscossinsincos25ABBABBAC,得3cos

4、1 cossinsincos5ABBABBB,即3coscossinsin5ABBABB,则3cos5ABB,即3cos5A 由3cos,05AA,得4sin5A,由正弦定理,有sinsinabAB,所以,sin2sin2bABa.由题知ab,则AB,故4B.根据余弦定理,有22234 252 55cc ,-第 4 页解得1c 或7c (舍去).故向量BA在BC方向上的投影为2cos2BAB 35（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c,且6ac,2b,7cos9B.()求,a c的值;()求sin()AB的值.【答案

5、】解:()由余弦定理2222cosbacacB,得222(1cos)bacacB,又6ac,2b,7cos9B,所以9ac,解得3a,3c.()在ABC中,24 2sin1 cos9BB,由正弦定理得sin2 2sin3aBAb,因为ac,所以A为锐角,所以21cos1 sin3AA因此10 2sin()sincoscossin27ABABAB.36（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版）已知函数()4cossin(0)4f xxx的最小正周期为.()求的值;()讨论()f x在区间0,2上的单调性.【答案】解:()2)42sin(2)12cos2(sin2

6、)cos(sincos22xxxxxx122.所以1,2)42sin(2)(xxf()；解得，令时，当82424,4)42(2,0 xxxx所以.288,0)(上单调递减，上单调递增；在在xfy 37（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）已知函数-第 5 页()sin()(0,0)f xx 的周期为,图像的一个对称中心为(,0)4,将函数()f x图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2个单位长度后得到函数()g x的图像.(1)求函数()f x与()g x的解析式;(2)是否存在0(,)6 4x,使得0000(),

7、(),()()f xg xf x g x按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0 x的个数;若不存在,说明理由(3)求实数a与正整数n,使得()()()F xf xag x在(0,)n内恰有 2013 个零点.【答案】解:()由函数()sin()f xx的周期为,0,得2又曲线()yf x的一个对称中心为(,0)4,(0,)故()sin(2)044f,得2,所以()cos2f xx将函数()f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cosyx的图象,再将cosyx的图象向右平移2个单位长度后得到函数()sing xx()当(,)6 4x 时,12sin22x,10cos22

8、x所以sincos2sin cos2xxxx问题转化为方程2cos2sinsin cos2xxxx在(,)6 4 内是否有解设()sinsincos22cos2G xxxxx,(,)6 4x 则()coscos cos22sin2(2sin)G xxxxxx因为(,)6 4x,所以()0G x,()G x在(,)6 4 内单调递增又1()064G,2()042G且函数()G x的图象连续不断,故可知函数()G x在(,)6 4 内存在唯一零点0 x,即存在唯一的0(,)6 4x 满足题意()依题意,()sincos2F xaxx,令()sincos20F xaxx-第 6 页当sin0 x,即

9、()xkkZ时,cos21x,从而()xkkZ不是方程()0F x 的解,所以方程()0F x 等价于关于x的方程cos2sinxax,()xkkZ现研究(0,)(,2)xU时方程解的情况令cos2()sinxh xx,(0,)(,2)xU则问题转化为研究直线ya与曲线()yh x在(0,)(,2)xU的交点情况22cos(2sin1)()sinxxh xx,令()0h x,得2x或32x当x变化时,()h x和()h x变化情况如下表x(0,)22(,)23(,)2323(,2)2()h x00()h xZ1Z当0 x 且x趋近于0时,()h x趋向于当x且x趋近于时,()h x趋向于当x且

10、x趋近于时,()h x趋向于当2x且x趋近于2时,()h x趋向于故当1a 时,直线ya与曲线()yh x在(0,)内有无交点,在(,2)内有2个交点;当1a 时,直线ya与曲线()yh x在(0,)内有2个交点,在(,2)内无交点;当11a 时,直线ya与曲线()yh x在(0,)内有2个交点,在(,2)内有2个交点由函数()h x的周期性,可知当1a 时,直线ya与曲线()yh x在(0,)n内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线ya与曲线()yh x在(0,)n内恰有2013个交点;当1a 时,直 线ya与 曲 线()yh x在(0,)(,2)U内 有3个 交 点,由 周 期性,

11、20133 671,所以671 21342n 综上,当1a ,1342n 时,函数()()()F xf xag x在(0,)n内恰有2013个零点-第 7 页38（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加题）本小题满分 14 分.已知(cos,sin)(cos,sin)ab，,0.(1)若|2ab,求证:ab;(2)设(0,1)c,若abc,求,的值.【答案】解:(1)2|ba2|2ba即22222bbaaba,又1sincos|2222aa,1sincos|2222bb222ba0baba(2)1,0()sinsin,cos(cosba1sin

12、sin0coscos即sin1sincoscos两边分别平方再相加得:sin22121sin21sin061,6539（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版）已知函数()2cos12f xx,xR.()求6f的值;()若3cos5,3,22,求23f.【答案】()2cos2cos2cos1661244f;()22cos 22cos 2cos2sin233124f因为3cos5,3,22,所以4sin5,所以24sin22sincos25,227cos2cossin25 所以23fcos2sin272417252525 .40（2013 年高考湖南卷（理）已知

13、函数2()sin()cos().()2sin632xf xxxg x.-第 8 页(I)若是第一象限角,且3 3()5f.求()g的值;(II)求使()()f xg x成立的 x 的取值集合.【答案】解:(I)533sin3)(sin3sin23cos21cos21sin23)(fxxxxxxf.51cos12sin2)(,54cos)2,0(,53sin2g且(II)21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()(xxxxxxgxfZkkkxkkx,322,2652,62641（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加题）本小题满分

14、 16 分.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲.乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为min/50m.在甲出发min2后,乙从A乘缆车到B,在B处停留min1后,再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为min/130m,山路AC长为m1260,经测量,1312cosA,53cosC.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)1312cosA,

15、53cosC），（、20CA135sinA,54sinC6563sincoscossinsinsinsinCACACACAB）（）（根据sinBsinCACAB得mCACAB1040sinsinB(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222ttttd)507037(20022ttdCBA-第 9 页13010400 t即80 t3735t时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinAACBC得50013565631260sinsinBAACBC(m)乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)

16、=550(m),还需走 710m才能到达 C设乙的步行速度为 Vmin/m,则350710500v3507105003v14625431250 v为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在14625,431250范围内法二:解:(1)如图作BDCA于点D,设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,AB=52k,由AC=63k=1260m,知:AB=52k=1040m.(2)设乙出发x分钟后到达点M,此时甲到达N点,如图所示.则:AM=130 x,AN=50(x+2),由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2AMANcosA=7400 x2-14000 x+10000

17、,其中 0 x8,当x=3537(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:126050=1265(min).若甲等乙 3 分钟,则乙到C用时:1265+3=1415(min),在 BC 上用时:865(min).此时乙的速度最小,且为:500865=125043m/min.若乙等甲 3 分钟,则乙到C用时:1265-3=1115(min),在 BC 上用时:565(min).此时乙的速度最大,且为:500565=62514m/min.故乙步行的速度应控制在125043,62514范围内.-第 10 页42（2013 年高考湖北卷（理）在

18、ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos23cos1ABC.(I)求角A的大小;(II)若ABC的面积5 3S,5b,求sinsinBC的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos1AA22cos3cos20AA,解得1cos2A,角60A(II)1sin5 32SbcA4c,由余弦定理得:221a,222228sinaRA25sinsin47bcBCR43（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）ABC在内角,A B C的对边分别为,a b c,已知cossinabCcB.()求B;()若2b,求ABC面积的最大值.【答案】

19、CBADMN-第 11 页44（2013年高考新课标1（理）如图,在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90(1)若 PB=12,求 PA;(2)若APB=150,求 tanPBA【答 案】()由 已 知 得,PBC=o60,PBA=30o,在 PBA 中,由 余 弦 定 理 得2PA=o11323cos3042=74,PA=72;()设PBA=,由已知得,PB=sin,在PBA中,由正弦定理得,oo3sinsin150sin(30),化简得,3cos4sin,tan=34,tanPBA=34.45（2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有 2

20、个小题,第一小题满分 4 分,第二小-第 12 页题满分 9 分.在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点nP在x轴上,其横坐标为nx,且nx是首项为 1、公比为 2 的等比数列,记1nnnP AP,nN.(1)若31arctan3,求点A的坐标;(2)若点A的坐标为(0 8 2)，,求n的最大值及相应n的值.解(1)(2)【答案】解(1)设(0 )At，,根据题意,12nnx.由31arctan3,知31tan3,而3443343223443()4tantan()321xxt xxtttOAPOAPxxtxxttt,所以241323tt,解得4t 或8t.故点A的坐标为(0 4)，或

21、(0 8)，.(2)由题意,点nP的坐标为1(2 0)n，,12tan8 2nnOAP.11112122218 28 2tantan()22216 2218 28 2 8 28 228 2nnnnnnnnnnnOAPOAP.因为16 222 228 2nn,所以12tan42 2n,当且仅当16 2228 2nn,即4n 时等号成立.易知0 tan2nyx，在(0 )2，上为增函数,P20 xyAP1P3P4-第 13 页因此,当4n 时,n最大,其最大值为2arctan4.46（2013 年 高考 江西 卷（理）在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1)求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()coscos3sincos0ABABAB即有sinsin3sincos0ABAB因为sin0A,所以sin3cos0BB,又cos0B,所以tan3B,又0B,所以3B.(2)由余弦定理,有2222cosbacacB.因为11,cos2acB,有22113()24ba.又01a,于是有2114b,即有112b.